1、線性代數在量子力學中的應用實例 壽立夫摘要：利用泡利自旋矩陣可以簡化電子自旋這一雙態(tài)系統，并且具備相當的普遍意義，可以適用于一般的量子系統；我們試圖在N態(tài)系統中尋找一組根底態(tài)使之標準正交，為此我們仿照實對稱矩陣的證明，證明含復數的哈密頓矩陣總是可以被相似對角化的，并且可以通過Gram-Schmidt法那么將其化為標準正交向量組。在此根底上，我們研究了具有四個根底態(tài)的氫的超精細分裂問題并由所得結果計算出氫的兩個超精細態(tài)之間的“21cm譜線“。關鍵詞：泡利矩陣 ；N態(tài)系統； 氫的超精細分裂；線性代數引言自海森堡創(chuàng)立矩陣力學以來，隨著疊加原理在量子力學中的廣泛使用，使得線性代數成為了描述和研究量子系

2、統的強有力工具，在初步學習了相關線性代數知識后，我們已經有了足夠的知識儲藏去探究量子世界的微妙，在此選取幾個例子粗淺地展示下線性代數在量子力學中的一些簡單應用。1 泡利自旋矩陣1.1 背景知識1.1.1 振幅與態(tài)矢量由于量子力學本身的特殊性，所以它有一套獨特的符號體系。下面引述維基百科的概念:1在量子力學里，一個量子系統的量子態(tài)可以抽象地用態(tài)矢量來表示。態(tài)矢量存在于內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的矢量空間。態(tài)矢量滿足矢量空間所有的公理。態(tài)矢量是一種特殊的矢量，它也允許內積的運算。態(tài)矢量的范度是1，是一個單位矢量。標記量子態(tài)的態(tài)矢量為。每一個內積空間都有單范正交基。態(tài)矢量是單范

3、正交基的所有基矢量的線性組合：；其中，是單范正交基的基矢量，是單范正交基的基數， 是的分量，是投射于基矢量的分量，也是處于的概率幅。1維基百科“態(tài)矢量詞條. 換一種方法表達：。在狄拉克標記方法里，態(tài)矢量稱為右矢。對應的左矢為，是右矢的厄米共軛，用方程表達為；其中，象征為取厄米共軛。設定兩個態(tài)矢量，。定義,的內積為。結果是一個復數。1.1.2 哈密頓矩陣現在我們令Ci(t)=it表示時刻t處在根底態(tài)i的振幅，那么在只考慮態(tài)矢隨時間變化的簡單情況下，我們可以得到以下齊次線性微分方程組：idCi(t)dt=jHijtCj(t) H=H11H1nHn1Hnn因為量子系統的幺正性，所以Hij=Hji*.

4、1.2 泡利矩陣1.2.1磁場中電子自旋的自旋方程idC+(t)dt=-(BZC+(BX-iBy)C-)idC+(t)dt=-(BX+iBy)C+-BZC-)H=BZ-(BX-iBy)-(BX+iBy)BZ通過觀察我們可以寫出如下泡利自旋矩陣：x=0110 y=0-ii0z=100-1 1=1101將哈密頓矩陣改寫為：H=-(xBX+yBy+zBZ)假設將視為向量，即=x,y,z那么可以得到：H=-·BB與經典物理中的磁矩為的磁體處在磁場為B中的能量的經典公式：U=-B有相似的形式，這是因為經典力學是量子力學的近似的緣故。1.2.2 泡利矩陣的性質x2=1 y2=1 z2 = 1xy

5、=-yx=izyz=-zy=ixzx=-xz=iy2 N態(tài)系統2.1 N態(tài)系統的能級 因為為齊次線性微分方程組，設C=C1C2Cn，現在我們對其施加一個線性變換,那么：idXCdt=(XH)C為使方程組無耦合項，那么,為對角矩陣，我們現假設哈密頓矩陣可以相似對角化，那么=，為H的特征值，那么被化為如下形式：，可見為該N態(tài)系統的n個能級所具有的能量.2.2 哈密頓矩陣的相似對角化我們知道哈密頓矩陣具有性質Hij=Hji*，由于哈密頓矩陣可以為復數，事實上對于實對稱矩陣而言，Hij=Hji*也成立（Hji*=Hji），所以我們猜想哈密頓矩陣也可以被相似對角化；現在我們根據這一性質仿造實對稱矩陣相似

6、對角化的證明來證明哈密頓矩陣也可以被相似對角化；2.2.1 屬于不同特征值的特征向量是正交的 2.2.2 基于數學歸納法的證明2.3 根底態(tài)的選擇用Gram-Schmidt法那么將H的特征向量組化為標準正交向量組，選其為根底態(tài)，顯然，這組根底態(tài)滿足正交化條件：ij= 0 ij 1 i=j3 氫的超精細分裂3.1 由兩個自旋1/2粒子組成的系統的根底態(tài) 由根底的物理知識可知，氫原子包含一個位于質子附近的電子，電子具有“朝上或者“朝下的自旋，質子的自旋也可以“朝上或者“朝下。因此，原子的每一種動力學狀態(tài)都存在這4種可能的自旋態(tài)，這四個狀態(tài)是由于電子和質子磁矩之間的相互作用引起，這些能級的能量移動大

7、約只有10-7eV遠小于基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的能級差，所以我們可以用上文的方程組來描述這些量子態(tài)；由于根底態(tài)或者說基的選擇有無窮多種，我們選取物理意義最明顯的一組：電子自旋質子自旋態(tài)1：+1/2+1/2態(tài)2：+-+1/2-1/2態(tài)3：-+-1/2+1/2態(tài)4：-1/2-1/23.2 氫原子基態(tài)的哈密頓但卻是有效的。我們假設有矢量算符e,當它作用這四個根底態(tài)之一時，只相當于作用在電子的自旋上，同理有算符p只作用于質子的自旋上，有如下表格：xyz+-+i-+-+-i+- 從泡利自旋矩陣中獲得的經驗，我們可以知道哈密頓矩陣應等于：H=Ae·p其中Aep0.53= e=電子磁矩=，p=質子磁矩=

8、，=原子半徑因為現在有四個根底態(tài)，所以H，e，p為四維矩陣，所以和泡利矩陣并不完全一致，但我們同樣可以分別從這兩個算符作用于根底態(tài)之上的效果得出哈密頓矩陣，為節(jié)省篇幅省略中間的繁瑣的計算，直接寫出經過這些計算得到的哈密頓矩陣：3.3能級由N態(tài)系統的結論，我們只需解出哈密頓矩陣的特征值即可算出它各能級對應的能量值，解得=2=3=A4=-3A， 所以能級差為4A,這就是說當原子從態(tài)1躍遷到態(tài)4時，會吸收頻率為=4A 的光子，反之，發(fā)射時也會放出這樣頻率的光子，根據理論，這個頻率的光子的周期為f=2= ,其實驗所得數據為(1420405751.8000.028 )Hz ,這便是著名的氫的“21cm譜線，是氫的兩個超精細態(tài)之間1420兆周譜線的波長。通過捕捉這一譜線的射電望遠鏡，天文學家便可以觀察氫原子氣體濃集處的位置和速度。4結束語 由于篇幅和水品所限，我們并未能對論題作深入而嚴謹的探討，但通過以上這些例子，線性代數充分展現了其在量子力學中的強大作用，我們有理由相信線性代數在其他領域也有著不可或缺的作用；其次，我們可以發(fā)現原來復雜深奧的量子力學在用線性代數的語言表述變得十分簡潔清晰，使我們能夠構建出明析的物理圖像。相信隨著我們知識的增加，線性代數會幫我們更清晰的理解某些復雜概念與方法。5參考文獻1R.P.F