1、6 6垂直關系垂直關系6 6.1 1垂直關系的判定第1 1課時直線與平面垂直的判定1.理解直線與平面垂直的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.能運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直.直線與平面垂直(1)定義:如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直.(2)畫法:當直線與平面垂直時,通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖所示.(3)判定定理: 名師點撥名師點撥1.直線和平面垂直的定義是描述性定義,“任何一條”與“所有”表達相同的含義.2.直線與平面垂直是直線與平面相交的特例.3.由定義可得線面垂直線線垂直,即若a,b,則ab.

2、4.直線與平面垂直的判定定理告訴我們要證線面垂直可通過線線垂直來完成.5.由公理4可知平行具有傳遞性,因此兩條平行直線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面.【做一做1】 直線l垂直于平面內的無數條直線,則 ()A.lB.lC.lD.以上均有可能答案:D【做一做2】 如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PDBC,PD=1,PC=求證:PD平面ABCD.證明:PD=DC=1,PC=PDC是直角三角形.PDCD.又PDBC,BCCD=C,BC平面ABCD,CD平面ABCD,PD平面ABCD.題型一題型二題型三【例1】 有下列說法:已知三棱錐P-ABC的高為PO,且PA=PB

3、=PC,則點O為ABC的外心;如果直線l與平面不垂直,那么在內不存在與l垂直的直線;過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直;與一個平面的垂線垂直的直線和這個平面平行;過平面外一點和這個平面垂直的直線有且只有一條.其中正確說法的序號是.題型一題型二題型三解析: 答案: 題型一題型二題型三反思反思在平面幾何中,我們有結論:經過一點,有且只有一條直線與已知直線垂直.在立體幾何中,也有類似的重要結論:結論1:過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.結論2:過一點和已知直線垂直的平面有且只有一個.題型一題型二題型三【變式訓練1】 下列命題正確的是()A.如果一條直線垂直于平面內的一條直線,那么這條直

4、線和這個平面垂直B.如果一條直線垂直于一個平面內的兩條直線,那么這條直線和這個平面垂直C.如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線,那么這條直線和這個平面垂直D.如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線,那么這條直線和這個平面垂直題型一題型二題型三解析:本題主要考查直線和平面垂直的概念,解決本題關鍵是理解概念的本質.我們以正方體ABCD-A1B1C1D1為例,如圖.直線A1C1BD,且A1C1與平面ABCD內的和BD平行的直線都垂直,而A1C1與平面ABCD平行,故選項A,B,C錯,正確答案是D.答案:D題型一題型二題型三【例2】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,E是BB1的

5、中點,O是底面正方形ABCD的中心.求證:OE平面ACD1.分析:只需證OEAC,OED1O即可.其中OEAC易證,通過計算可得D1E2=D1O2+OE2,從而得到OEOD1.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思反思要善于利用平面圖形的性質構造線線垂直關系,如等腰三角形底邊上的中線、菱形的對角線、勾股定理的逆定理等,這是證明空間垂直關系的基礎,解題時要善于挖掘題中隱含條件.題型一題型二題型三【變式訓練2】 如圖,已知PAO所在的平面,AB是O的直徑,C是O上不同于A和B的任意一點,過點A作AEPC于點E.求證:AE平面PBC.證明:PA平面ABC,PABC.又AB是O的直徑,BCAC.而P

6、AAC=A,BC平面PAC.又AE平面PAC,BCAE.PCAE且PCBC=C,AE平面PBC.題型一題型二題型三易錯點:推理不嚴密而致誤【例3】 如圖所示,已知=l,PA于點A,PB于點B,AQl于點Q,連接BQ.求證:lBQ.錯解:=l,l,l,又PA,PAl.PB,PBl.而PAPB=P,l平面PAQB,lBQ.錯因分析:PAPB=P,則PA與PB確定一個平面,此時還不能確定點Q是否在平面PAB內,題中不加證明,就認為點Q在平面PAB內.顯然是錯誤的.題設中還有條件AQl,顯然如果沒有AQl,那么BQ就不可能垂直于l.題型一題型二題型三正解:連接AB,=l,PA,PB,PAl,PBl.又

7、PAPB=P,l平面PAB,lAB.又AQl,而AQAB=A,l平面ABQ,lBQ.題型一題型二題型三【變式訓練3】 題型一題型二題型三證明:如圖所示,連接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即PEC是等腰三角形.又F是底邊PC的中點,所以EFPC.F是PC的中點,所以BFPC.又BFEF=F,所以PC平面BEF.1 2 3 41.若一條直線和三角形的兩邊同時垂直,則這條直線和這個三角形的第三邊的位置關系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直 D.不確定解析:如果一條直線垂直于三角形的兩條邊,那么必垂直于這個三角形所在平面,因而必與第三邊垂直.答

8、案:B1 2 3 42.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與AA1垂直的面的個數是()A.1B.2C.3D.6答案:B1 2 3 43.在三棱錐P-ABC中,最多有個直角三角形.解析:如圖所示,不妨設PAAB,PAAC,則APB和PAC均為直角三角形.由線面垂直的判定定理知,PA平面ABC,即PABC,若ABC=90,則BCAB,BC面PBA,即PBC=90.ABC,PBC為直角三角形,故直角三角形最多有4個.答案:41 2 3 44.如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是棱AB,BC的中點,O是底面ABCD的中心.求證:EF平面BB1O.1 2 3 4證明:如圖所示,連接A