1、第四節 直紋面與可展曲面1、定義：由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面。直線為直母線。例如柱面，錐面，單葉雙曲面，正螺面等。 與直紋面上所有直母線相交的曲線叫直紋面的導線。2、直紋面的方程（1）設導線為 ， 是過導線上一點 處的直母線上的單位向量，則有：其中直紋面上一點 P 到導線上的點 的距離為v。)(: )(uaac)(ub)(ua)()(ubvuar)(ua)(ub)(ua)(co（2）坐標曲線v-曲線， 為直母線；u-曲線， 為與導線平行的曲線。 )()(00ubvuar)()(0ubvuar4、1 直紋面 (3)幾種特殊的直紋面 為常向量，任意母線的方向不變，為柱面。 為常向量，任意母線

2、過一定點，為錐面。 為導線上的切向量，為一空間曲線的切線曲面0)(bub0)(aua)(ub 3、直紋面的法向量與高斯曲率 ,)()(ubvuaru)(ubrv)()(ubvuar（1）由 得 ,)()()(bbvbaububvuarrvu （2）當 P 點在直紋面的一條直母線上移動時，u不變，v變，法向量變化如下： a) ，法向量改變方向. b) ，法向量不改變方向， 即沿一條直母線有相同的法向量或切平面。0),(bba，bbba即不平行0),(/bba，bbba即（3）高斯曲率 由,)()(ubvuaru)(ubrv,)()(ubvuaruu 0vvr),(ubruv. 0,),()(22

3、nrNFEGbbaFEGbbanrMvvuv2222222)(),(FEGbbaFEGMFEGMLNK 因此對于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。0),(bba0),(bba 另外注意到直紋面上有直線，即直母線，則一定是直紋面的漸近線，即直紋面上的漸近曲線。 4、腰曲線rMl)(ub)(ua)(co)(uua)(uubrrMl定義:如圖M， 為直母線 l , 的公垂線，當垂足M沿直母線 l 趨向于極限位置M0，稱為直母線 l上的腰點。腰點的軌跡為腰曲線。它的表示為Ml0u)()(2ubbbauar 特別地，當取腰曲線為導線時，上式中的向徑 就是 ，因此有 ，即它們垂直。 r)(u

4、a0 ba二、可展曲面1、定義：稱滿足 的直紋面為可展曲面。 由前面的結論可知，這是情形（2），它沿一條直母線有同一個切平面，或沿一條直母線有同一法向量，因此，可展曲面是沿一條直母線有同一個切平面的直紋面。2、命題1：每一個可展曲面或是柱面，或是錐面，或是一條曲線 的切線曲面。0),(bba 證明：對于可展曲面有 ，取腰曲線為導線， （1）當 ，這時腰曲線退化成一點，所有直母線上的腰點為同一點，曲面為錐面。腰點即為錐面的頂點。方程為 （2） ，由于 ，則三向量共面，且0),(bba0 ba為常向量則aua, 0)()(0ubvrr0a0),(bba。avarba，babbb為切線曲面所以但/,

5、 1 （3） 為常向量，所有直母線平行，為柱面。bb, 03、單參數曲面族的包絡 給出一個單參數曲面族 （1） 對于不同的參數有不同的曲面，并假定函數（1）有一階和二階 連續偏導數。 （1）定義：如果有一曲面S，它的每一點是族（1） 中的一個曲 面 上的點，而且在S與 的公共點它們有相同的切平面； 反過來，對于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一點P ，使 和S在P有相同的切平面，則稱 S 為單參數平面族 的包絡。0),(:zyxFSSSSSS （2）包絡面的方程 現在假定曲面族 的包絡S存在，由上面的定義，S上任意點P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而這個曲面由參數 來確定，所以包絡面S上每一

6、點對應于 的一個確定的值，因此 為S上點的坐標的函數，即 代入（1）得S),(zyx0),(,(zyxzyxF (2) 對于S上的點，上式恒成立。 其次，在包絡面S上任取一條曲線因為（c）上的點的坐標 滿足方程，所以對t 求導得： （3）在（c）上取一點，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c）在P的切線與 在P 的法線垂直，而切向量平行于對包絡面上的每條曲線都成立，由（c）的任意性有 ，否則 ，因此 ，即)(),(),()(: )(tztytxtrrc0)(),(),(),(ttztytxF0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyxSS00,dtdFdtdzFdtdyFdtdxFFF

7、Fdtdzdtdydtdxzyxzyx法向量平行于0dtd常數0F0),(,(zyxzyxF 由上面的分析，曲面族的包絡面滿足方程組 （4）消去參數 得關于x,y,z的三元方程，它表示一張曲面稱為曲面族 的判別曲面。0),(,(0),(,(zyxzyxFzyxzyxFS0),(:*zyxS 若假定在族中的曲面上的點和在包絡面上的點是正常點，則判別曲面就是包絡面S，這一點后面說明，先看一個例： 例題：求平面族 的包絡面方程。2222zyx下面說明判別曲面就是S。 首先 可以這樣理解：對每一固定的 ，方程組（4）代表曲面 和曲面 的交線 ，而判別曲面 是這些交線所產生的，因此， 上的每一點決定一個

8、 的值 ，而點的坐標以及所對應的 值適合（4），但上面已經得到包絡S上的每一點和它所對應的 值適合（4），因此S屬于 。*S0FCS*S*S),(*zyx*S* 再證 屬于S 。由于判別曲面上每一點都在族中某一曲面上，因此它的坐標對 的某個值滿足方程在判別曲面上取一條過P點的曲線（c）：代入（4）式第一式中，然后關于t 求導，則有但由（4）第二式 ，所以即P點 的法線和 上曲線（c）的切向量垂直，由（c）的任意性， 與 在P點相切，這就說明了 的點也是 的點。因此， 屬于S 。所以*S0),(zyxF)(),(),(tztytxr 0F0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx0dtdzF

9、dtdyFdtdxFzyx*S*SSS*SS*SSS *(3)特征線 包絡S與族中的曲面 相切的曲線稱為特征線，因而當 固定時，（4）為特征線的方程，特征線的軌跡就是包絡，族中每曲面沿特征線切于包絡。S（4）命題2：一曲面為可展曲面的充要條件是此曲面為單參數平 面族的包絡。 證明：充分性：設單參數平面族為 則特征線方程為 它是平面與平面的交線，即為直線，所以這些特征線的軌跡為直紋面，即包絡面為直紋面，下證是可展的。 由于包絡面沿特征線（現為直母線）與族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母線上所有點的公共切平面，即沿一條直母線有同一個切平面，按可展曲面的定義，它是可展的。0)()()()(DzC

10、yBxA0)()()()(),(0)()()()(),(DzCyBxAzyxFDzCyBxAzyxF必要性：設曲面可展。由于直紋面的坐標曲線為直母線和與導線 平行的曲線，所以對于可展曲面，它的直母線就是v線（u= 常數），當u變化時，得到v線族，所以可展曲面可以看成是由 單參數u的直母線族所構成的，即可展曲面的直母線族僅與單 參數有關，而且經過給定的母線，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只與一個參數有關，這就是說可展曲面在它每一點處切于它的單參數平面族中的某一平面，即可展曲面是這個單參數平面族的包絡。4、命題3：一個曲面是可展的充分必要條件是高斯曲率為零。 證明：如果曲面是可展

11、的，則沿一條直母線的單位法向量保持不變，即為常向量，故 。但零向量與任意向量共線，所以 ，由主方向判別定理，沿直母線的方向為主方向，并且直母線方向上的主曲率為0，于是有 K=k1 k2=0。0ndrdnd/ 一個，曲面由這些曲線組成，所以曲面是一個單參數族的包絡面，因而是可展曲面。 反之，若 K=k1 k2=0，則兩主曲率至少有一為0，設 k2=0，由于為主曲率，所以對應的方向為主方向，但它又是法曲率，說明這個方向是漸近方向，所以這一族漸近線也是曲率線，由主方向判別定理， 為常向量。 這說明單位法向量沿漸近曲線保持不變，因此在所有漸近曲線上曲面的法線都平行。又沿漸近曲線的切向量為dr，它垂直于

12、法向量，所以 積分有 對于漸近曲線上任一點成立。現設 為漸近曲線上某一點，有得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r對應的點在M0的切平面上，但這些點為漸近曲線上的點，所以漸近曲線在這個切平面上，因此對于同一條漸近曲線上的點，其切平面是同 nrdknd, 02, 0nrd常量nr0r常量nrnr0nrrnrr00, 0)(命題4：曲面上的曲線是曲率線的充要條件是沿此曲線曲面的 法線組成一可展曲面。證明：必要性：曲面上的曲線 是曲率線，有 沿曲線曲面的法線組成的曲面為 所以 ，故為可展曲面。)(saaanaknrdknd/,11nvsar)(0),(nna 充分性：設 是曲面上一曲線，沿它曲面的法線

13、構成 一可展曲面 ，即有 但 （它們為有固定長和為切向量） 由此 由主方向判別定理， 是主方向，因此曲線 上每一點的切向量都是主方向，因而為曲率線。 )(saanvsar)(，nna三向量共面 0),(annn ,ndadan/ad)(saa命題5：可展曲面可以與平面成等距對應（簡稱展為平面）。 證明：在直角坐標下，平面的第一基本形式為 在極坐標下則為（1）柱面： 有 （2）錐面： 有22dydx 222dd)()(sbvsar22dvds )(0sbvar222dsvdv 線曲面就是平面曲線所在的平面，但第一基本形式不變，因此切線曲面也可展成平面。 又由前面結論，可展曲面只有以上三種，綜上所述，命題得到證明。 最后指出，上述命題曲面和平面的一部分而言的。 （3）切線曲面： 上式中出現曲率，但沒有撓率，所以如果兩條曲線曲率相同，即使撓率不同，它們的切線曲面也有相同的第一基本形式，即