1、1第一節(jié) 定積分的概念及性質 問題的提出問題的提出 定積分的定義定積分的定義 定積分的性質定積分的性質 小結小結2abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、定積分的定義)(xfy 1. 問題的提出問題的提出3abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）4曲邊梯形如

2、圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內內插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iix)( f 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx abxyoix1x1 ix1 nxi n1iiinx)( fS 作作和和5,x,x,xmax n21 令令 n1iii0 x)( flimS 則則6解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小區(qū)區(qū)間間,1iixx

3、的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iin1inx)( fS i2in1ix in1i2ixx .0y, 1xxy:12圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積與與求求例例 nnini121 6)12)(1(13 nnnn n0 n12n1161limSlimSnnn.31 :,ni說說明明無無關關及及計計算算出出的的值值與與 的取法及分法無關的取法及分法無關的值與的值與iS 7實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上

4、 t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程. 思路思路：把整段時間：把整段時間分割分割成若干小段，每小段上成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再速度看作不變，求出各小段的路程再相加相加，便，便得到路程的近似值，最后通過對時間的得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細無限細分分過程求得路程的精確值過程求得路程的精確值8（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,ma

5、x21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值9設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，bxxxxxan1n210 把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，作和作和iin1inx)( fS ， 2.定積分的定義定義定義在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點 (1)在在每每一一小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ）， (2)如如果果不不論論對對,ba(3)怎怎樣樣的的分分法法，點點i 怎怎樣樣的的取取法法，Ix)( flimSli

6、mn1iii0n0 存在存在10 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和11從定積分定義中可得從定積分定義中可得:（1）當當ba 時時， badx)x( f（2）當當ba 時時， badx)x( f badx )3(b-a ba0dx 00 abdx)x( f12（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)(

7、 baduuf)(（2）積積分分值值與與區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法無無關關. （3 3）當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.注意：注意：13定理定理1 1定理定理2 2 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在3.可積的條件可積的條件區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. .充分條件充分條件:必要條件必要條件:f(x)在在a,b可積可積,則則f(x)在在a,b上有界上有界f(x)在在a,b上上連續(xù)連續(xù)

8、, 則則f(x)在在a,b上上可積可積14, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4.定積分的幾何意義定積分的幾何意義acdeb beeddccadx)x( fdx)x( fdx)x( fdx)x( fS badx)x( f4321ba A A AAdx)x( f -+-15幾何意義：幾何意義：積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介

9、于于xxbxaxxfx ,)( 16說明說明 在下面的性質中，假定定積分都存在，且不在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小考慮積分上下限的大小二、定積分的性質 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質性質1 1證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性質可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）17 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iini

10、xkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質2 2從而得到從而得到 bababadx)x(gdx)x( fdx)x(g)x( f18 badxxf)( bccadxxfdxxf)()( 補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則則假假 設設f(x) 在在 給

11、給 定定 的的 區(qū)區(qū) 間間 內內 都都 可可 積積 并并 設設bca ,則則 性質性質3 319則則0)( dxxfba. . )(ba 推論推論1 1如如果果 f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積且且0)( xf， 性質性質4b, ax),x(g)x( f ,b, a)x(g),x( f 上上可可積積在在設設ba,dx)x(gdx)x( fbaba 則則證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.且且可可積積在在則則可可積積在在設設,b, a)x( f,b, a)x( f ,dx)x( fd

12、x)x( fbaba axx)ln(10,F(0)F(x)0,1,x,(0,1)F(x) 0 x1x1x11)x(F, x)x1ln()x(F:)2( 在在令令解解 212102102102212dxxxdx)x1(xdx)x1(dt) t1(dxx, t1x:)3(令令解解23例例 2 2 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. 解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 24例例 3 3 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值. 解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx25例例4 edxe1:10 x2 證