1、關于函數的凹凸性與拐點的定關于函數的凹凸性與拐點的定義與求法義與求法現在學習的是第一頁，共19頁一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC現在學習的是第二頁，共19頁定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內內的的圖圖形形是是凹凹的的在在那那末末稱稱恒恒有有兩兩點點內內任任意意如如果果對對內內連連續續在在設設baxfxfxfxxfxx

2、babaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內的圖形是凸的內的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內任意兩點內任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續內連續在在如果如果baxfbabaxf現在學習的是第三頁，共19頁二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上

3、的的圖圖形形是是凸凸的的在在則則上上的的圖圖形形是是凹凹的的在在則則內內若若在在二二階階導導數數內內具具有有在在上上連連續續在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 現在學習的是第四頁，共19頁例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,現在學習的是第五頁，共19頁三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連連續續曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分

4、界界點點稱稱為為曲曲線線的的拐拐點點.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內內存存在在二二階階導導數數, ,則則點點 )(,00 xfx是是拐拐點點的的必必要要條條件件是是0)(0 xf. .1.1.定義定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二二階階可可導導xf,)(存在且連續存在且連續xf 現在學習的是第六頁，共19頁, )()(0兩兩邊邊變變號號在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點點又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導函數取得極值的由可導函數取得極值的. 0)(

5、xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內內二二階階可可導導在在設設函函數數;)(,(,)()1(000即即為為拐拐點點點點變變號號兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 現在學習的是第七頁，共19頁例例2 2.14334凹、凸的區間凹、凸的區間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0

6、()2711,32(現在學習的是第八頁，共19頁).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸區區間間為為現在學習的是第九頁，共19頁方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內三階可導的鄰域內三階可導在在設函數設函數xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐點點內內求求曲曲線線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 現在學習的是第十頁，共19頁內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2

7、 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐點點是是連連續續曲曲線線也也可可能能點點不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :現在學習的是第十一頁，共19頁例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導導點點yyx , 0,)0 ,( y內內但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的的拐拐點點是是曲曲線線點點xy 現在學習的是第十二頁，共19頁四、小結四、小結曲線的彎曲方向曲

8、線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.現在學習的是第十三頁，共19頁思考題思考題設設)(xf在在),(ba內內二二階階可可導導，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，則則,(0 x)(0 xf是是否否一一定定為為曲曲線線)(xf的的拐拐點點？舉舉例例說說明明.現在學習的是第十四頁，共19頁思考題解答思考題解答因為因為0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf為拐點為拐點的的必要條件必要條件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐點點.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(

9、并并不不是是曲曲線線)(xf的的拐拐點點.現在學習的是第十五頁，共19頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數若函數)(xfy 在在 （ba,） 可導， 則曲線） 可導， 則曲線)(xf在在( (ba,) )內取凹的充要條件是內取凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點為的拐點為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._.二、二、 求曲線求曲線xeyarctan 的拐點及凹凸區間的拐點及凹凸區間 . .三、三、 利用函數圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數圖形的凹凸性，證明不等式

10、： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點的拐點 . .練練 習習 題題現在學習的是第十六頁，共19頁五五、 試試證證明明曲曲線線112 xxy有有三三個個拐拐點點位位于于同同一一直直線線上上 . .六六、 問問a及及b為為何何值值時時，點點( (1 1, ,3 3) )為為曲曲線線23bxaxy 的的拐拐點點？七七、 試試決決定定22)3( xky中中k的的值值, ,使使曲曲線線的的拐拐點點處處的的法法線線通通過過原原點點 . .現在學習的是第十七頁，共19頁一、一、1 1、),()(baxf在在 內遞增或內遞增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界點；、凹凸部分的分界點；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐點二、拐點),21(21arctane, ,在在21,(