1、1第八章23v一、函數關系與相關關系一、函數關系與相關關系v客觀現象總是普遍聯系和相互依存的。它們客觀現象總是普遍聯系和相互依存的。它們之間的數量聯系存在著兩種不同的類型：一之間的數量聯系存在著兩種不同的類型：一種是種是函數關系函數關系；另一種是；另一種是相關關系相關關系。v（一）函數關系（一）函數關系v是指現象之間存在嚴格的依存關系。即當一是指現象之間存在嚴格的依存關系。即當一個或幾個變量取一定的數值時，另外一個變個或幾個變量取一定的數值時，另外一個變量有確定的數值與之相對應。函數關系可以量有確定的數值與之相對應。函數關系可以用數學表達式來反映。例如：用數學表達式來反映。例如：2 2r rs

2、 s4（二）相關關系v是指現象之間確實存在的，但關系數值不確是指現象之間確實存在的，但關系數值不確定的相互依存關系。即當一個或幾個相互聯定的相互依存關系。即當一個或幾個相互聯系的變量取一定數值時，與之相對應的另一系的變量取一定數值時，與之相對應的另一變量的取值雖然不確定，但它仍然按某種規變量的取值雖然不確定，但它仍然按某種規律在一定范圍內變化。變量間的這種相互關律在一定范圍內變化。變量間的這種相互關系稱為具有不確定性的相關關系。例如，勞系稱為具有不確定性的相關關系。例如，勞動生產率與工資水平的關系、投資額與國民動生產率與工資水平的關系、投資額與國民收入的關系等等都屬于相關關系。收入的關系等等都

3、屬于相關關系。5（三）函數關系與相關關系之間的關系v變量之間的函數關系和相關關系，在一定變量之間的函數關系和相關關系，在一定條件下是可以互相轉化的。條件下是可以互相轉化的。v本來具有函數關系的變量，當存在觀測誤本來具有函數關系的變量，當存在觀測誤差時，其函數關系往往以相關關系的形式差時，其函數關系往往以相關關系的形式表現出來。而具有相關關系的變量之間的表現出來。而具有相關關系的變量之間的聯系，如果我們對它們有了深刻的規律性聯系，如果我們對它們有了深刻的規律性認識，并且能夠把影響因變量變動的因素認識，并且能夠把影響因變量變動的因素全部納入方程，此時相關關系也可能轉化全部納入方程，此時相關關系也可

4、能轉化為函數關系。為函數關系。6二、相關關系的種類v（一）按相關程度劃分（一）按相關程度劃分v完全相關完全相關：當一種現象的數量變化完全：當一種現象的數量變化完全由另一種現象的數量變化所確定時，兩由另一種現象的數量變化所確定時，兩者間的關系為完全相關。即函數關系。者間的關系為完全相關。即函數關系。因此函數關系是相關關系的一個特例。因此函數關系是相關關系的一個特例。v不相關不相關：當兩種現象彼此互不影響，其：當兩種現象彼此互不影響，其數量變化各自獨立時，稱為不相關。數量變化各自獨立時，稱為不相關。 7v例如，股票價格的高低與氣溫的高低是不例如，股票價格的高低與氣溫的高低是不相關的。兩者是不相關現

5、象。相關的。兩者是不相關現象。v不完全相關不完全相關：兩個現象之間的關系介于完：兩個現象之間的關系介于完全相關和不相關之間。此類相關關系是本全相關和不相關之間。此類相關關系是本章研究的重點。章研究的重點。v（二）按相關方向劃分（二）按相關方向劃分v正相關正相關：是指兩個變量呈同向變動。如工：是指兩個變量呈同向變動。如工人的工資雖勞動生產率的提高而增加。人的工資雖勞動生產率的提高而增加。v負相關負相關：是指兩個變量呈反向變動。如產：是指兩個變量呈反向變動。如產量規模越大，單位產品成本越低。量規模越大，單位產品成本越低。8（三）按相關表現形式劃分v直線相關直線相關：如果現象之間的相關關系近似：如果

6、現象之間的相關關系近似地表現為一條直線時，稱之為直線相關。地表現為一條直線時，稱之為直線相關。v曲線相關曲線相關：如果現象之間的相關關系近似：如果現象之間的相關關系近似地表現為某種曲線形式時，就稱這種相關地表現為某種曲線形式時，就稱這種相關關系為曲線相關。關系為曲線相關。v（四）按涉及變量的多少來劃分（四）按涉及變量的多少來劃分v單相關單相關：是指兩個變量之間的相關關系即：是指兩個變量之間的相關關系即一個自變量和一個因變量的關系。一個自變量和一個因變量的關系。9v復相關復相關：是指三個或三個以上變量間的相：是指三個或三個以上變量間的相關關系。即一個因變量對兩個或兩個以上關關系。即一個因變量對兩

7、個或兩個以上自變量之間的關系。如，某種商品的需求自變量之間的關系。如，某種商品的需求與其價格水平以及人們收入水平之間的相與其價格水平以及人們收入水平之間的相關關系便是一種復相關。關關系便是一種復相關。v偏相關偏相關：在復相關中，當假定其他變量不：在復相關中，當假定其他變量不變時，其中兩個變量間的相關關系稱為偏變時，其中兩個變量間的相關關系稱為偏相關。例如，在假定人們收入水平不變的相關。例如，在假定人們收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價格水平的條件下，某種商品的需求與其價格水平的關系就是一種偏相關。關系就是一種偏相關。10三、相關分析與回歸分析v（一）相關分析（一）相關分析v是用一個指標

8、（是用一個指標（相關系數相關系數）來表明現象）來表明現象之間相互依存的密切程度。之間相互依存的密切程度。v（二）回歸分析（二）回歸分析v是根據相關關系的具體形態，選擇一個是根據相關關系的具體形態，選擇一個合適的數學模型，來近似地表達變量之合適的數學模型，來近似地表達變量之間的平均變化關系。（間的平均變化關系。（高度相關高度相關）11v（三）相關分析與回歸分析的聯系（三）相關分析與回歸分析的聯系v1. 它們有具有共同的研究對象。它們有具有共同的研究對象。v2. 相關分析要依靠回歸分析來表明現相關分析要依靠回歸分析來表明現象數量關系的具體形式。象數量關系的具體形式。v3. 回歸分析則要依靠相關分析

9、來表明回歸分析則要依靠相關分析來表明現象數量變化的相關程度。只有變量現象數量變化的相關程度。只有變量間存在高度相關時，進行回歸分析尋間存在高度相關時，進行回歸分析尋求其相關的具體形式才有意義。求其相關的具體形式才有意義。12v（四）相關分析與回歸分析的區別（四）相關分析與回歸分析的區別v1. 相關分析只研究變量間的相關方向和相關分析只研究變量間的相關方向和相關程度，不必確定變量中哪個是自變相關程度，不必確定變量中哪個是自變量，哪個是因變量，變量都是隨機的。量，哪個是因變量，變量都是隨機的。v2. 回歸分析是對具有相關關系的變量間回歸分析是對具有相關關系的變量間的數量聯系進行測定，必須事先確定變

10、的數量聯系進行測定，必須事先確定變量的類型。通常因變量是隨機的，自變量的類型。通常因變量是隨機的，自變量可以是隨機的，也可以是非隨機的。量可以是隨機的，也可以是非隨機的。13第二節 簡單線性相關分析一、相關圖與相關表一、相關圖與相關表二、相關系數的測定與應用二、相關系數的測定與應用三、相關系數的密切程度三、相關系數的密切程度14第二節 簡單線性相關分析v一、相關圖與相關表一、相關圖與相關表v相關圖和相關表是相關分析的基本工相關圖和相關表是相關分析的基本工具，根據相關圖可以直接判斷現象之具，根據相關圖可以直接判斷現象之間大致呈現何種關系形式。間大致呈現何種關系形式。151617v二、相關系數的測

11、定與應用二、相關系數的測定與應用v（一）相關系數的定義（一）相關系數的定義v單相關分析是對兩個變量之間的相關程度單相關分析是對兩個變量之間的相關程度進行分析。單相關分析所用的指標稱為進行分析。單相關分析所用的指標稱為單單相關系數相關系數，簡稱，簡稱相關系數相關系數，用，用 r r 表示。表示。相關系數的相關系數的定義式定義式為：為：y yx x2 2xyxyr r 18將上述公式展開：) )y y)(y)(yx x(x(xn n1 1n n) )y y)(y)(yx x(x(x2 2xyxy2 22 2x x) )x x(x(xn n1 1n n) )x x(x(x2 22 2y y) )y

12、y(y(yn n1 1n n) )y y(y(y19再代入到原公式中，得：v（二）相關系數的簡捷計算方法（二）相關系數的簡捷計算方法2 22 2y yx x2 2xyxy) )y y(y(y) )x x(x(x) )y y)(y)(yx x(x(xr r) )y yy y2y2y(y(y) )x xx x2x2x(x(x) )y yx xy yx xy yx x(xy(xyr r2 22 22 22 2202 22 22 22 2y yn ny yy y2 2y yx xn nx xx x2 2x xy yx xn nx xy yy yx xxyxyr ry yn ny y, , x xn n

13、x x得：得：, ,n ny yy y, ,n nx xx x根據：根據：2 22 22 22 2y yn ny yx xn nx xy yx xn nxyxyr r21v通過對基本公式的變形簡化，可以不計算通過對基本公式的變形簡化，可以不計算離差離差直接根據歷史資料計算相關系數。直接根據歷史資料計算相關系數。2 22 22 22 22 22 2n n) )y y( (n ny yn n) )x x( (n nx xn ny yn nx xn nxyxyr r 2 22 22 22 2) )y y( (y yn n) )x x( (x xn ny yx xxyxyn nr r22例1：P354

14、頁，第1題企業企業序號序號產量產量 X（4件）件）單位成單位成本本(元元)YXYX2Y2125210442704235416292916345220816270444481921623045548240252304664627636211624300118210615048即：即：X=24，Y=300， XY=1182， n=6，X2 = 106， Y2 = 15048 23 2 22 22 22 2) )y y( (y yn n) )x x( (x xn ny yx xxyxyn nr r2 22 230030015048150486 624241061066 630030024241182

15、11826 6r r0 0. .8 82 21 16 61 16 6. .9 97 70 06 67 7. .7 74 46 60 01 10 08 82 28 88 86 60 01 10 08 8r rvr =0.8216，包含了兩方面的內容：即兩個，包含了兩方面的內容：即兩個變量相關的方向和相關的程度。正負號說明變量相關的方向和相關的程度。正負號說明了相關的方向，具體數字說明了相關的程度了相關的方向，具體數字說明了相關的程度24三、相關系數的密切程度 相關系數的變化范圍在相關系數的變化范圍在 -1-1到到+1+1之間。負值代之間。負值代表負相關，正值代表正相關。相關系數絕對表負相關，正值

16、代表正相關。相關系數絕對值的大小代表相關關系的密切程度。值的大小代表相關關系的密切程度。25v為了判斷時有個標準，有學者提出了相為了判斷時有個標準，有學者提出了相關關系密切程度的等級，即相關系數在關關系密切程度的等級，即相關系數在0.3以下為不相關，以下為不相關，0.3以上為有相關。以上為有相關。v具體等級的劃分如下：具體等級的劃分如下：26v當計算相關系數的原始資料較多時，當計算相關系數的原始資料較多時，比如比如50個個以上，上述相關程度的等級以上，上述相關程度的等級是可以相信的；但是，如果計算相關是可以相信的；但是，如果計算相關系數所依據的歷史資料較少，則相關系數所依據的歷史資料較少，則相

17、關等級的可信度將會降低。此時，判斷等級的可信度將會降低。此時，判斷相關等級的起點應該提高，要以相關等級的起點應該提高，要以0.4或或0.5為起點，這樣判斷相關等級的為起點，這樣判斷相關等級的結果才會于實際情況相吻合。結果才會于實際情況相吻合。27v一、回歸分析的概念和表現形式一、回歸分析的概念和表現形式v（一）回歸分析的概念（一）回歸分析的概念v相關分析只能說明現象之間的相關方向和相相關分析只能說明現象之間的相關方向和相關程度，但不能說明現象之間因果的數量關關程度，但不能說明現象之間因果的數量關系。要了解現象之間的因果數量關系必須運系。要了解現象之間的因果數量關系必須運用回歸分析的方法。用回歸

18、分析的方法。v回歸分析：是對具有高度相關關系的變量之回歸分析：是對具有高度相關關系的變量之間數量變化的一般關系進行測定，確定一個間數量變化的一般關系進行測定，確定一個相關的數學模型進行預測的統計方法。相關的數學模型進行預測的統計方法。第三節 回歸分析28（二）回歸分析的表現形式v1. 直線回歸分析直線回歸分析：用一條直線來近似地：用一條直線來近似地代表現象之間的一般數量關系。這條直代表現象之間的一般數量關系。這條直線在數學上叫做回歸直線。線在數學上叫做回歸直線。v2. 曲線回歸分析曲線回歸分析：用一條曲線來近似地：用一條曲線來近似地代表現象之間的一般數量關系。這條曲代表現象之間的一般數量關系。

19、這條曲線在數學上叫做回歸曲線。曲線的形式線在數學上叫做回歸曲線。曲線的形式有拋物線、指數曲線、雙曲線等。有拋物線、指數曲線、雙曲線等。29二、直線回歸分析v（一）簡單直線回歸分析（一）簡單直線回歸分析（2 2個變量）個變量）v1、簡單直線回歸分析的特點、簡單直線回歸分析的特點v隨著自變量的變動，因變量按照大體相等隨著自變量的變動，因變量按照大體相等的逐期增長量進行變動的一般數量關系。的逐期增長量進行變動的一般數量關系。v即因變量的逐期增長量大體相等。即因變量的逐期增長量大體相等。v1）進行回歸分析時必須根據研究目的確定）進行回歸分析時必須根據研究目的確定自變量和因變量。自變量和因變量。v2）在

20、兩個變量互為因果的條件下，可以配）在兩個變量互為因果的條件下，可以配合合兩條回歸直線方程：兩條回歸直線方程：30 Y倚倚X的直線方程：的直線方程：Y是因變量，是因變量，X是自變量是自變量 yc = a + bx X倚倚Y的直線方程：的直線方程：X是因變量，是因變量，Y是自變量是自變量 xc = c + dy X和和Y只能計算一個相關系數，但是卻可以配只能計算一個相關系數，但是卻可以配 合兩條回歸方程。當兩個變量不是互為因果合兩條回歸方程。當兩個變量不是互為因果 的關系時，則只能配合出一個條回歸直線。的關系時，則只能配合出一個條回歸直線。 2、回歸方程的作用、回歸方程的作用 推算作用推算作用：給

21、出自變量取值來推算因變量數值：給出自變量取值來推算因變量數值 31v簡單回歸直線方程的基本形式：簡單回歸直線方程的基本形式：v Y倚倚X的直線方程：的直線方程： yc = a + bx v X倚倚Y的直線方程：的直線方程： xc = c + dyva和和c是直線的截距，是直線的截距，b和和d是兩條直線的回是兩條直線的回歸系數。歸系數。a、b、c、d都是待定參數。確定都是待定參數。確定這些參數可以用不同的方法，但是統計中這些參數可以用不同的方法，但是統計中最常使用的還是最小平方法。與第五章不最常使用的還是最小平方法。與第五章不同的用自變量（同的用自變量（x）代替時間（）代替時間（t）。）。3、簡

22、單回歸方程的確定32v1）Y倚倚X的直線方程的確定的直線方程的確定v根據最小平方法的原理：根據最小平方法的原理：v將將yc = a + bx代入上述公式中，分別對代入上述公式中，分別對a和和b求一階偏導數，并令偏導數等于求一階偏導數，并令偏導數等于0，就可以，就可以得出兩個正規方程：得出兩個正規方程：最最小小值值) )y y( (y y2 2c c2 2x xb bx xa ax xy yx xb bn na ay yx xb by ya ax)x)( (x xn ny yx xxyxyn nb b2 22 2 33y yd dx xc cy)y)( (y yn nx xy yyxyxn nd

23、 d2 22 2 v2） X倚倚Y的直線方程的確定的直線方程的確定v根據最小平方法的原理：根據最小平方法的原理：v將將xc = c + dy代入上述公式中，分別對代入上述公式中，分別對c和和d求一階偏導數，并令偏導數等于求一階偏導數，并令偏導數等于0，就可以，就可以得出兩個正規方程：得出兩個正規方程：最最小小值值) )x x( (x x2 2c c2 2y yd dy yc cyxyxy yd dncncx x舉例：舉例：P355，第，第4題。題。34X汽車汽車貨運量貨運量（億噸（億噸/千米）千米）Y汽車汽車擁有量擁有量（萬輛）（萬輛）35要求：（要求：（1）根據資料作散點圖）根據資料作散點圖

24、36 年份年份XYXYX2Y2 19944.10.271.10716.810.0729 19954.50.311.39520.250.0961 19965.60.351.96031.360.1225 19976.00.402.400360.16 19986.40.523.32840.960.2704 19996.80.553.74046.240.3025 20007.50.584.35056.250.3364 20018.50.605.10072.250.36 20029.80.656.37096.040.4225 200311.00.738.0301210.5329 合計合計70.24.96

25、37.78537.162.676237（2）求相關系數。）求相關系數。 2 22 22 22 2) )y y( (y yn n) )x x( (x xn ny yx xxyxyn nr r2 22 24.964.962.67622.6762101070.270.2537.16537.1610104.964.9670.270.237.7837.781010r r0.9560.95630.95630.95629.60829.6082.16042.1604443.56443.5629.60829.608r r38v（3）配合簡單線性回歸方程。）配合簡單線性回歸方程。x xb by ya ax)x)(

26、 (x xn ny yx xxyxyn nb b2 22 2 0.06680.0668443.56443.5629.60829.60870.270.2537.16537.1610104.964.9670.270.237.7837.781010b b2 20.0270.027101070.270.20.06680.066810104.964.96n nx xb bn ny ya a39v（二）多元線性回歸分析（二）多元線性回歸分析v在實際中，通常影響因變量的因素不只在實際中，通常影響因變量的因素不只一個，而是很多。因此，我們必須應用一個，而是很多。因此，我們必須應用兩個或更多個自變量來估計因變量

27、，這兩個或更多個自變量來估計因變量，這就叫多元線性回歸分析。就叫多元線性回歸分析。v多元線性回歸分析的步驟、方法和一元多元線性回歸分析的步驟、方法和一元線性回歸分析基本上是相同的，不過在線性回歸分析基本上是相同的，不過在計算上比較復雜。計算上比較復雜。40v1、二元線性回歸方程的擬合、二元線性回歸方程的擬合v yc = a + b1x1 + b2x2v式中，式中， yc為因變量估計值；為因變量估計值； a、b1、b2為三個待定參數。為三個待定參數。v確定確定 a、b1、b2 的數值，也要用最小平的數值，也要用最小平方法，使方法，使v分別對分別對a、b1、b2求一階偏導數，并另其求一階偏導數，并

28、另其等于等于0，就可得出如下三個正規方程：，就可得出如下三個正規方程：最最小小值值) )y y( (y y2 2c c41v解上述三元一次方程，即可得出解上述三元一次方程，即可得出 a、b1、b2 的值。的值。v例：例：P356頁，第頁，第6題。題。v某地區某地區19902002年糧食產量、牲畜頭年糧食產量、牲畜頭數和有機肥量有關資料如下：數和有機肥量有關資料如下：2 21 11 1x xb bx xb bnanay y22 21 12 22 21 11 11 11 1x xx xb bx xb bx xa ay yx x2 22 22 22 21 11 12 22 2x xb bx xx x

29、b bx xa ay yx x42年年 份份yx1x2x1 x2199025441566019912342156301992244514630199323451672019942446156901995254417748199626461673619972646156901998254415660199927461673643年年 份份yx1x2x1 x22000284518810200130482096020023150199503375912119620根據上述資料：根據上述資料：（1）建立多元線性回歸方程；）建立多元線性回歸方程；（2）如果已知）如果已知2003年有機肥施有量為年有機肥施

30、有量為52萬噸萬噸牲畜頭數為牲畜頭數為21萬頭，預測該年糧食產量為多少？萬頭，預測該年糧食產量為多少？44yx1x2x1yx2y19362252544151100375176422523421596634520251962445141080336202525623451610353682116225244615110436019362892544171100425211625626461611964162116225264615119639019362252544151100375211625627461612424322 21 1x x2 22 2x x45yx1x2x1yx2y202532

31、4284518126050423044003048201440600250036131501915505892691534633375912111536955152 21 1x x2 22 2x x2 21 1211b211b591b591b13a13a3373372 21 19620b9620b26915b26915b591a59121 13463b3463b9620b9620b211a211a5515551546v解上述方程可得：解上述方程可得：a=-12.8326, b1=0.5803, b2 =0.7624，則多元線性回歸方程為：，則多元線性回歸方程為：vyc

32、 = -12.8326 + 0.5803x1 + 0.7624 x2v預測預測2003年的糧食產量：年的糧食產量：vy2003 = -12.8326 + 0.580352 + 0.7624 v 21=33.3534（億千克）（億千克）v2、多元線性回歸方程的擬合、多元線性回歸方程的擬合v設設 y 受受 n 個自變量個自變量v的影響，其回歸方程為：的影響，其回歸方程為：n n3 32 21 1x x , , , , x x , , x x , , x x47yc = a + b1x1 + b2x2 +b3x3 + bnxnn nn n2 21 11 1x xb bx xb bx xb bnana

33、y y2n n1 1n n2 21 12 22 21 11 11 11 1x xx xb bx xx xb bx xb bx xa ay yx xn n2 2n n2 22 22 22 21 11 12 22 2x xx xb bx xb bx xx xb bx xa ay yx x2 2n nn nn n2 22 2n n1 11 1n nn nx xb bx xx xb bx xx xb bx xa ay yx x48第四節 估計標準誤差一、估計標準誤差的概念一、估計標準誤差的概念二、簡單直線回歸估計標準二、簡單直線回歸估計標準 誤差的測定誤差的測定三、相關系數與估計標準差三、相關系數與估

34、計標準差 的關系的關系49 一、估計標準誤差的概念一、估計標準誤差的概念v估計標準誤差：估計標準誤差：（也稱（也稱估計標準差估計標準差或或回歸標準差回歸標準差）是因變量實際值（是因變量實際值（Y）與）與所配合直線模型上的理論值（所配合直線模型上的理論值（Yc）之）之間的標準差。是用以說明回歸方程推間的標準差。是用以說明回歸方程推算結果的準確程度的統計指標。即說算結果的準確程度的統計指標。即說明明平均線平均線的的代表性大小。代表性大小。50二、簡單直線回歸估計標準誤差的測定二、簡單直線回歸估計標準誤差的測定1、根據因變量、根據因變量實際值實際值和和估計值估計值的離差計算的離差計算2)(2nyyS

35、cyx512、根據a、b兩參數值計算估計標準誤差2)()(2nxybyaySyx反映實際觀察值與回歸估計值離差平方和反映實際觀察值與回歸估計值離差平方和 的平方根。的平方根。 反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀 況，說明了回歸直線擬合況，說明了回歸直線擬合的準確的準確程度。程度。523、回歸估計標準誤差與一般的標準差的異同相同點相同點：都是離差的平方的平均數的平方根；：都是離差的平方的平均數的平方根； 都是反映平均差異程度的指標；都是反映平均差異程度的指標； 都用于衡量代表性大小。都用于衡量代表性大小。nxx2)(2)(2nyyScyx53三、相關系數與估

36、計標準差的關系三、相關系數與估計標準差的關系兩個指標在數量上具有如下關系：兩個指標在數量上具有如下關系：222221yyxyyxySSr)1 (222rSyyx)1 (2rSyyx54P358.9（1）繪制散點圖，判別相關與回歸的種類55時時 間間產量產量 x單位成本單位成本yxyx2y21995273146453291996372216951841997471284165041199837321995329199946927616476120005683402546242001666396364356200276545549422534557233216438849（2）配合適當的回歸方程）

37、配合適當的回歸方程56x xb by ya ax)x)( (x xn ny yx xxyxyn nb b2 22 2 1.80771.807715615628228234341641648 85575573434233223328 8b b2 2- -77.307777.30778 834341.80771.8077- -8 8557557n nx xb bn ny ya a57（3）根據回歸方程，指出每當產量增加1萬 件時，單位成本的變化情況每當產量增加每當產量增加1 1萬件時，單位成本就減少萬件時，單位成本就減少1.8077元。元。（4）計算相關系數和估計標準誤差）計算相關系數和估計標準誤差 2 22 22 22 2) )y y( (y yn n) )x x( (x xn ny yx xxyxyn nr r2 22 255755738849388498 834341681688 85575573434233223328 8r r580.96890.9689291.05291.052822825435