1、高中數學第四章-三角函數知識點匯總1.與a（0°專360。）終邊相同的角的集合（角a與角P的終邊重合）：節|B=kx360°+u,kWZ終邊在x軸上的角的集合:< |=k 180 , k.= Z ''cosx3 sinx4終邊在y軸上的角的集合:丫:=k 18090 ,k Z?y2sinx| / 1I cosx終邊在坐標軸上的角的集合:終邊在y=x軸上的角的集合:三廣=k 18045 ,k mZ 'cosx|/1 |sinx2I cosx4 sinx|3SINCOS三角函數值大小關系圖終邊在y=_x軸上的角的集合:< |=k 180 _4

2、5 ,k Z.'1、2、3、4表示第一、 四象限一半所在區域若角c（與角P的終邊關于x軸對稱，則角a與角P的關系:Ct=360 k -若角c（與角P的終邊關于y軸對稱，則角a與角P的關系:= 360 k 180 - 一：若角c（與角P的終邊在一條直線上，則角P的關系:角a與角P的終邊互相垂直，則角 a與角P 的關系：a=360：k +P±90 =2.角度與弧度的互換關系： 注意：正角的弧度數為正數,360 =2 n 180 = n 1 ° =0.01745 1=57.30負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零=57° 18'、弧度與角度互換公式:1r

3、ad180 °心 57.30 ° =57° 18 '.1°里y 0.01745 (rad)ji1803、弧長公式:.112扇形面積公式：為形=lr |： | r224、三角函數:個任意角，在a的終邊上任取（異于原點的）一點P （x,y ） P與原點的距離為y - sin .=一 'r一 x :cos ='一 ry . tana =-，xx :cot ：=' ysec： = xr csc:=-y5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函數線正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線：AT.7.三角函數的定義

4、域:三角函數定義域f (x) =sinxf (x) =cosxf (x) =tanxf (x) =cotxsin , cos.-=tan -1 =cot-.cos 二.s i n公式組四（二）角與角之間的互換公式組一公式組三公式組五公式組四公式組二公式組六公式組二公式組二公式組五f(x)=secxf(x)=cscx8、同角三角函數的基本關系式:9、誘導公式：把包七鎖三角函數化為a的三角函數，概括為：“奇變偶不變，符號看象限，«當成銳角看！”（kWZ）2一一-三角函數的公式：（一）基本關系sin15 ' -cos75 _ 6 2 , ,tan15 =cot 75 =2 - 3,

5、.tan75 =cot15 =2 - 3 sin 75 =cos15, x= tan 一 2.一般地，若 y = f （x）(A、©>0)定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數當中#0,非奇非偶當中=0,奇函數單調性JT一一+2kn,2ji+2kn上為增函數；-42k工23L+2kn上為減函數(kWZ)（2k-1另2kn;上為增函數2k；T,（2k+1列上為減函數（kWZ）冗，冗，；,一一+kn,一+knI22）上為增函數（kWZ）(kn,(k+1#)上為減函數(kWZ)1J1:J2kn-中12(A),0,1-2kn+it一邛23).o-二為增函數；2kn一中

6、12(A),©,3個2kn+jt一平2(-A).8-二為減函數(kWZ)410.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質:注意：y=-sinx與y=sinx的單調性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調性也同樣相反在a,b上遞增（減），則y=f（x）在a,b上遞減（增）.y=sinx與y=COSX的周期是二.y=sin(cx+叫或y=cosx+中)(®¥0)的周期T=的周期為2n（丁_兀一下仃，如圖，翻折無效）II-2.y=sin（cx+邛）的對稱軸方程是x=kn+：（kZ）,對稱中心（k%0）；y=cosx+中）的對稱軸方程是x=kn（kwz）,對稱中心（行

7、+1或0）;y=tan（0x十中）的對稱中心（,0）.當tanatanP=1,a+P=kn+；(kwz)；tana-tanP=-1,ct-P=kn(k=Z).yy=cosx與y=sinix+2k-r:是同一函數，而y=(®x+中)是偶函數，則,21y=(x.)=sin(-xk/"；1二)=cos(x).函數y=tanx在R上為增函數.（0只能在某個單調區間單調遞增.若在整個定義域，y=tanx為增函數，同樣也是錯誤的.定義域關于原點對稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數:f (»

8、) =f(x)，奇函數:g)=_f(x)奇偶性的單調性：奇同偶反 .例如：y=tanx是奇函數,y =tan（x+1n）是非奇非偶.（定義域不關于原點對稱）3奇函數特有性質：若0Wx的定義域，則f（x）一定有f（0）=0.（0更x的定義域，則無此性質）Dy-sinx不是周期函數；y=|sinx為周期函數（T=兀）；x1/2y=cosx是周期函數（如圖）；y=cosx為周期函數（T=兀）y=| cos2x+1/2| 圖象y=cos|x|圖象cos2x+1的周期為冗（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如:y=f(x)=5=f(xk),k三R.y=acosct+bsinP=3a2叱2sin(

9、a+9)+cos9=有Va2叱2>1y.a11、三角函數圖象的作法:1）幾何法：2）描點法及其特例一一五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）3）利用圖象變換作三角函數圖象.三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數y= Asin （ 3 x + 4）的振幅|A| ,周期T _空， 3位）.（當 A>0, 3>0時以上公式可去絕對值符號）， 由y = sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長到丫 =人$仙*的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換頻率f =1=©,相位（ox +中；初相邛（即當x= 0時的相 一丁 一2二（當|

10、A|>1）或縮短（當 0<|A|<1）到原來的|A|倍，得.（用 y/A替換v）由y= sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0<心|<1）或縮短（g|>1）到原來的|倍，彳4到y（H個單位，得到 y = sin （x+ 4）的b 1個單位，得到 y = sinx+ b的圖象（x6R）的圖象，要特別注意：當周=sinwx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.（用cox替才x）由y=sinx的圖象上所有的點向左（當（）>0）或向右（當（）<0）平行移動|圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用x+4替才奐x）由y=sinx的

11、圖象上所有的點向上（當b>0）或向下（當b<0）平行移動|叫做沿y軸方向的平移.（用y+（-b）替才奧y由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數y=Asin（3x+（）（A>0,3>0）期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別II.競賽知識要點一、反三角函數.1.反三角函數：反正弦函數y=arcsinx是奇函數，故arcsin（-x）=-arcsinx,xWL11（一定要注明定義域，若arcsinx 三xw(-8七c)沒有x與y一對應，故y=sinx無反函數)注：sin(arcsinx)=x,xw_1,1,反余弦函數y=arccosx非奇非偶，但有ar

12、ccos(-x)+arccos(x)=冗+2kn,xwLl,ll注：cos(arccosx)=x,xw_l,l,arccosxw0,n.y=c0sx是偶函數，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx為奇函數.反正切函數：y=arctanx,定義域(_叫十無),值域(一%,2L),y=arctanx是奇函數，22arctan(c)=-arctanx,xw(-oo,+xi).注：tan(arctanx)=x,x=(_oo,-kc).反余切函數：y=arccotx,定義域(_oqn),值域(_2L,三)，y=arccotx是非奇非偶.22arccot(-x)+arccot(x)

13、=n+2kn,xw(_oo,y注：cot(arccotx)=x,xW(-°o,+c).y=arcsinx與y=arcsin(1一x)互為奇函數，y=arctanx同理為奇而y=arccosx與y=arccotx非奇非偶但滿足arccos(-x)arccosx="：-2k二，x三-1,1arccotx-arccot(-x)=二-2k二，x三-1,1.正弦、余弦、正切、余切函數的解集：a的取值范圍解集a的取值范圍解集sinx=a的解集cosx=a的解集a >10a =1'x | x = 2kM:卜a r c sank 三 Z Ja < 14 | x =kn +(_1 k arcsin a, k w Za>1a =1% | x 必-arccosa,k 三Z ja<1& | x'njarccosa, k Wz tan x = a 的解集：& | x J 兀 4arctan a, k 三Z 二、三角恒等式.組一 o / on sin 2n 1：cos 二 cos2 二 cos4:cos2 =組二2n1sin :co x=a的解集:3sin 3- - 3sin - -4sin3 .cos 3