1、山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂一、多元復合函數求導的鏈式法則二、多元復合函數的全微分第四節多元復合函數的求導法則山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂)(),(ttfz一、多元復合函數求導的鏈式法則一、多元復合函數求導的鏈式法則定理定理. 若函數,)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續, ),(vu在點在點 t 可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數證證: 設 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應中間變量且有鏈式法則vutt有增量u ,v ,山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂,0t令,0,0vu則有to)( 全導數公式全導

2、數公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu山東農業大學 高等

3、數學 主講人： 蘇本堂又如,),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導,xf表示固定 v 對 x 求導口訣口訣 : 分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導xfxvvfyvvf與不同,v山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂例例1. 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx山東農業大學

4、高等數學 主講人： 蘇本堂例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂例例3. 設 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導數,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復合函數求導在偏微分

5、方程變形與驗證解的問題中經常遇到, 下列例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號.山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設 f 具有二階連續偏導數, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂練習 1. 設xuy11f 11fyyu1f )

6、(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,求偏導數。山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 練習2 設yexuyxufz, ),(求zx2zx y 山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂二、多元復合函數的全微分二、多元復合函數的全微分設函數),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數

7、) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達 形式都一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 5. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy山東農業大學 高等數學 主講人： 蘇本堂內容小結內容小結1. 復合函數求導的鏈式法則“分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形