1、2022-3-151金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第三十九講第三十九講Lesson Thirty-Nine張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-152第十五章 上界定理及其應用主要內容主要內容Main Contentn虛功原理及最大塑性功原理虛功原理及最大

2、塑性功原理n上界定理的概念上界定理的概念n上界定理的應用上界定理的應用間斷速度場間斷速度場2022-3-15315.2 上界定理的概念上界定理的概念n15.2.1 邊界條件邊界條件可動工具可動工具 Fv固定工具固定工具 Fvv=v0，p=?v=0，p=?自由邊界自由邊界 Fp已知外力邊界已知外力邊界 Fpp=0，v=?p=p0，v=?p0速度不連續線速度不連續線 Fd2022-3-15415.2.2 下界定理下界定理n設剛設剛塑性物體的體積是塑性物體的體積是V，總表面積是，總表面積是F，表面力表面力pi（外載荷）在一部分表面（外載荷）在一部分表面Fp上是已知上是已知的，在其余部分表面的，在其余

3、部分表面Fv上位移速度上位移速度vi也是已知也是已知的。真實的應力場是的。真實的應力場是s sij，應變速度場是，應變速度場是e eij ，邊，邊界位移速度是界位移速度是vi 。對于真實的情況，令外功等對于真實的情況，令外功等于內功，有于內功，有 ijFiiFiiFiipvdFvpdFvpdFvpsdVije2022-3-155n再設再設s s*ij是靜力許可的應力場，它在每點滿足是靜力許可的應力場，它在每點滿足平衡方程和屈服條件。令這個虛設應力場平衡方程和屈服條件。令這個虛設應力場s s*ij在真實的應變速度場上作虛功，根據虛功方程在真實的應變速度場上作虛功，根據虛功方程有有 VijijFi

4、iFiiFiidVdFvpdFvpdFvppves2022-3-156n兩式相減并按最大塑性功原理有兩式相減并按最大塑性功原理有 0vijijijFiiidVdFvppvessvvFiiFiidFvpdFvp即即該式為下界定理。即任何靜力可能的應力分布所對該式為下界定理。即任何靜力可能的應力分布所對應的外力必不大于真實外力。應的外力必不大于真實外力。 2022-3-15715.2.3 上界定理上界定理n用用 表示真實的應力場、塑性應變速度場表示真實的應力場、塑性應變速度場和邊界位移速度。此外，再設定一個虛的位移和邊界位移速度。此外，再設定一個虛的位移速度場速度場 。在給定了邊界速度的那一部分表

5、面。在給定了邊界速度的那一部分表面Fv上，滿足邊界速度條件，即上，滿足邊界速度條件，即 ，并且在，并且在每一點滿足體積不可壓縮條件。每一點滿足體積不可壓縮條件。n由設定的位移速度場，可以導出應變速由設定的位移速度場，可以導出應變速度場度場 iijijv,es*iviivv *ije2022-3-158 設定的位移速度場設定的位移速度場 還可能包含有速度間斷，假定還可能包含有速度間斷，假定速度沿曲面速度沿曲面 發生間斷。由于不能肯定發生間斷。由于不能肯定 是真實的速是真實的速度間斷面，所以沿度間斷面，所以沿 的切向剪應力只能用的切向剪應力只能用 表示。表示。 ijjiijxvxv21e*ivdF

6、dFdF2022-3-159n真實的外力真實的外力 和內力場和內力場 在虛設的位移速度在虛設的位移速度場場 上作功，則由虛功率方程得出上作功，則由虛功率方程得出式中式中 是沿是沿 的切向速度不連續量。從物理上的切向速度不連續量。從物理上判斷，在不連續面判斷，在不連續面 上所消耗的功上所消耗的功 一定一定為正值，其極限是為正值，其極限是 。 ipivijsFFFVFijijiiiiiipvddFvdVdFvpdFvpdFvpes*ivdFdF*iv*ivk 2022-3-1510n按最大塑性功原理有按最大塑性功原理有 VijijijdVd0essVijijijdV0*ess或或 vdpFVFFi

7、iijijiidFvpdFvkdVdFvp*es則則 該式即為上界定理。即表示力在給定的邊界位移該式即為上界定理。即表示力在給定的邊界位移速度上付出的功率，以在真實的位移速度場情況下為速度上付出的功率，以在真實的位移速度場情況下為最小。或者說，由虛設位移速度場（位移場、應變速最小。或者說，由虛設位移速度場（位移場、應變速度場）算得的載荷大于或等于真實載荷。度場）算得的載荷大于或等于真實載荷。 2022-3-1511n上界定理簡化表達式上界定理簡化表達式bsiWWWJJ*不等式左邊不等式左邊J表示真實外力功率表示真實外力功率vFiidFvpJ不等式右邊不等式右邊J*表示虛構速度場下的外力功率表示

8、虛構速度場下的外力功率vFiidFvpJ*等式右邊表示虛構速度場下的各項功率等式右邊表示虛構速度場下的各項功率2022-3-1512其中其中VijijidVW*es dFsdFvkWpFiibdFvpW為內部塑性變形功率為內部塑性變形功率為不連續面上的剪切功率為不連續面上的剪切功率為附加外力功率為附加外力功率2022-3-1513n如果把接觸面上的摩擦功率也單獨表達出來，則有如果把接觸面上的摩擦功率也單獨表達出來，則有n在上界定理表達式中把摩擦功率也移到不等式右邊在上界定理表達式中把摩擦功率也移到不等式右邊vvFfFiidFvdFvpJpvvdFiiFfFVFijijiidFvpdFvdFvkdVdFvpes*或或bfsiWWWWJJ*2022-3-1514vFffdFvW*為摩擦剪切功率為摩擦剪切功率 慣性功率、孔隙擴張功率