1、 微分形式及其簡單應用 摘要：在高等數學的學習中，數學分析是一門重要的基礎課程，而微分形式是一塊不可缺少的部分。本文通過對微分形式的相關定義及應用的探究，從而可以更加深入的了解微分形式及其簡單的應用。關鍵詞：導出映射 外形式 微分形式 微分形式的簡單應用 Differential form and its simple applications Abstract:In learning higher mathematics, the mathematical analysis is an important basic course, and differential form is an i

2、ndispensable part. This article through to the related definition and application of differential form of exploration, in order to more deeply understand the differential form and simple application. Keywords:Induced function Exterior form Differential form The simple application of differential for

3、m目 錄1.導出映射32.外形式53.微分形式94.微分形式的幾個簡單應用10參考文獻 1.導出映射1.1導出映射的定義 設，均為Banach空間，為中的開集，映射：及,如果下列條件成立：在點連續存在一個線性映射:,使得，則稱在點可微，線性映射是在點的導出映射，記作：或。事實上由導出映射的定義知滿足條件的是唯一且連續的。連續性是由于在點連續，故當時，。由條件知，當時，也就是是連續的。設為也滿足條件的線性映射，則記，由于和都是線性的，因此也是線性的，且，其中為的范數。 由于： 及，故推得。此表明唯一性得證。 如果在內每點都可微，就說在內可微，則稱在內可微。如果還在內連續，則稱在內連續可微或屬于類

4、的。1.2 復合映射的導出映射 設均為Banach空間，為中的開集，為中的開集，及兩個連續映射,如果在點可微，在點可微，則復合映射在點可微且。 事實上，若分別在點可微，則有 ，其中 ，其中 （再利用是線性映射，用在點可微的條件） 為表明在點可微，只需表明為的高階無窮小即可。由于在點可微，故線性映射是連續的，進而有界。又由于：，有界，故：，所以：。1.3 或為幾個Banach空間積情形的導出映射的情形 設，其中為中的開集，為進一步得出的性質定義標準投影，其中，。定義單射，。 定義的映射、均為線性的，由1.1的定義知：；。此外還有。由1.2導出映射的知識再根據，其中，知若在點可微等價于在點也可微，

5、且有：。的情形設為Banach空間，,為中的開集，,稱，其中為關于第i個坐標的偏映射，的導出映射記為：或。下證明：。，其中是中所定義的單射，則根據1.2有。故。由知：，再結合得：。的情形 設，為中的開集，故據的結果不難得到：，其中：2 外形式2.1 張量設為上的線性空間，r為任意正整數，稱r重線映射 ，為在上的階張量，其中的重線性是指：，設均為上的階張量，,如果議作用在任何自變量下均為零的張量為零張量，并按以下的法則定義“加法”和“數乘”。、則定義在上的全體階張量構成一線性空間，稱為張量空間記為：張量積 設，定義易知滿足下列運算規律： 類似地可以定義更多個張量的積：階張量空間的基及維數設為的一

6、組對偶基，則，其中可以取至中的任何數，故dim=.證明：符號約定：若在一個式子中上下指標重復表示該指標從到重復求和，如間記為：。第一步：證是線性無關集。設，其中,0表示零張量，下證。 = = =，其中 當1和時，結論得證。第二步:證=.設,，記=，則 =故任何中的元素均可由線性表出。2.2外形式設為的置換群，,記 ，定義Alt為Alt=，定義算子Alt:其中，Alt為線性算子：這是由Alt= =Alt+Alt. Alt=Alt可以看出來。故Alt=是的線性子空間，稱此空間為定義在V上的r階的外形式空間記作,中的元素稱為外形式。由于=，對于不同的指標而言有且共有情況，故：=b.外形式空間外積 設

7、,定義為:.由外積的定義知外積滿足以下運算規則： ，其中，證明從略。 類似地可以定義多個外形式的外積: ,其中設，為其一組對偶積，為整數，則為的一組基，故=。證明： 設 由以上行列式知當對一組固定的指標有重復時為零。 設,作為張量可以表示成：其中，作為外形式由于，故。由的分析知當有重復指標時，又根據外積的反對稱性知故實質上不同的簡單形式為。 設下證：0= = = = =故集合，是線性無關集。由于是外形式故，所以 = =故=，及Dim=3.微分形式3.1微分形式的定義 設均為Banach空間，U為E中的開集，。由于故可選取E的一組基在這組基下視E與等同。定義為從到第個坐標的投影。記，則恰有，可以

8、以： 為基底張成一外形式空間記此外形式空間為.映射,稱映射為在中確定，在中取值的次微分形式。如果還屬于類的那么這一微分形式也叫做屬于的，符號表示全體在中確定在中取值的屬于類的次微分形式，顯然它是一向量空間。3.2外微分 外微分算子，其中。 外微分算子的性質： ； 設 。 證明：設 = = （ ） =0，由于,所以 設，則） + + 4.微分形式的幾個簡單應用4.1用微分形式統一中的梯度，旋度，散度 ： 以下記 設， 其中表示的梯度 設， ， 其中，稱表示的旋度。 設， 其中稱為的旋度。 設 此式表明中只存在梯度，旋度和散度。另外在中取，則，有；在取，則,有.4.2微分形式在積分區域變換的應用：

9、 重積分的體積元。平面區域上函數的二重積分 ，其中面積元實際上應該寫成，而正是中區域上的二階微分形式。如作變量變換：，則當時，從而很自然地得到重積分換元公式：。同理，重積分的體積元也應該是。4.3微分形式在熱力學中的一個簡單應用：理想氣體的內能只與溫度有關，這是熱力學的一個結論。下面我們根據熱力學定律，應用外微分工具，簡單地導出這個結論。滿足狀態方程的氣體稱為理想氣體，這里為壓力，為比容（單位質量氣體的容積），為絕對溫度，為氣體常數。內能，一般是兩個熱力學參量的函數，取和作為獨立的熱力學參量，則有。熱力學定律（即熱力學第一定律和第二定律）給出 ，其中是熵。以理想氣體的狀態方程，代入上式得： 。

10、對上式兩邊作外微分，利用外微分公式，得故有，即，從而只是溫度的函數。4.4 用微分形式表達Maxwell電磁學方程：用微分形式表達電磁學的Maxwell方程組，該方程組是第一對：；第二對：。其中為電場；為磁場；為電感；為磁感；為電流密度；為電荷密度；為光速（常數）；為時間；為空間坐標。在四維時空中，令為如下的二階微分形式：。稱為電場磁感，由外微分法則知 合并同類項后，得 因此就給出第一對Maxwell方程。 令為如下的二階微形式： 稱為電感磁場。對作外微分，進行與類似的計算后得： 令為如下的三階微分形式：稱為電流電荷密度，則就給出第二對Maxwell方程，因此Maxwell電磁方程用微分形式表達的表達式就是。如再對方程作外微分運算，得，即由此得到電荷守恒律的方程 這說明電荷守恒律可由Maxwell方程組導出。 參考文獻【1】Cartan