1、?角平分線的性質?專題復習本節主要通過介紹畫角的平分線,引導學生發現問題：角的平分線有什么性質？通過將一個角對折的方法學習對角線的性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.利用三角形全等來說明角平分線的判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.接著引導學生試做一個三角形內的三個內角的角平分線,看看有什么特點,特點是：三角形的三條角平分線交于三角形內一點,？并且這個點到三角形三邊的距離相等.角的平分線的性質一課占有很重要的地位,它是證實線段相等、角相等的有利工具.一.角的平分線的性質,這是本節的重點知識,但在以后的習題中很少會單獨的出現只考查角平分線的性質的題目,一般會綜

2、合的考查三角形全等、平行線等有關知識,故在【知識點擊】、【典例引路】、【當堂檢測】、【根底練習】中設置了相應的例題以提升解題水平.二.性質運用在【備選題目】中,設置了角平分線與方程解決問題的題目,以提升學生的綜合解題能力.三.易錯點本節知識的易錯點是,把角平分線的性質及角平分線的判斷混淆了,所以在【典例引路】例3題及【根底練習】第3題設置了相應的題目.【知識點擊】點擊一：角平分線性質定理：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.如圖：AB是/CAD勺平分線,那么有：CB=BD點擊二：角平分線判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.如圖：如果有CB=BD,那么有AB是/CA

3、D的平分線.點擊三：三角形的三條角平分線交于三角形內一點,？并且這個點到三角形三邊的距離相等.如圖：在三角形ABC中,AD是/BACBE是/ABC的角平分線,那么有IH=IG=IF.,11【典例引路】類型之一：求證角平分線的性質定理例1:三角形的三條角平分線交于一點,你知道這是為什么嗎？【解析】我們知道兩條直線是交于一點的,因此可以想辦法證實第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點.【答案】：如圖,ABC的角平分線AD與BE交于點I,求證：點I在/ACB的平分線上.證實：過點I作IHABIGXACXIFLBC,垂足分別是點H、GF.點I在/BAC的角平分線AD上,且IH±ARIGXAC

4、,IH=IG角平分線上的點到角的兩邊距離相等,同理IH=IFIG=IF等量代換又IGLACIF±BC點I在/ACB的平分線上到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線即：三角形的三條角平分線交于一點.類型之二：利用角平分線的性質求線段之比例2:如圖,：/BAC=3QG為/BAC的平分線上的一點,假設EG/AC交AB于E,GD±AC于D,GDGE=【解析】作GFLAB于F目的是為了用定理 AGF分/BACGDXACGF=GD角平分線的性質定理 EG/AC,/BAC=30/FEG=30 .FGEG=1:2 .GDGE=1:2【答案】1:2類型之三：利用角平分線的性質求角的度

5、數例3:在ABC中,/ABC=1QQ/ACB=2QCE平分/ACB交AB于E,D在AC上,且/CBD=2Q求/CED勺度數.【解析】此題是考查利用角平分線的性質求角的度數.【答案】作EF±AC,延長CB,彳EG±CB,EH!BD CE平分/ACB/ACB=20,/BCEhDCE=lQ,/CBD=2Q/BDA=4Q°,/ABC=1QQ,/CBD=2QZABG=83,/ABD=8d/ABG"BDEH=EG可證BEFIABEGAAS.CE平分/ACBEF=EG角平分線性質定理EF=EH二DE平分/BDA角平分線的判定定理/EDA=2Q/EDAhECA-+ZCE

6、D./CED=2Q-1QQ=1QQ【根底練習】1 .如圖,點D是/ABC勺平分線上一點,點P在BDh,PA!A/ABPCLBC垂足分別為A,C.以下結論錯誤的選項是.A.AD=CPB.AABFPCBP'PC.AB坐CBDD./ADB=/CDBDBC【解析】通過角平分線上的性質的運用推得ABP2CBPAABIDCBD,ZADB:ZCDBE項成立,A項不成立,能推出AD=DC也能推得AP=PC【答案】A2.如下圖,AD1OBBC±OA垂足分別為D、C,AD與BC相交于點P,假設PA=PR那么/1與/2的大小是,A./1=/2B./1>/2C.Z1<Z2D.無法確定【解

7、析】AD±OBBCLOAPA=PB,由角平分線的判定可知/1=72.【答案】A3.ABC中,ZC=90°,AC=BCAD是/BAC的平分線,D吐AB,垂足為E,假設AB=12cm,那么DBE的周長為A、12cmB、10cmC、14cmD11cm【解析】AD是/BAC的平分線,DELAB,ZC=90°,易得ACNAED.CD=DE,AE=AC,.DBE的周長=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12cm.【答案】A【當堂檢測】1 .AD是ABC的角平分線,DE!AB于E,且DE=5cm那么點D到AC的距離是【解析】角平分線上

8、的一點到角的兩邊距離相等即可得到D至ijAC的距離是5.,【答案】52 .如圖,D為4ABC的BC邊的中點,DE、DF分別平分/ADB和/ADC求證：BE+CF>EF.11【解析】在DA上取一點M,使DM=DB=DC,連結EM、MF,實質上是將DBE及4DFC分別沿DE、DF翻折180°得到DEM及MFD,從而使問題得到解決的.【答案】在DA上取一點M,使DM=DB=DC,連結EM、MF,DE平分/ADB,ZBDE=ZEDM.又DM=BD,DE=DE,.ABEDMED.同理可得4MFDCFD.BE=EM,CF=MF.在EMF中,EM+MF>EF.BE+CF>EF.【

9、備選題目】1 .角平分線性質與方程的結合解題如圖,在ABC中,BD平分/ABCCHAB于E,/ACB=78,/BAD4ABD求/ADB和/BCE的度數.【解析】要求/ADB及/BCE度數,依條件知/DBC=/DBA=/DAB.采用“間接設元比“直接設元更有利于溝通各量之間的關系,所以設/DBA為x.設元后,再用三角形內角和定理作為等量關系列出方程.【答案】解：在ABC中,=BD平分/ABC,ZDBC=ZDBA.又./DBA=/DAB,設/DBA=x,那么/DBC=/DAB=x.又/ACB=78,ZDABFZABO/ACB=180,x+2x+78°=180°,解得x=34&#

10、176;.故在ADB中,/ADB=180/DAB-/DBA=180-2x=112在BCE中,CELAB,/CEB=90./BCE=180ZCBE-/CEB=180-2x-90°=22.故/ADB=112,/BCE=22.【課時作業】A等級2 .AD是ABC的角平分線,DELAB于E,且DE=3cm那么點D到AC的距離是A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm3 .如圖,CECF分別是ABC的內角和外角平分線,？那么圖中與/BCE互余的角有A.4個B.3個C.2個D.1個4 .如圖,點P至IJAE、AD.BC的距離相等,那么以下說法：點P在/BAC的平分線上；點P在/CBE的平分線上；

11、點P在/BCD的平分線上；點P是/BAC/CBE/BCD勺平分線的交點,其中正確的選項是A.B.C.D.5 .以下說法：角的內部任意一點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；角的平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等；ABC中/BAC的平分線上任意一點到三角形的三邊的距離相等,其中正確的A.1個B.2個C.3個D.4個6 .角的平分線上的點到相等；到相等的點在這個角的平分線上.D7 .如圖,ABC中,AC!CB,CD平分/ACB點E在AC上,且CE=CB?貝4下歹U結論：CD平分/BDEBD=DE/B=ZCED/A+/CED=90.?其中正確的有A.1個B.2個C.3個

12、D.4個7./AOB勺平分線上一點MM至ijOA的距離為1.5cm,那么M到OB的距離為cmo8.在ABC中,/0=90°,AD是/BAC的角平分線,假設BC=5cm,BA3cm,那么點D到AB的距離為9.如圖,/A=90°,BD是4ABC的角平分線,AC=8cm,DC=3DA,那么點D到BC的距離為10.如圖,/論錯誤的選項是A、PD=PE1=/2,PD!OAPHOB垂足分別為D,E,以下結)BOD=OEC/DPO=/EPODPD=ODB等級11.如圖,AB=AD/ABCWADC=90,那么以下結論：/3=/4;?/1=/2;/5=76;AC垂直且平分BD,其中正確的有(

13、)A.B.C.D.12.如圖,三條公路兩兩交于點A、BC,現要修一個貨物中轉站,要求到三條公路距離相等,那么可供選擇的地址有A.一處B.二處0.三處D.四處13 .4ABC中,Z0=90°,AD平分/BAC交BC于D,且BDCD=32,BC=15cm?那么點D至ijAB的距離是.14 .如圖,點D是4ABC中AC邊一點,點E在AB延長線上,且ABC曜ADBE/BDAhA.假設/A:/0=5:3,那么/DBE的度數是A.100°B,80°C.60°D,120°15 .如圖,ABC中,/C=90°,E是AB的中點,D在/B的平分線上,且D

14、ELAB,那么A.BDVAEB.BC=AEC.BCVAED.以上都不對16 .：如圖,P是/AOB的平分線上的一點,PCXOA于C,PDLOB于D,寫出圖中一組相等的線段只需寫出一組即可.17.如圖,AB/CDARCP分另1J平分/BAC和/ACDPEIAC于E,且PE=?2cm貝UAB與CD之間的距離是18 .用直尺和圓規平分角的依據是.19 .到三角形三邊的距離相等的點是三角形A.三條邊上的高的交點B.三個內角平分線的交點C.三邊上的中線的交點D.以上結論都不對C等級20 .如圖ABC中,/C=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DELAB于E,且AB=6cm,那么D

15、EB的周長為A、4cmB、6cmC10cmD、不能確定21 .如圖,MP,NP,MQMNP勺角平分線,MT=MP,連接TQ,那么以下結論中不正確的選項是22 TQ=PQ日/MQF/MQPC、/QTN=90°D>/NQR/MQT22.如圖,AD是/BAC的平分線,DELAB于E,DF,AC于F,且DB=DC求證：BE=CF.某倉庫G在A區,到公、26.如圖,四邊形ABCD43,AB=ADAB±BC,AD±CDP是對角線AC上一點,求證：PB=PC23 .,如圖BD為/ABC的平分線,AB=BC點P在BD上,PMLAD于MPN!CD于D,求證：PM=PN>

16、24 .如圖,B是/CAF內一點,D在AC上,E在AF上,且DC=EF,BCDBEF的面積相等.求證：AB平分/CAE25 .如圖,CD±AB于D,BEXAC于E,CD交BE于點O.假設OC=OB求證：點O在/BAC的平分線上.假設點O在/BAC勺平分線上,求證：OC=OB27 .如圖,某鐵路MN與公路PQ相交于點O且交角為90°,鐵路距離相等,且到公路與鐵路的相交點O的距離為200mo在圖上標出倉庫G的位置.比例尺：1:10000O用尺規作圖,保存作圖痕跡,不寫作法28 .如圖,點P是4ABC中BC邊的中點,PD±AB于D,PE±AC于E.當PD=PE寸,求證：AB=AC;當AB=ACM,求證：PD=PE29.請你畫一個角,并用直尺和圓規把這個角兩等分.A等級答案1 .B2 .C3 .A4 .B5 .角的兩邊的距離；角的兩邊的距離6 .D7 .1.58 .29 .2cm10 .DB等級答案11 D12 A13 6cm14 A15 B16 .答案不惟一17 4cm18 .SSS19 BC等級答案20 B21 D22 .由于AD是/BAC的平分線,D已AB,DF,AC所以DE=DFZE=ZDFC=90,由于BD=CD所以RIA