1、年湖南省長沙一中、師大附中、雅禮中學、長郡中一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（5分）a為正實數，i為虛數單位，|亨|二2,則a=（）A.2B.膜C.血D.12.（5分）已知集合A=xZ|工Z,B=（x|x2-4x-50,則AAB=（）3+xA.-1,0,1,3B.-1,0,1,2C.-1,0,1D.0,1,2,33.（5分）如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，貝郁列陳述中不正確的是（）A.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個B.與去年同期相比，2017年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長

2、C.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元D.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省學高考數學模擬試卷（理科）（5 月份）第2頁（共25頁）4.（5分）設0Vx2兀，且=sinxcosx，貝U（）第1頁（共25頁）第3頁（共25頁）A.0 x兀B.JLX0,b0)的左右焦點分別為Fi(-c,0),F2(c,b20）,以線段FiF2為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為P,若直線PF2與圓E:（x-cc131-壹）2+y2=%相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A.y=xB.y=2xC.y=厄xD.y=血x10. （5分）已知函數f（x）=2sin（wx+（|）-1（w0,g|v

3、兀）的一個零點是二，函數y=f（x）圖象的一條對稱軸是x=，則 3 取得最小值時，函數f（x）的單調629.（5分）已知雙曲線%-a第4頁（共25頁）增區(qū)間是（）JU._3k,kZ6C.2k兀一號,2k兀一，kezD.2k兀一司,2k；tL,kZ11.（5分）已知邊長為|2如的菱形ABCD中，/BAD=60,沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120的四面體ABCD，貝U四面體的外接球的表面積為（）A.25兀B.26兀C.27兀D.28兀12.（5分）已知函數f（x）=（2a+2）lnx+2ax2+5.設a0）的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線

4、與C的準線交于點M，若|三尊|曲|,則l的斜率為.16.（5分）如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料ABC,。為半圓的圓心，。驀,殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在BC上，則裁出三角形面積的最大值為A.3k兀一弓,3k兀m】,kB.3k兀一晉,第5頁（共25頁）第6頁（共25頁）三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.（12分）已知等差數列an的前n項和為*9房二如廿1，公差d0,Si、S4、S16成等比數列,數列bn滿足|log2bn=（an-l）LogVi-（1）求數列an,bn的通項公

5、式；（2）已知匚-一一，求數列Cn+bn的前n項和Tn?anar+118. （12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，ABAD,ABIICD,PCX底面ABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中點.（I）求證：平面EACL平面PBC;E的余弦值為季求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.19.（12分）已知圓札（茂扼產+=64及定點N（雄，。）|,點A是圓M上的動點，點B在NA上，點G在MA上，且滿足誡三必6,邙抵。，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線產餐工和廣 W 乂分別交于P、Q兩點

6、，當時，求OPQ（O為坐標原點）面積的取值范圍.20.（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.（n）若二面角P-AC-第7頁（共25頁）某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（nN*）份血第8頁(共25頁)液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：(1)逐份檢驗，貝懦要檢驗n次；(2)混合檢驗，將其中k(kN*且k2)份血液樣本分

7、別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為k+1次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p(0vpv1).(1)假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；(2)現取其中k(kCN*且k2)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為5,采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為&

8、;(i)試運用概率統(tǒng)計的檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少,求k的最大值.參考數據:1n20.6931,1n31.0986,1n41.3863,1n51.6094,1n61.7918.21.(12分)記maxm,n表示m,n中的最大值，如max3*面.已知函數f(x)=maxx2-1,21nx,g(x)=maxx+1nx,-x2+(a2一號)x+2a2+4a.(1)設h&)二f(G-3卜韋(1)2，求函數h(x)在(0,1上零點的個數；(2)試探討是否存在實數a(-2,+8),使得g(x)vx+4a對x(a+2,+)恒成立？若存在，求a的取值范圍；

9、若不存在，說明理由.請考生在第2223題中任選一題作答，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號的知識，若E1=E如試求p關于k的函數關系式P=f(k);(ii)若擊第9頁(共25頁)方框涂黑.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4:坐標系與參數方程22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為二2也羿(其中t為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點A的極坐標為旦)，6直線l經過點A.曲線C的極坐標方程為psin20=4cos0.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2)過點F(柝，作直線l的垂線交曲線C于D,E兩點(D在x軸上方)，求偷節(jié)

10、打_的值.選修4-5:不等式選講23.已知函數f(x)=|2xa|+|x2a+3|.(1)當a=2時，解關于x的不等式f(x)9;(2)當a乒2時，若對任意實數x,f(x)A4都成立，求實數a的取值范圍.第10頁（共25頁）2020 年湖南省長沙一中、師大附中、雅禮中學、長郡中學高考數學模擬試卷（理科）（5 月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（5分）a為正實數，i為虛數單位，|平|二2,則a=（）A.2B.農C.也D.1【解答】解：.地=1-aiiI辛i=11-到=川=2即a2=3由a為正實數解得a=.二故

11、選：B.2.（5分）已知集合A=xZ|妾-Z,B=（x|x2-4x-50,則AAB=（）J1KA.-1,0,1,3B.-1,0,1,2C.-1,0,1D.0,1,2,3【解答】解：A=-15,9,7,6,5,4,2,1,0,1,3,9,B=x|1x5;AAB=-1,0,1,3.故選：A.3.（5分）如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，貝郁列陳述中不正確的是（）1=1總量與去年同期相比塔長率A.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個B.與去年同期相比，2017年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長C.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元D.2017年

12、第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省【解答】解：由2017年第一季度五省GDP情況圖，知：在A中，2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個，故A錯誤；在B中，與去年同期相比，2017年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長，故B正確；在C中，去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元，故C正確；在D中，2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故D正確.故選：A.4.(5分)設0Vx2兀，且=sinxcosx，貝U()A0 x0,即sinxcosx,.0Vx2兀，故n的最小值為5.，.a=5.所以J京*=割25-dx=yX7Tx5

13、2故選：C.8.（5分）已知向量三與古的夾角為。，定義ZxE為彳與E的“向量積”，且搭xE是一個向量,它的長度I打Xh|=|ai|B|sin0,若口=(2,0),Tju=(1,一拓)，則|ux(u+u)|=()A.4沔B.舊C.6【解答】解：由題意；孔-G二）=（i,扃,則8=(3,妁，.(u+v)u=6,|u+u|=W+(卷)=lu|=2.即mV,孝，得二十,琴，由定乂知|uX（u+v）I二I口ITu+v|3n二2X2扼二2的,故選：D.A.36兀B.迎2CWD.25兀解答解：W士）氣心，）的展開的通項為|u|u+v|式62X2V5第16頁（共25頁）0),以線段FiF2為直徑的圓與雙曲線在

14、第二象限的交點為P,若直線PF2與圓E:(x,2-2+y2=*相切，則雙曲線的漸近線方程是()A.y=xB.y=2xC.y=扼xD.y=|Vx【解答】解：設切點為M,貝UEM/PFi,又里，所以|PFi|=4r=b,所以|PF2|4=2a+b，因此b2+(2a+b)2=4c2,所以b=2a,所以漸近線方程為y=2x.故選：B.10.(5分)已知函數f(x)=2sin(wx+(|)-1(w0,g|v兀)的一個零點是吝，函數y=f(x)圖象的一條對稱軸是x=-匹，則 3 取得最小值時，函數f(x)的單調6增區(qū)間是()A.3k兀一了,3k兀一二,kZB.3k兀一若,3k兀一斗,kZ3636C.2k兀

15、一號,2k兀一,kZD.2k；t一菱,2k,kZ【解答】解：函數f(x)=2sin(GJX+W-1的一個零點是x=,f=2sin(3+4)-1=0,sin(-3+4)=*,.，當3+4=W+2k兀或蘭3+兀+2k兀，kCZ;Jb5|o|又直線x=-斗是函數f(x)圖象的一條對稱軸，+(|)-+k兀，kCZ;又0,|41V兀，.I3 的最小值是號，4=斗兀，Jlof(x)=2sin(Mx+斗兀)-1;9.(5分)已知雙曲線b2=1(a0,b0)的左右焦點分別為Fi(-c,0),F2(c,第17頁(共25頁)令一JL+2kTt2x+竺兀匹+2k兀,kCZ,23182.52L+3k；txv!L+3k

16、gkZ；36.f(x)的單調增區(qū)間是-圮L+3k，-2L+3k荷，kZ.sc故選：B.11.（5分）已知邊長為|2如的菱形ABCD中，/BAD=60,沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120的四面體ABCD，貝U四面體的外接球的表面積為（）A.25兀B.26兀C.27兀D.28兀【解答】解：如圖所示，/AFC=120,ZAFE=60,AF=專汗=3,.AE=等，EF=|-設OO=x,貝!J.OB=2,OF=1,.由勾股定理可得R2=x2+4=（g+1）2+（碧-x）2,R2=7,四面體的外接球的表面積為4KR2=28兀，故選：D.12.（5分）已知函數f（x）=（2a+2）lnx+2ax2+

17、5.設a8.則實數a的取值范圍是（）B.(-2,-1)C.(-8,-3D.-2第12頁(共25頁)【解答】解：函數f(x)=(2a+2)lnx+2ax2+5.f，(x)=賣*4成二2(爵當av-1,可得f(x)v0,可得f(x)在(0,+)單調遞減.不妨設xyx2.對任意不相等的正數xi,x2,恒有產邛”2)|湘即|f(xi)-f(x2)8xi-8x2|令g(x)=f(x)+8x;則g(x)，可得g(x)在(0,+)單調遞減.z即皿4織十80；it從而可得a.iL2I2+12x2fl可知av-2.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上13. (5分)設變量

18、x,y滿足約束條件：f.則目標函數z=2x+3y的最小值為7【解答】解：設變量x、y滿足約束條件，又yT,在坐標系中畫出可行域ABC,A(2,1),B(4,5),C(1,2),當直線過A(2,1)時，目標函數z=2x+3y的最小，最小值為7.故答案為：7.第19頁(共25頁)14.（5分）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為1.一旦一【解答】解：現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，基本事件總數n=3X3=9,田忌的馬獲勝包含

19、的基本事件有：m=3種，田忌的馬獲勝的概率P=$=&.故答案為：二.15.（5分）過拋物線C:y2=2Px（P0）的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若血卜冬|曲|,3則l的斜率為史【解答】解：分別過A,B,N作拋物線的準線的垂涎，垂足分別為A,B,N,|AB|,|AB|,所以|NN|=半第14頁（共25頁）由拋物線的定義知|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,|NN，|=專（|AA，|+|BB，|）因為|MN|=_|MN|,所以/MNN=30,即直線MN的傾斜第21頁（共25頁）角為150,又直線MN與直線l垂直且

20、直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為60,kAB=.:.故答案為：巧.16.（5分）如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料ABC,O為半圓的圓心，QC殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在BC上，則裁出三角形面積的最大值為也.2【解答】解：根據題意分兩種情況:(1)當斜邊在BC上，設/PBC=0,則：0頃。，9，所以：PB=-P-cos9,PC=in&,從而S=二,畢3$6專siH9=|-sin290,所以：S（0）單調遞增.當。）時，S（0）V0,所以：S（。）單調遞減.:所以覽6）曇當e=4時，即cos白4時，S（0）最

21、大，綜上所述：s2故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（12分）已知等差數列an的前n項和為$史9崩二弱1,公差d0,Si、S4、Si6成等比數列，數列bn滿足|log2bn=（an-l）lo-（1）求數列an,bn的通項公式；（2）已知 J 一，求數列cn+bn的前n項和Tn?0 曰3+1第23頁（共25頁）【解答】解：（1）等差數列an的前n項和為Sn，=8畢+1,公差d0,所以：S1=a1,S4=4a1+6d,S16=16a1+120d,由于S1、S4、S16成等比數列,第24頁(共25頁)解得：d=2ai由于9二8曰i+l,解

22、得：目=1或(負值舍去).所以：d=2.則：an=2n-1.又lo82bn=(an-l)log/x整理得：站二/I(X0).(2)由于：%-%】，所以.Ar-(),)r-Ar一nanan+li2n-l)C2n+l)2V2n-12n+l所以:)+(空2n-l2n+lJIIl-iD0),貝UE(1,1,a),瓦=(2,2,0),&=(0,0,2a),&=(1,-1,a).取由=(1,-1,0),則科近5=2石=0,待為面PAC的法向量.設口=(x,y,Z)為面EAC的法向量，貝Un?CA=n?CE=0,即廣*產取x=a,y=a,z=2,貝(jn=(a,a,2),b-y+az=O依題

23、意，|cosvrr,n|=a=j，貝|Ja=2.(10分)|m|-|n|也，+23于是n=(2,-2,-2)JPA=(2,2,-4).設直線PA與平面EAC所成角為0,貝Usin0=|cosv瓦，n|=上)瀏=業(yè),|PAH|nI3即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為岑.(13分)yr?c19.（12分）已知圓札（茂75）2+二64及定點N（2扼，0）|,點A是圓M上的動點，點B在NA上，點G在MA上，且滿足疝三面，奇xNA-0，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線疔和疙分別C交于P、Q兩點，當k|時，求OPQ（O為坐標原點）面

24、積的取值范圍.第26頁（共25頁）【解答】解：（1）已知圓氏（婦2如V+v史64及定點|N。），點A是圓M上的動點，點B在NA上，點G在MA上，且滿足詭三兩史而標二早B為AN的中點，且GBAN，得GB是線段AN的中垂線，.|AG|=|GN|，又|GM|+|GN|=|GM|+|GA|=|AM|=84由=|MN|.點G的軌跡是以M,N為焦點的橢圓； 設橢圓方程為g+jr=1 （ab0）則a=4,c=2珀，b=d/_c=2所以曲線C的方程為：蕓+W=1（2）直線1：y=kx+m（k乒士*）2r2則由題意y=kx+m與三+%-=1聯立方程組;1&4消去y,可得:(1+4k2)x2+8kmx+4

25、m2-16=0;因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,第27頁（共25頁）所以=64k2m24(1+4k2)(4m216)=0,即m2=16k2+4.又由：y=kx+m與x2y=0同理可得Q（-2業(yè)l+2k將代入可得:綜上，zOPQ面積的取值范圍是（8,+勺.20.（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有

26、n（nN*）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，貝懦要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（kN*且k2）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為k+1次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率可得P(2-EL-l-2k）；由原點O到直線PQ的距離為d=j77和|PQ|=J|XP-XQ|,=d|PQ|sLx2后2當k2L

27、時，SAOPQ=8|我;*1|=8(疽十14k2-l)=8()8;Vl+k2|xPXQ|=SOPQ=71HJ|XPXQ|=第28頁(共25頁)為p(0vpvl).(1)假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；(2)現取其中k(kCN*且k2)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為&,采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為&(i)試運用概率統(tǒng)計的知識，若E1=E試求p關于k的函數關系式P=f(k);(ii)若xl-卜米用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期

28、望值更少，求k的最大值.參考數據:ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918.【解答】解：(1)設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,則P(A)=壬=上，點10.恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為專-(2)由已知得E&=k,E的所有可能取值為1,k+1,二P(沁1)=(1-p)k,p(&=k+1)=1-(1-p)k,E(&)=(1-p)k+(k+1)1-(1-p)k=k+1-k(1-p)k,若E(&)=E(，則k=k+1-k(1p)k=1,(1-p)k=Lk二1-p=(，、.p

29、=1-(卜)k.kkp關于k的函數關系式為p=f(k)=1-(%)京，(kCN*,且k2).(ii)由題意知E(&)vE(&)，得v(1p)k,k第29頁(共25頁).當x3時，f(x)V0,即f(x)在(3,+8)上單調增減,又ln41.3863,a,3333，LJ.ln44,ln51.6094,R悟1.6風7,ln5v旦，k的最大值為4.21. (12分)記maxm,n表示m,n中的最大值，如max3皿.已知函數f(x)=maxx2-1,2lnx,g(x)=maxx+lnx,-x2+(a2-1)x+2a2+4a.(1)設心設心* *)-3 品品)(ZV，求函數h(x)在(0

30、,1上零點的個數；(2)試探討是否存在實數a(-2,+8),使得g(x)vx+4a對x(a+2,+)恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.【解答】解：(1)設21m,F”(一二W1)，(1分)乂 w令F(x)0,得x1,F(x)遞增；令F(x)V0,得0vxV1,F(x)遞減，(2分)F(x)min=F(1)=0,.F(x)A0,即x2-12lnx,.f(x)=x2-1 (3分)設G&)二3(耳4)GT)2，結合f(x)與G(x)在(0,1上圖象可知，這兩個函數的圖象在(0,1上有兩個交點，即h(x)在(0,1上零點的個數為2-(5分)(或由方程f(x)=G(x)在(0,1上有兩根可得)(2)假設存在實數al(-2,+8)，使得電對x(a+2,3z+lnx0),+)恒成立,，對x(a+2,+)恒成立,.Ink-p=1-,豐 v瓠k第30頁(共25頁)對xC（a+2,+8）恒成立，.（6分）令H(x)0,得0vxV2,H(x)遞增；令H(x)V0,得x2,H(x)遞減,-H（x）max=h（2）=ln2-1