1、第二十一章 二重積分1 二重積分概念教學(xué)目的與要求：1.掌握二重積分的定義和性質(zhì), 二重積分的可積條件.2.了解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的可積性.3.了解平面點(diǎn)集可求面積的充要條件.教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的定義和性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：二元函數(shù)可積條件.教學(xué)過程一、平面圖形的面積（一）、內(nèi)、外面積（約當(dāng)，黎曼外內(nèi)測度）的概念直線網(wǎng)分割平面圖形P，的網(wǎng)眼中小閉矩形的分類：（）含的全是P的內(nèi)點(diǎn),（）含的全是P的外點(diǎn)（不含P的點(diǎn)）,（）內(nèi)含有P的邊界點(diǎn),記為的第類的面積的和記為的第和第三類的面積的和記=，稱為P的內(nèi)面積記=，稱為P的外面積定義1 若平面圖形P的內(nèi)面積等于它的外面積，則稱P為可求面積，并稱其共同值=

2、為P的面積（約當(dāng)，黎曼測度）定理21.1 平面有界圖形P可求面積的充要條件是：對(duì)任給的，總存在直線網(wǎng)，使得. （2）證明 必要性設(shè)平面有界圖形的面積為由定義1，有=對(duì)任給的，由及的定義知道，分別存在直線網(wǎng)與，使得，記為由與這兩個(gè)直線網(wǎng)合并的直線網(wǎng)，可證得， (3)于是由（3）可得，從而得到對(duì)直線網(wǎng)有 ，充分性對(duì)任給的，存在直線網(wǎng)，使得（2）式成立但，所以 ，由的任意性，因此=，因而平面圖形P可求面積推論 平面有界圖形P的面積為零的充要條件是它的外面積，即對(duì)任給的，存在直線網(wǎng)，使得，或?qū)θ谓o的，平面圖形P能被有限個(gè)其面積總和小于的小矩形所覆蓋定理21.2 平面有界圖形P可求面積的充要條件是：P的

3、邊界K的面積為零 證明 由定理211，P可求面積的充要條件是：對(duì)任給的，存在直線網(wǎng)，使得由于，所以也有由上述推論，P的邊界K的面積為零定理21.3 若曲線K為由定義在上的連續(xù)函數(shù)的圖象，則曲線K的面積為零證明 由于在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，從而一致連續(xù)因而對(duì)任給的，總存在，當(dāng)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間并且滿足時(shí)，可使在每個(gè)小區(qū)間上的振幅都成立現(xiàn)把曲線K按自變量分成個(gè)小段，這時(shí)每一個(gè)小段都能被以為寬，為高的小矩形甩覆蓋由于這個(gè)小矩形面積的總和為，所以由定理211的推論即得曲線K的面積為零還可證明得到：由參量方程所表示的光滑曲線或按段光滑曲線，其面積為零二、 二重積分的定義及其存在性背景：求某曲頂柱體的體積時(shí)，

4、通過“分割、近似，求和、取極限”的步驟，利用求柱體的體積的方法來得到結(jié)果一類大量的“非均勻”問題都采用類似的方法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義定義設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，用任意曲線把分成個(gè)可求面積的小區(qū)域：以表示的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)分割，以表示的直徑，稱為分割的細(xì)度，在每一個(gè)上任取一點(diǎn)（），作和式： ，稱之為函數(shù)在上屬于分割的一個(gè)積分和定義2 設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對(duì)于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度時(shí)，屬于的所有積分和都有，則稱在上可積，數(shù)稱為函數(shù)在上的二重積分，記作=，其中稱為二重積分的被積函數(shù)，稱為積分變量

5、，稱為積分區(qū)域幾何意義：當(dāng)時(shí)，二重積分在幾何上表示以為曲頂，為底的曲頂柱體的體積.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，則面積元素為D直角坐標(biāo)系下可表示為： =.可積的必要條件：在可求面積的區(qū)域D上有界函數(shù)在可求面積的區(qū)域D上有界時(shí)，T是D的一個(gè)分割，把D分成個(gè)可求面積的小區(qū)域，令，關(guān)于分割T的上和與下和：,.定理21.4在D上可積的充要條件是：=.定理21.5在D上可積的充要條件是：對(duì)于任給的正數(shù)，存在D的某個(gè)分割，使得定理21.6 有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必可積定理21.7 設(shè)是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)若的不連續(xù)點(diǎn)都落在有限條光滑曲線上，則在D上可積.證明 不失一般性，可

6、設(shè)的不連續(xù)點(diǎn)全部落在某一條光滑曲線L上記L的長度為，于是對(duì)任給的0，把L等分成段：，在每段上取點(diǎn)，使段與其一端點(diǎn)的弧長為，以為中心作邊長為的正方形，則，從而有記，則為一多邊形設(shè)的面積為，那么，現(xiàn)在把區(qū)域D分成兩部分第一部分第二部分由于在上連續(xù)，根據(jù)定理21.6與定理21.5，存在的分割，使得又記，以表示由與多邊形的邊界所組成的區(qū)域D的分割，則有，其中是在D上的振幅由于在D上有界，故是有限值于是由定理21，5就證明了在上可積.三、二重積分的性質(zhì)二重積分具有一系列與定積分完全相類似的性質(zhì)，現(xiàn)列舉如下：1. 若在區(qū)域D上可積，為常數(shù)，則在D上也可積，且=2若,在D上都可積，則在D上也可積，且 =.3. 若在和上都可積，且與無公共內(nèi)點(diǎn)，則在也可積，且=+.4若與在D上可積，且，D，則5若在D上可積，則函數(shù)在D上也可積，且.6. 若在D上可積且 mM， D則.這里是積分區(qū)域D的面積7(中值定理) 若在