1、4.3量子力學公式的矩陣表示一、平均值公式一、平均值公式*( , )( , )(4.3 1)( , )( )( )nnnxFx t Fx t dxQx tat ux表象：表象：*( )( )( )( )( )( )(3)mnmnmnmmnnmnFat atux Fux dxat F at11121*1221222( )( ( ),( ), )( )(4.3 2)FFa tFa t a tFFa t ),(),(txtxF111211212222( )( )( )( )(4.3 4)FFa ta tQFFa ta t 表象：(2) 本征方程本征方程求解本征值和本征矢求解本征值和本征矢 將將(4.

2、3-4)式中等號右邊部分移至左邊，得：式中等號右邊部分移至左邊，得：11121121222212( )( )0(4.3 5)( )nnnnnnnFFFa tFFFa tFFFa t 方程（方程（4.3-5）是一個線形齊次代數方程組：）是一個線形齊次代數方程組：nnmnmnmtaF.,2, 1,0)()(這個方程組有非零解的條件是系數行列式等于零，即：這個方程組有非零解的條件是系數行列式等于零，即：1112121222120(4.3 6)nnnnnnFFFFFFFFF方程（方程（4.3-6）稱為）稱為久期方程久期方程。求解。求解久期方程久期方程 可得到一組可得到一組 值值 它們就是它們就是F的本

3、征值。把求得的的本征值。把求得的i 分別代入分別代入（4.3-5）式中就可以求得與這）式中就可以求得與這i 對應的本征矢對應的本征矢 其中其中i=1,2, n, 。;,21n),(),(21tataii),)( tain(3). 薛定諤方程薛定諤方程(, )(, )x tiHx tt,( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnQx ta t uxda tiuxa t Huxdt表象：（）左邊乘以左邊乘以 并積分并積分：)(*xum( )( )( )mnmnmnnnndaxia t HHa tdt111121221222( )( )( )( )a tHHa tdia tHHa tdt

4、 (4.3-7)四、例題設已知在設已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩陣分別為的矩陣分別為2LzLyLxL000022;01010101022iiiiLLyx求它們的本征值和歸一化的本征函數，求它們的本征值和歸一化的本征函數，解：解：（1）求 的本征值和本征函數。xL設在 和 的共同表象中， 的本征函數為 ， 為所對應的本征值。本征方程為2LzLxL321aaamm,mmxmL即.01010101022321321aaamaaa)(.022,02222,0223232121Aaaamaaama齊次方程有非零解的條件是系數行列式等于零，即齊次方程有非零解的條件是系數行列

5、式等于零，即02202222022mmm展開后整理得即即 的本征值為, 01, 00) 1(2xLmmmxL1103120., 0)(0aaaaaAm本征函數為式得，時，由當利用歸一化條件，確定常數a1. 2210)0(1212111*1*1aaaaaaa得由因此，對應于m=0 的本征函數是1012201212,)(1113231aaaaaAm本征函數為式得時，由當利用歸一化條件求a3. 即2114121) 121 (3233*3aaaa因此，對應于m=0 的本征函數為12121122122.22,22)(1212321aaaaaAm本征函數為式得時，由當利用歸一化條件求利用歸一化條件求a2,

6、 即即2212121) 121(2122222aaa因此對應于因此對應于m=-1的本征函數為的本征函數為121211（2）求）求 的本征值和本征函數的本征值和本征函數設設 的本征函數為的本征函數為 ，對應于，對應于 。即。即yLyLmLymmmymL令令 ，并將，并將 的矩陣形式代入本征方程，即有的矩陣形式代入本征方程，即有321bbbmyL3213210000022bbbmbbbiiii)(022022220223232121Bmbibibmbibibmbb1,b2,b3有非零解的條件是有非零解的條件是02202222022miimiim由此得由此得m=0, 1.對應于對應于.,0yL22,

7、 12, 0)(0121312bbbbbBm件再由波函數的歸一化條。得時，由當所以所以101220121212,)(111231iibbbbBm定出常數，得再由波函數歸一化條件得時，由當同樣步驟得同樣步驟得121211i 典型例題用坐標輪換的方法，寫出用坐標輪換的方法，寫出 時，時， 的全部本征的全部本征函數，用球函數函數，用球函數 表達。表達。例例1、1lyxLL,lmY解：我們知道解：我們知道 的全部本征函數為：的全部本征函數為：) 1, 0(, 0),1(222mLlLz 即;43cos4310rzYriyxieYi83)sin(cossin83sin8311riyxeYi83sin83

8、1, 1上面是上面是 的一組本征函數。根據問題的對稱性，的一組本征函數。根據問題的對稱性，當當 的取值同樣有的取值同樣有 ，而，而 的本征函數，由上式將的本征函數，由上式將z 換為換為x, x換為換為y,y 換為換為z 得到，用得到，用 表示：表示： , 0zLYxLLlL),1(222和 , 0m1);(22)2(sin43)cossinYeerrrxii;2)(28310111111YiYYirizy.)(2228311111011YYiYrixz同樣的想法，通過同樣的方法，可找到對于同樣的想法，通過同樣的方法，可找到對于 的的 的全的全部本征函數，即滿足部本征函數，即滿足1lyLmmxmL11).(22283);(22283);(2431111101111111011111110YYiYrixzYYiYrixzYYiry對于所得對于所得 （ ）的全部本征函數的正確性，我們）