1、第一章 函數(shù)與極限授課題目（章節(jié)）§1.3 函數(shù)的極限教學(xué)目的與要求1. 理解函數(shù)極限的概念；明確極限是描述變量的變化趨勢；了解極限的定義中的的含義2. 理解極限的性質(zhì)教學(xué)重點與難點：重點：函數(shù)極限的概念難點：極限的定義講授內(nèi)容：§1.3函數(shù)極限的定義上一節(jié)講了數(shù)列的極限。自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限這種情形與數(shù)列的極限相類似，所不同的是，這里x是連續(xù)變化的，因此定義如下：定義2：設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式時,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限,記作或.妨此可定義

2、及的情景。因為數(shù)列可看作自變量為正數(shù)n的函數(shù)：它是函數(shù)的極限的一種類型，相對于數(shù)列的極限，這節(jié)的內(nèi)容也可稱作連續(xù)自變量函數(shù)的極限。主要研究兩種情形：一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限（）現(xiàn)在來研究當(dāng)x無限接近時，函數(shù)無限接近一個常數(shù)A的情形，需對x無限接近作出確切的描述。所謂當(dāng)x無限接近時，函數(shù)無限接近A其意義就是：當(dāng)x進(jìn)入的一個充分小的鄰域內(nèi)，可以小于任意給定正數(shù)（不管它多么?。覀冇帽硎旧鲜鲟徲虻陌霃剑w現(xiàn)了x接近的程度。給出時函數(shù)的極限定義如下：定義1：設(shè)函數(shù)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正數(shù),使得當(dāng)x滿足不等式時,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不

3、等式,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)時的極限,記作.注意： 1.刻劃與接近的程度；刻劃與接近的程度；是任給的，隨的變化而變化；2.，表與的距離小于；由于我們研究的是x無限接近時函數(shù)的變化趨勢，對于處函數(shù)的對應(yīng)值是不予考慮的，甚至在沒有定義也可以，因此定義只要滿足的一切值（不是）。3.區(qū)別 與。4. 是以任意方式趨于幾何意義：對于 ，作兩條直線 ，總存在的一個鄰域（除外），在此鄰域內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之內(nèi)。例1 證明：證明 ，取，當(dāng) 時，有 ，。例4 證明*證明:注意,函數(shù)在點x=1是沒有定義，但是函數(shù)當(dāng)是的極限存在或不存在與它并無關(guān)系.事實上,，約去非零因子x-1，就化為 ，因此，只要取，那么

4、當(dāng)時，就有所以 例5 證明：當(dāng)>0時，*證：，取，當(dāng) 時，有 ，。單側(cè)極限的概念：上述時函數(shù)的極限概念中，x是既從的左側(cè)也從的右側(cè)趨于的.但有時只能或只需考慮x僅從的左側(cè)趨于(記作)的情形,或x僅從的右側(cè)趨于(記作)的情形.在的情形,x在的左側(cè),.在的定義中,把改為,那么A就叫做函數(shù)當(dāng)時的左極限,記作或.類似的,在的定義中,把改為,那么A就叫做函數(shù)當(dāng)時的右極限,記作或.右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.左、右極限與極限存在的充要條件：例如 設(shè)：，研究 。解 ，故：。注 關(guān)于左右極限的用法。二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限這種情形與數(shù)列的極限相類似，所不同的是，這里x是連續(xù)變化的，因此定義如下

5、：定義2：設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式時,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限,記作或.定義2可簡單地表述為:時有.幾何意義：作兩條直線 ，則總有正數(shù)存在，使當(dāng)x<-X或x>X時，函數(shù)的圖形位于這兩條直線之間。*例7 證明證：時，不等式成立.因這個不等式相當(dāng)于或由此可知,如果取,那么當(dāng)成立.這就證明了y=0是函數(shù)圖形的水平漸近線。一般地說，如果，則直線y=c，是函數(shù)圖形的水平漸近線。還有，的情形。三、函數(shù)極限的性質(zhì)：定理1（函數(shù)極限的唯一性）：如果存在，則這極限必唯一定理2（

6、函數(shù)極限的局部有界性）:如果,那么存在常數(shù)M>0和,使得當(dāng).*證:因為=A,所以取=1,則時,有,記則定理2就獲證明.定理3（函數(shù)極限的局部保號性）:如果,而且,那么存在常數(shù),使得當(dāng)時,有).如果=A，而且A>0（或A<0），那么存在常數(shù)>0，使得當(dāng)時，有f (x )>0 ( 或f (x ) <0 )推論：如果在的某去心鄰域內(nèi)而且，那么,定理4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）如果極限存在，為函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意收斂于的數(shù)列，且滿足：，那么相應(yīng)的函數(shù)列必收斂，且§1.4 無窮小與無窮大 在自變量的一定趨勢下，函數(shù)的極限可能存在，也可能不存在，在極

7、限存在的情況下，我們們著重討論極限為零的情況，在極限不存在的情況下，我們著重討論函數(shù)值的絕對值無限增大的情況（以為例）。一、無窮小定義1 如果函數(shù)當(dāng)是的極限為零，那么稱函數(shù)為時的無窮小。例1 因為，所以函數(shù)為當(dāng)是的無窮小因為，所以函數(shù)為當(dāng)是的無窮小注：1、無窮小與很小的數(shù)。 2、零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù)。二、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1 在自變量的同一變化過程，函數(shù)具有極限A的充要條件是，其中是無窮小。*提問：、兩無窮小的和、差、積仍是無窮小？、兩無窮小的商也是無窮小嗎？引出不定式的概念。三、 無窮大定義2 設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時有定義）如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式0<<（或），對應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式，則稱函數(shù)為當(dāng)時的無窮大。按函數(shù)極限定義來說，這時的極限是不存在的。為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作。如果在無窮大的定義中，把，就記作例2 證明*證 設(shè)0x=1是的圖形的鉛直漸近線。一般地說，如果，則直線，是函數(shù)圖形的鉛直漸近線。四、無窮大與無窮小的關(guān)系無窮大與無窮小之間存在著互為倒數(shù)的關(guān)系。定理2 在自變量的同一變