1、拉普拉斯變換與連續時間系統課件內容要點內容要點 雙邊拉普拉斯變換的定義和收斂域雙邊拉普拉斯變換的定義和收斂域 單邊拉普拉斯變換及其性質單邊拉普拉斯變換及其性質 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 微分方程和電路的微分方程和電路的s域求解域求解 LTI系統的系統函數及其性質系統的系統函數及其性質 LTI系統的框圖表示系統的框圖表示 2022-3-212第第6章章 拉普拉斯變換與連續時間系統拉普拉斯變換與連續時間系統6.0 引言引言6.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義6.2 單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換6.3 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質作業一作業一2022-3-213第第6章章 拉

2、普拉斯變換與連續時間系統拉普拉斯變換與連續時間系統6.4 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換6.5 微分方程的求解微分方程的求解作業二作業二2022-3-214第第6章章 拉普拉斯變換與連續時間系統拉普拉斯變換與連續時間系統6.6 電路的電路的s域求解域求解6.7 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換作業三作業三2022-3-215第第6章章 拉普拉斯變換與連續時間系統拉普拉斯變換與連續時間系統6.8 LTI系統的系統函數及其性質系統的系統函數及其性質6.9 LTI系統的框圖表示系統的框圖表示作業四作業四2022-3-2166.6 電路的電路的s域求解域求解利用拉氏變換進行電路分析的兩種利用拉氏變換進行

3、電路分析的兩種方法方法v應用基爾霍夫定律寫出描述電路網絡應用基爾霍夫定律寫出描述電路網絡特性的微分方程，然后采用拉普拉斯特性的微分方程，然后采用拉普拉斯變換來求解該方程，再通過逆變換得變換來求解該方程，再通過逆變換得到時域解到時域解v建立電路的建立電路的s域等效模型，在此模型上域等效模型，在此模型上建立的電路方程將是一個代數方程，建立的電路方程將是一個代數方程，求解更方便求解更方便2022-3-2176.6 電路的電路的s域求解域求解電路的微分方程解法電路的微分方程解法【例例6-27】 已知下圖所示的已知下圖所示的RC電路，電路，t=0時開關閉合接入一直流電壓時開關閉合接入一直流電壓V，假設，

4、假設電容電容C上的初始電壓為上的初始電壓為vC(0-)=V0。求。求t0時的輸出時的輸出vC(t)，并指出零輸入響應，并指出零輸入響應vC,zi(t)和零狀態響應和零狀態響應vC,zs(t)RC vC(t)Vt=0i(t)2022-3-2186.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-27】 (續續)v解：應用解：應用KVL，可得，可得該電路的微分方程該電路的微分方程v利用時域微分性質作拉普拉斯變換得利用時域微分性質作拉普拉斯變換得 RC vC(t)Vt=0i(t)()(d)(dtVutvttvRCCC)()(1d)(dtuRCVtvRCttvCCsRCVsVRCvssVCCC1)(1)0()

5、()/(11)/(1)(0RCssRCVRCsVsVCVC,zi(s) VC,zs(s) 2022-3-2196.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-27】 (續續)v部分分式展開部分分式展開, 得得v求求ILT得得 RC vC(t)Vt=0i(t)/(111)/(1)(0RCssVRCsVsVC)()e1 ()(e)(0tuVtuVtvRCtRCtC)(e)(0zi,tuVtvRCtC)()e1 ()(zs,tuVtvRCtC2022-3-21106.6 電路的電路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v根據電路元件的阻抗根據電路元件的阻抗R與電壓與電壓v(t)和電和電流流i(t)的關系

6、建立元件的的關系建立元件的s域等效模型，域等效模型，然后根據然后根據KCL和和KVL直接寫出直接寫出s域的代域的代數方程數方程v電阻的電阻的s域等效模型域等效模型v電容的電容的s域等效模型域等效模型v電感的電感的s域等效模型域等效模型v電源的電源的s域等效模型域等效模型2022-3-21116.6 電路的電路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v電阻的電阻的s域等效模型域等效模型o電阻的電阻的R、v(t)、i(t)關系及關系及LTo電阻的電阻的s域模型圖域模型圖)()(tRitv)()(sRIsVRi(t)v(t)+-RI(s)V(s)+-2022-3-21126.6 電路的電路的s域求解域

7、求解s域等效模型域等效模型v電容的電容的s域等效模型域等效模型o電容的電容的C、v(t)、i(t)關系及關系及LTo電容的電容的s域模型圖域模型圖ttvCtid)(d)()0()()(CvssCVsIsvsIsCsV)0()(1)(i(t)v(t)C+-I(s)V(s)sC1+ -sv)0(+-或I(s)V(s)sC1)0(Cv+-2022-3-21136.6 電路的電路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v電感的電感的s域等效模型域等效模型o電感的電感的L、v(t)、i(t)關系及關系及LTo電感的電感的s域模型圖域模型圖ttiLtvd)(d)()0()()(LissLIsVsisVsLs

8、I)0()(1)(sLI(s)si)0(V(s)+-i(t)v(t)L+-或sLI(s)V(s)+-)0(Li+-2022-3-21146.6 電路的電路的s域求解域求解s域等效模型域等效模型v電源的電源的s域等效模型域等效模型o電壓源的電壓源的s域模型圖域模型圖o電流源的電流源的s域模型圖域模型圖+-v(t)+-V(s)+-+-I(s)i(t)2022-3-21156.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-28】應用應用s域模型求解例域模型求解例6-27v解：應用元件的解：應用元件的s域模型，可得到域模型，可得到s域等域等效電路效電路v根據電路可求出環根據電路可求出環路電流為路電流為RVC

9、(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(11)/(1/)(00RCsRVVsCRsVsVsI2022-3-21166.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-28】(續續)v根據電路可直接寫根據電路可直接寫出輸出電壓為出輸出電壓為RVC(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(1)/(1)/1(11)()(0000RCsVsVRCsVsVRCssRCVVsVsCsIsVC2022-3-21176.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-29】 已知圖示電路中已知圖示電路中L=0.5H，C=0.05F, R1=5, R2=2, 并假設開關并假設開關在在t=0之前一直處于閉合狀態，現

10、將開之前一直處于閉合狀態，現將開關斷開。求關斷開。求t0時電感中的電流時電感中的電流i(t)v解：確定電路的起始狀解：確定電路的起始狀態態R1C10Vt=0i(t)LR2vC(0-)=10Vi(0-)=2A 2022-3-21186.6 電路的電路的s域求解域求解【例例6-29】 (續續)vs域等效電路域等效電路 v根據等效電路根據等效電路求電流求電流I(s)sLR2+-+-+ -Li(0-)sC1sVc)0(s10sCsLRLisvsIC1)0()0(10)(222222226)2(6326)2()2(26)2(4)2(24042)(sssssssssI)(6sine32)(6cose2)(

11、22ttuttutitt202LT0)()(coseasasttuat2020LT0)()(sineasttuatBack2022-3-21196.7 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換 雙邊拉普拉斯變換的必要性雙邊拉普拉斯變換的必要性v非因果信號和系統的問題不能用單邊非因果信號和系統的問題不能用單邊拉普拉斯變換來討論拉普拉斯變換來討論應用雙邊拉普拉斯變換要注意的問應用雙邊拉普拉斯變換要注意的問題題v收斂域收斂域2022-3-21206.7 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換 收斂域特性收斂域特性雙邊拉普拉斯變換的性質雙邊拉普拉斯變換的性質雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 Back2022-3

12、-21216.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質1： 收斂域內不能包含任何極收斂域內不能包含任何極點點v如果在收斂域內存在極點，則如果在收斂域內存在極點，則X(s)在在該點的值為無窮大，它就不可能收斂。該點的值為無窮大，它就不可能收斂。這說明收斂域是以極點為邊界的。這說明收斂域是以極點為邊界的。2022-3-21226.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質2： 信號信號x(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換X(s)的收斂域為的收斂域為s平面上平行于平面上平行于j軸的帶狀軸的帶狀區域區域vX(s)的收斂域僅與復變量的收斂域僅與復變量s的實部的實部(即即 )有有關，而與關，而與s的虛部無關，這說明

13、收斂域的的虛部無關，這說明收斂域的邊界必然是平行于虛軸邊界必然是平行于虛軸j的直線的直線ttxttxttxtttstde)(dee )(de )(j2022-3-21236.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質3：如果：如果x(t)是一個時限信號，并且是一個時限信號，并且絕對可積，則絕對可積，則X(s)的收斂域為全的收斂域為全s平面平面時當時當0),(0,eedede)()(12212121TTAAtAttxsXTTTTtTTt2022-3-21246.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質4：如果：如果x(t)是一個雙邊信號，并是一個雙邊信號，并且且X(s)存在，則存在，則X(s)的收斂域一定

14、是由的收斂域一定是由s平面的一條帶狀區域所組成，即滿足平面的一條帶狀區域所組成，即滿足 1 2v將雙邊信號將雙邊信號x(t)分為因果信號分為因果信號x(t)u(t)和反和反因果信號因果信號x(t)u(-t)兩個分量，則兩個分量，則00de )(de )(de )()(ttxttxttxsXststst00de)(de)()(ttxttxsXtt2022-3-21256.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質4 (續續)v假設假設x(t)為指數階信號為指數階信號0,0,)(21tAetAetxtt當當0)(10)(20)(0)(1212e1e1dede)(ttttAAtAtAsXo當當 1 2時雙

15、邊拉普拉斯變換不存在時雙邊拉普拉斯變換不存在 2022-3-21266.7.1 收斂域特性收斂域特性性質性質5 ：如果：如果x(t)是一個因果信號或右是一個因果信號或右邊信號，則邊信號，則X(s)的收斂域在其最右邊的收斂域在其最右邊極點的右邊極點的右邊性質性質6： 如果如果x(t)是一個反因果信號或是一個反因果信號或左邊信號，則左邊信號，則X(s)的收斂域在其最左的收斂域在其最左邊極點的左邊邊極點的左邊2022-3-21276.7.1 收斂域特性收斂域特性【例例6-30】 已知信號已知信號x(t)=e-a|t|, a R, 求求雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換X(s)，畫出零極點，畫出零極點圖

16、，并標明收斂域圖，并標明收斂域v解：雙邊指數信號解：雙邊指數信號x(t) 波形如圖所示波形如圖所示Ox(t)t.1a0Ox(t)t.1a0)()()()(LTsHsXthtxssXdxt)()(LT0Back2022-3-21336.7.3 雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 雙邊拉普拉斯逆變換的求法雙邊拉普拉斯逆變換的求法v利用已知的變換表利用已知的變換表v利用拉普拉斯變換的性質利用拉普拉斯變換的性質v利用拉普拉斯變換收斂域性質利用拉普拉斯變換收斂域性質2022-3-21346.7.3 雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 以以s的多項式之比表示的雙邊拉氏變的多項式之比表示的雙邊拉氏變換換

17、v進行部分分式展開進行部分分式展開v根據收斂域確定對應展開項的逆變換根據收斂域確定對應展開項的逆變換o極點位于收斂域的左邊，逆變換為因果極點位于收斂域的左邊，逆變換為因果信號信號o極點位于收斂域的右邊，逆變換為反因極點位于收斂域的右邊，逆變換為反因果信號果信號itpiiipstuApsAi)Re(),(eLTitpiiipstuApsAi)Re(),(eLT2022-3-21356.7.3 雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 【例例6-31】 已知雙邊拉普拉斯變換，已知雙邊拉普拉斯變換，求逆變換求逆變換x(t)v解：部分分式展開解：部分分式展開233)(2ssssX2112)(sssXvX(

18、s)有兩個極點，有兩個極點， ROC有三種可能有三種可能O-2 -1jO-2-1O-2 -1j2022-3-21366.7.3 雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 【例例6-31】 (續續)vROC1: Re(s)-1v兩極點均對應于因果信號兩極點均對應于因果信號2112)(sssXO-2 -1j)()ee2()(2tutxtt2022-3-21376.7.3 雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換 【例例6-31】 (續續)vROC2: -2Re(s)-1v極點極點p1=-1對應于反因果信號，極點對應于反因果信號，極點p2=-2對應于因果信號對應于因果信號2112)(sssXO-2-1)(e)(e2)(2tutu