1、yyyyyyyy年年M M月月d d日日李玉坤yyyyyyyy年年M M月月d d日日11.1 引言11.2 撓曲線近似微分方程11.3 積分法計算梁的變形11.4 疊加法計算梁的變形11.5 梁的剛度校核11.6 簡單靜不定梁ABCP3.水平線位移：平行于軸線方向的線位移忽略。一、撓度、轉角及其相互關系y11.1 引言1.撓度 y ：截面形心在垂直于原軸線方向的線位移。2.轉角 ：橫截面的角位移。yx 撓度與 y 軸正向一致為正，向下為正； 轉角自 x 軸正向轉到 y 軸正向為正，順時針轉為正。限定參考系，梁的左端為原點。x：變形前梁軸線，向右； y：撓曲線任一點的縱坐標，向下4、正負規定A

2、BCPyyx yxyddtg小變形撓曲線在某點的斜率 = 該截面轉角5、 y 與 之間的關系dxy(x)y(x)+dy(x) ABCPyyx dxx二、工程中的彎曲變形問題zEIxMx)()(12、數學公式。平面曲線任一點曲率23222dd1dd)(1xyxyx1、力學公式。忽略剪力影響，橫彎曲時梁撓曲線曲率公式11.2 撓曲線近似微分方程1dd2xy小撓度情形下zEIxMxy)(dd22一、撓曲線近似微分方程22ddxyyEIxMxy)(dd220)(xMzEIxMxy)(dd220dd22xyy0)(xM0dd22xyyEIxMxy)(dd220dd0)(22xyxMzEIxMxy)(dd

3、22y0dd0)(22xyxMzEIxMxyy)(dd22 1.忽略剪力 Q 的影響；2.材料服從虎克定律3.小變形。適用條件： 微分方程應用了曲率與彎矩的關系及小撓度的限制，僅適用于線彈性范圍內小撓度平面彎曲問題。 3、撓曲線近似微分方程AB二、撓曲線大致形狀依據： 1. 約束條件； 2. 光滑連續特性； 3. 凹凸情況由 M 的方向確定。梁的撓曲線連續光滑曲線PxAByxyRARBqMAyB BRA A B有位移不一定有變形思考ABMM繪出大致變形曲線ABMMEIxMxy)(dd22CdxxMxEIxyEI)()()( DCxdxdxxMxyEI)()(每段彎矩方程積分后出現兩個積分常數，

4、須確定它們。EIxMxy)(dd22 由撓曲線近似微分方程，可以積分得到梁的撓度方程和轉角方程。當 EI 為常數時，11.3 積分法計算梁的變形)()(xMxyEI 1. . 邊界條件 約束條件 撓曲線必須正確地通過約束點。x = 0 ，yA = 0 x = l ，yB = 0 x = 0 ，yA = 0 x = 0 ， A = 02. 光滑連續條件 相鄰撓曲線必須光滑連接。 c 左=c c右yc左 =yc 右c例：寫出圖示梁確定積分常數的條件連續條件：連續條件：x = a , yB1= yB2alyq邊界條件：邊界條件：x = 0, yA = 0 x = 0, A = 0 x = a+l ，

5、 yC =lCDABCDlx例已知：懸臂梁受力如圖，EI = 常數。試求：梁的撓度和轉角方程，確定最大值。 PxPlxM)(1、建立坐標系2、寫彎矩方程3、建立梁的撓曲線微分方程并積分 PxPlxMxyEI )()(lPxxyCPxPlxxEI2/)(2DCxPxPlxxEIy6/2/)(32AB解：3、建立梁的撓曲線微分方程并積分 PxPlxMxyEI )()(lPxxyCPxPlxxEI2/)(2DCxPxPlxxEIy6/2/)(32AB4、利用邊界條件，確定積分常數0)(0 xxy0)(0 xx代入方程，得到 C=0；D=02)(2PxPlxxEI62)(32PxPlxxEIy5、梁的

6、轉角方程和撓度方程 lPxxyOAB表示為表示為 21)(2PxPlxEIx621)(32PxPlxEIxy6、確定極值EIPlxlx2)(2maxEIPlxyylx3)(3max maxymax2)(2PxPlxxEI62)(32PxPlxxEIy5、梁的轉角方程和撓度方程 例已知：簡支梁左端受集中力偶，EI = 常數。試求：梁的撓度和轉角方程，確定最大值。 PxPlxM)(1、建立坐標系2、求反力，寫彎矩方程3、建立梁的撓曲線微分方程并積分 xPxPlxMxyEI )()(CPxPlxxEI2/)(2DCxPxPlxxEIy6/2/)(32AByxRARBM=Pl解：l3、建立梁的撓曲線微

7、分方程并積分 xPxPlxMxyEI )()(CPxPlxxEI2/)(2DCxPxPlxxEIy6/2/)(32AByxRARBM=Pll4、確定積分常數0)(0 xxy0)(lxxyC=Pl2/3，D=05、梁的轉角方程和撓度方程 EIPlPxPlxx/3/2/)(32EIxPlPxPlxxy/3/6/2/)(232lxAByxRARBM=Pl表示為 321)(32PlPxPlxEIx3621)(232xPlPxPlxEIxy5、梁的轉角方程和撓度方程 EIPlPxPlxx/3/2/)(32EIxPlPxPlxxy/3/6/2/)(232lxAByxRARBM=Pl6、確定極值0)(d/d

8、xxylx423. 00EIPly3max0642. 0EIPlyl32/0625. 0max2A3EIPlEIPlB62 A B321)(32PlPxPlxEIx3621)(232xPlPxPlxEIxyPxPlxM)(lPxxyABPxPlxM)(xAByxRARBM=Pll例已知：簡支梁受集中力作用，EI = 常數試求：1.撓度、轉角方程；2.ymax , max 。1、建立坐標系Cx1abP2、求反力，寫彎矩方程RA=bP/lRB=aP/lM1 (x)= bxP/l （0 xa）M2(x) = bxP/l P(xa) （ a xl ）x2lAByxRARB解：Cx1abPx2lAByx

9、RARB3、建立梁的撓曲線微分方程并積分 EIy1= -bPx3/6lC1 xD1EIy1= -bPx2/2lC1EIy1= -bPx/l EIy2= -bPx/l +P(xa)EIy2= -bPx2/2l +P(xa)2/2 C2EIy2= -bPx3/6l +P(xa)3/6C2xD24、確定積分常數x= 0 , y1= 0 D1= 0 x=a , y1= y2 C1 = C2 y1 = y2 D1 = D2 = 0 x = l , y2 = 0 C1 = C2 = Pb (b2 l2 ) /6lEIblPby27)(3322max5、確定撓曲線方程EI 1=-Pb(3x2-l2+b2)/

10、6l EI 2=-Pbx2/2l + P(x-a )2/2+Pb(l2-b2)/6l EIy1=-Pbx(x2-l2+b2)/6l EIy2=-Pbx3/6l+P(x-a )3/6+Pb(l2-b2)x/6l （0 x a） （ a x 3a ）6、求ymax , maxEIPly483maxCx1abPx2lAByxRARBx= 0 , A=Pb(l2-b2)/6EIlx= l , B=Pab(l+a)/6EIlab , y1=0 322blxa=bC11.4 疊加法計算梁的變形PyCP+ yCqABqP二、原理一、條件 1.材料服從虎克定律；變形與力成線性關系 2.小變形。三、方法 1.分

11、解每種情況都是簡單模型； 2.分別計算查表； 3.疊加。所以 EIy =M= Mi =EIyi EIyi = Mi 因為 M = MiPABaaCyByC CB1B2B3因為xlEIxPy362所以xlEIxPy221365BBEIaPyCEIPaC232EIPayB38321132BBBByBBBEIPaaEIPaEIPaEIaP32365383233？yBABPaPABaaCyByC CB1B2B3PABCB2B3PABCPaB1B2P逐段剛化法qCABCABCAB例 已知：q、l、EI。 試求：yC , BqABl/2l/2qlql2qlql22. 查表EIlqly483CPEIlqy3

12、8454Cq解：1. 分解EIlqly1622CmyCPyCqyCm BP Bq BmCEIlql32BmEIlql162BPEIql243Bq3. 疊加EIlqly483CPEIlqy38454CqEIlqly1622CmqCABCABCABqlql2yCPyCqyCm BP Bq BmEIlql32BmEIlql162BPEIql243BqCmCqCPCyyyyEIql484EIlq38454EIql384114EIql1643. 疊加EIlqly483CPEIlqy38454CqEIlqly1622CmqCABCABCABqlql2yCPyCqyCm BP Bq BmEIlql32BmE

13、Ilql162BPEIql243BqBMBqBPBEIqlEIqlEIql32416333EIql48113+qABaaC ByBCqAB ByBABC B1yB1qABC B2yB2q C2yC2怎樣用疊加法確定B 和yB?21CB21BBBEIqaEIaq66)2 (33EIqa673qqABaaC ByBABC怎樣用疊加法確定B 和yB?xdxABC ByBxqdx積分疊加法qqABaaC ByBABC怎樣用疊加法確定B 和yB?qayqCBqyP+m逐段剛化法qa2/2一般軸 y=(0.00030.0005) l 滑動軸承 =(0.0010.005) rad 吊車梁 y=(0.0025

14、0.0013) l架空管線 y=(0.002) l梁的設計：利用強度條件設計，利用剛度條件校核。11.5 梁的剛度校核 yymax max一、梁的剛度條件：例機床主軸簡化如圖之外伸梁。主軸為空心圓軸 D=80mm，d=40mm，l=400mm，a=100mm，P1 =2kN，P2=1kN，E=200GPa卡盤C： yC=0.0001l軸承B： 0.001rad校核主軸剛度解：1、求慣性矩 464444mm10885. 1)4080(6464)(dDIZ2、分解。分別求P1 、P2作用下C點撓度及支座B處轉角)(3)(211alEIaPPyC63210885. 1102003)100400(10

15、02000mm1084. 83EIalPPB3)(116310885. 11020034001002000rad1007. 75EIlPPB16)(22263210885. 110200164001000rad1065. 25aPPyBC)()(221001065. 25mm1065. 232、分解。分別求P1 、P2作用下C點撓度及支座B處轉角3、疊加)()(21PyPyyCCC331065. 21084. 8mm1019. 63)()(21PPBBB551065. 21007. 7rad104.42-54、剛度校核 0001. 010548. 14001019. 653lycrad001.

16、 0rad1042. 45B結論：滿足剛度條件 1、增大截面慣性矩 鋼材彈性模量基本相同，選擇合理截面以加大慣性矩，提高抗彎剛度。2、盡量減小梁的跨度和長度 梁的撓度和轉角分別與跨度的立方和平方成正比，所以減小跨度。3、增加支承 增加支承是提高梁的剛度的有效途徑。4、改善受力情況 改善梁的受力情況可以減小彎矩，從而減小梁的撓度或轉角。二、提高梁剛度的主要措施11.6 簡單靜不定梁XAYAMARB二、求解靜不定問題的關鍵二、求解靜不定問題的關鍵 建立補充方程建立補充方程ABqMAXAlYARB一、靜不定問題的特點一、靜不定問題的特點 未知力數目未知力數目 大于大于 全部獨立方程數目全部獨立方程數

17、目 三、補充方程的建立三、補充方程的建立靜定基相當系統ABABqRB選擇基本靜定基，轉化選擇基本靜定基，轉化為形式上的靜定問題為形式上的靜定問題建立相當系統建立相當系統相當系統ABqRB三、補充方程的建立三、補充方程的建立選擇基本靜定基，轉化選擇基本靜定基，轉化為形式上的靜定問題為形式上的靜定問題建立相當系統建立相當系統建立變形協調條件建立變形協調條件RB引入物理方程引入物理方程將物理方程代入變形協調將物理方程代入變形協調條件得補充方程條件得補充方程yB=yB(q)+yB(RB)=0yB(q)=ql4 / 8EIyB(RB)= - RBl3 /3EIABqyB(q)ABRByB(RB)靜定基相當系統ABABqRBABqlRB建立變形協調條件建立變形協調條件RB引入物理方程引入物理方程將物理方程代入變形協調將物理方程代入變形協調條件得補充方程條件得補充方程yB=yB(q)+yB(RB)=0yB(q)=ql4 / 8EIyB(RB)= - RBl3 /3EI03834EIlREIqlBqlRB83 其他反力RB =3ql /8 Y=0 YA+RB - ql=0 YA =5ql /8 MA=0 X=0 XA=0相當系統ABqM