1、懸濁液中固體顆粒半徑的測量摘要我們都知道，懸濁液是一種分散系，其分散系粒子直徑在100nm以上，多為很多分子的集合體，如泥漿等。懸濁液不透明、不均一、不穩定，不能透過濾紙，靜置后會出現分層（即分散質粒子在重力作用下逐漸沉降下來）。因此，我們可以通過測定分散質粒子在重力作用下沉降的速度來測定粒子的半徑。固體顆粒在液體介質中，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。這里，我們假設固體顆粒都是半徑相同的球狀粒子，密度都一樣且在溶液中等速下沉，根據力的平衡原理，可以間接算出固體顆粒的半徑大小。但實驗中無法保證沉降顆粒的大小一樣，所以測得的數據實際上是許許多多不同半徑的顆粒的混合物，因此得

2、到的沉降曲線在理論上應該是各個粒子單獨的沉降曲線的疊加。另外，不同半徑的固體顆粒的數量不可能均勻分布在同一個體系中，因此還要分析其分布的規律。而顯而易見，固體顆粒的種類、在液體中的數量大小等諸多因素都會使我們得到的分布曲線千差萬別，但縱使它再復雜的變化，這一模型的思想對它們也是同樣適用的。綜上所述，對于測量固體顆粒半徑，我的方案是：首先通過實驗測得一個分散體系的總沉降數據，根據數據畫出相應的G-t曲線，再利用曲線求出在一定的粒子半徑范圍內的顆粒個數。這一模型的建立有很多不足之處。首先，它忽略了固體顆粒的形狀，把它們都假設成是完美的球狀粒子，但實際并非如此，每種物質的顆粒形狀都是不同的，而且大別

3、很大；其次，固體顆粒的密度也不是均勻的，這會影響我們計算它的重力。因此，這一模型較適用于大小適中、形狀普通的固體粒子。關鍵詞：固體顆粒半徑、重力、摩擦阻力、速度目錄第一部分 問題重述(3)第二部分 問題分析(3)第三部分 模型的假設(4)第四部分 定義與符號說明(4)第五部分 模型的建立與求解(5)第六部分 對模型的評價(9)第七部分 參考文獻(10)一 問題重述怎樣測量固體顆粒的大小。二 問題分析當固體顆粒足夠大時，我們用肉眼及測量工具即可測量固體顆粒的大小，而當固體的顆粒太小時，直接法已不能達到我們的目的，此時，常用間接法來測量。對于固體粉末，我們可以將它們放到不互溶的液體中，當粒子在液體

4、介質中下降時，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。這里，我們假設固體顆粒都是半徑相同的球狀粒子，密度都一樣且在溶液中等速下沉，根據力的平衡原理，可以間接算出固體顆粒的半徑大小。但實驗中無法保證沉降顆粒的大小一樣，所以測得的數據實際上是許許多多不同半徑的顆粒的混合物，因此得到的沉降曲線在理論上應該是各個粒子單獨的沉降曲線的疊加。另外，不同半徑的固體顆粒的數量不可能均勻分布在同一個體系中，因此還要分析其分布的規律。通過對概率論相關知識的學習，我們知道，在相當一般的條件下，當獨立隨機變量的個數增加時，其和的分布趨于正態分布。本次實驗中畫出的F(r)-r曲線在形態上大致符合正態分布，

5、但是與正態分布的差距還是很大的。因為真實顆粒的大小分布受諸多因素的影響?？傮w思路即是：首先通過實驗測得一個分散體系的總沉降數據，根據數據畫出相應的G-t曲線，再利用曲線畫出一定范圍的固體顆粒半徑所含固體顆粒的多少。實驗中，選取硫酸鉛粉末溶于水，用天平測定不同時間沉降的重量。實驗數據如下：T：17.0 P：101.8kPa 表一 沉降量G與對應的沉降時間時間/min0.000.501.001.502.002.503.00重量/g0.0000.0870.2160.3360.4270.4770.504續表一時間/min3.504.004.505.006.007.008.00重量/g0.5220.53

6、30.5430.5500.5610.5680.573續表二時間/min9.0010.0011.0012.0014.0016.0018.00重量/g0.5780.5810.5830.5860.5890.5910.594續表三時間/min20.0025.0030.0035.0040.0045.0050.00重量/g0.5950.5980.6000.6010.6020.6030.604=6.2×103/m30=1.03×103/m3=8.94×10-4Pa·Sg=9.8m/s2三 模型假設1 假設硫酸鉛粒子都是均勻密度的完整球體。2 假設液體的密度均勻。3 假

7、設實驗數據真實可靠，誤差極小。4 假設粒子在液體介質中等速下沉。 四 定義與符號說明1 設硫酸鉛粒子的半徑為r(cm)2. 設硫酸鉛粒子的密度為（g/cm3）3 設液體介質密度為0（g/cm3）4 設實驗稱得的重量為G5 設稱重時間為t五 模型的建立與求解（一）模型的假設首先，我們來討論G-t曲線的物理意義。假如有五種大小不同的粒子，易知每種粒子都應有其單獨的沉降曲線，它們開始時應為斜率為一定值的直線，然后當它們沉淀到秤上后直線變為一條水平線。五種粒子混合在一起也應有總的沉降曲線。如下圖，折線1、2、3、4、5。0t3t2t112t/minG/mg453G1EDCBAG1G2G3圖1 理論G-

8、t曲線若將沉降的距離分為五等段，記為1、2、3、4、5。在位置1的粒子離秤的距離為h1,因為粒子是勻速下降，所以粒子從一位置下降到秤的時間為：因此當t<t1時，秤中沉降物的重量與時間的關系為：式中m1是直線的斜率。當t>t1時，G=G1，是平行于橫軸的一條直線。半徑為r1的粒子的沉降曲線如圖2中折線1所示。若上述五種不同半徑的粒子同時沉降，其單獨的沉降曲線分別為圖2中折線1、2、3、4、5所示，則五種粒子的總沉降曲線就為一條接近于完全曲線的一組折線。在任何時刻該線上的某一點所示的沉降量，就相當于五條單獨的折線上相應點所示沉降量的和。例如：線段BC上任何一點的沉降量為：線段BC在t1

9、、t2間與沉淀曲線相切，因此由上述方程可知，其截距即為，這就是在t2時間已完全沉降的粒子量。前面已經敘述過，實際上任何固體粉末粒子都是在一定的范圍內由一系列的半徑大小不同的粒子所組成。根據圖1，可以求得任意范圍內的粒子的重量，再進一步求出粒子大小的分布。為了作出粒子大小的分布曲線，需要求得分布函數F(r)，用以表明半徑在rdr之間粒子的重量占粒子總重量G的分數，即：式中Gr為半徑等于r粒子的重量，G= Gr。但是，光是知道這些還是不夠的，我們并不知道時間與顆粒半徑的關系，所以還無法將上述結論運用到求解中。下面，我們將進一步討論時間與顆粒半徑的具體關系。前面我們已經假設粒子都是密度均勻的球狀固體

10、，它們在溶液中下降的速度為勻速，因此可知重力與摩擦阻力平衡。由此不難推出下面的方程式：ðð這就是著名的斯托克斯公式。這樣，我們就可以求出相應的F（r）-r曲線，從而得到一定半徑范圍的顆粒數。至于F（r）-r曲線我們可用圖解法來解決這一問題。在有限的半徑變化范圍內，常采取近似處理：將和代入上式就可以得到F(r)。作圖如下：F(r)r圖2 分布曲線當實驗數據無限多時，我們會發現這條分布曲線服從正態分布在相當一般的條件下，當獨立隨機變量的個數增加時，其和的分布趨于正態分布。(二)數據的處理基于上述理論，我們現在進行數據的處理。用描點法畫出G-t曲線，如下圖：00.10.20.30

11、.40.50.60.701234579111418253545系列1系列2圖3 實驗數據的G-t曲線 從圖一中可得出：mmm以此類推，得出五組數據，列表如下：3003.964.102.398.094.9646.2406.3438.8788.539 然后將它們繪制成圖，如下： 圖4 F(r)-r曲線六 模型評價與推廣求固體顆粒的半徑，用這種模型還是比較合理的，雖然它們對實際問題的簡化很多，導致局限性很大，但是還是可以在客觀上大體得出固體顆粒的大小，且其大致分布。在最后的數據處理中，利用圖解法求分布函數會造成很大誤差，雖然理論上可以進行但實際中并不可取。至于改進的方法，我們可以采用微分法，方法如下： 首先，求出，即先從G-t曲線上選幾個點求，以對t作圖，得到-t曲線，由此曲線再求斜率，得，再以對t作圖，得一曲線，再從-t曲線上讀出若干需要的值。 然后，將微分，即： 再將相應的、r代入上式即可。這一數學模型的缺點就是只