1、第六章 多項式、插值與數據擬合 實驗數據的研究：數據差值和函數逼近 數據差值：在樣本點的基礎上求出步驟樣本點上的其他點處的函數值 函數逼近：由已知的樣本點數據求取能對其有較好擬合效果的函數表達式 多項式主要內容： 多項式MATLAB命令 插值 Lagrange插值 Hermite插值 Runge現象和分段插值 分段插值 樣條插值的MATLAB表示 數據擬合 多項式擬合 函數線性組合的曲線擬合方法 最小二乘曲線擬合6.1 關于多項式MATLAB命令 一個多項式的冪級數形式可表示為：1121nnnnyc xc xc xc1231()nnyc xc xc xc xc112()()()nyc xrxr

2、xr也可表為嵌套形式或因子形式N階多項式n個根，其中包含重根和復根。若多項式所有系數均為實數，則全部復根都將以共軛對的形式出現 Matlab實現： 在MATLAB里，多項式用行向量表示， 其元素為多項式的系數， 并從左至右按降冪排列（ 冪系數 ）其matlab表示為 p=2 1 4 5轉換為符號表達式： poly2sym(p)32245yxxx例：roots: 求解多項式的零點 例： r=roots(p) 得到 r = 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零點由一個列向量給出。與多項式相關的Matlab函數：poly: 由零點可得原始多項式的

3、各系數 （但可能相差一個常數倍） 例： poly(r)ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000注意：若存在重根，這種轉換可能會降低精度。665432(1)615201561yxxxxxxx 例： r=roots(1 -6 15 -20 15 -6 1) r = 1.0042 + 0.0025i 1.0042 - 0.0025i 1.0000 + 0.0049i 1.0000 - 0.0049i 0.9958 + 0.0024i 0.9958 - 0.0024i舍入誤差的影響，與計算精度有關。polyval: 計算多項式的值。例： c=3,-7,2,1,1; xi=2.

4、5,3; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 76.00004323721yxxxx 例：已知，計算y(2.5)。求解： c=3,-7,2,1,1； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125注：如果xi是含有多個橫坐標值的數組， 則yi也為與xi長度相同的向量。polyfit: ppolyfit(x,y,n) 求得滿足p(x)=y的n階多項式 其中x,y為n1向量320.20151.43852.74775.4370yxxx 例： x=1.1,2.3,3.9,5.1; y=3.887,4.276,4.651,2.117; a=polyfi

5、t(x,y,length(x)-1)a = -0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 poly2sym(a) ans = -403/2000*x3+2877/2000*x2-27477/10000*x+5437/1000 Polyder: 求多項式一階導數的系數。 調用格式為: b=polyder(c ) c為多項式y的系數，b是微分后的系數，1121nnnnyc xc xc xc1212(1)nnnync xnc xc12,(1),nncnccb的值為：例如對多項式：conv(a,b)： c=conv(a,b)1121ddcabddyy yc xc xc xc1121mma

6、mmya xa xa xa1121nnbnnyb xb xb xb計算多項式的乘積，其中a，b分別為多項式 的系數向量abyy和ccy為乘積多項式 的系數向量conv(a,b)： q,r=deconv(a,b)1121mmammya xa xa xa1121nnbnnyb xb xb xb計算多項式的除法運算，其中a，b分別為多項式 的系數向量abyy和aqbryy yybyay多項式除多項式其中qyry是商,是除法的余數qyq和r分別為和的系數向量ry 例 a=2,-5,6,-1,9; b=3,-90,-18; c=conv(a,b)c = 6 -195 432 -453 9 -792 -162 q,r=deconv(