1、測(cè)量平差在測(cè)繪學(xué)科中的應(yīng)用測(cè)量平差與其他學(xué)科一樣，是因?yàn)樯a(chǎn)的需要而產(chǎn)生的，并在生產(chǎn)實(shí)踐的 過(guò)程中，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步而發(fā)展。近代測(cè)量平差的內(nèi)容非常豐富，其主要 特點(diǎn)是，觀測(cè)值概念廣義化了，從處理隨機(jī)獨(dú)立的觀測(cè)數(shù)據(jù)，展到可以處理隨 機(jī)相關(guān)的數(shù)據(jù)；擴(kuò)展了經(jīng)典測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型，從滿(mǎn)秩平差問(wèn)題，發(fā)展到降 秩平差問(wèn)題；從僅處理隨機(jī)變量，發(fā)展到一并處理隨機(jī)過(guò)程；從側(cè)重于平差函 數(shù)模型的研究，發(fā)展到也重視隨機(jī)模型的研究；從不顧及模型誤差，發(fā)展到顧 及模型誤差，針對(duì)最小二乘估計(jì)的局限性，提出了有偏估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)。測(cè)量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的觀測(cè)值，求出未知量的 最可靠值 （平差值 ，并評(píng)定

2、測(cè)量成果的精度。測(cè)量平差中經(jīng)典的估計(jì)準(zhǔn)則是高 斯創(chuàng)立的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則。測(cè)量平差在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)建立的函數(shù)模型一般 都是確定的函數(shù)關(guān)系，即各種觀測(cè)量之間都有明確的函數(shù)關(guān)系，例如：邊長(zhǎng)、 角度與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系；水準(zhǔn)網(wǎng)平差中的高程與高差之間的函數(shù)關(guān)系； GPS數(shù)據(jù)處理中的GPS衛(wèi)星的偽距以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點(diǎn)的三個(gè) 坐標(biāo)之間，載波相位觀測(cè)量以及已知的衛(wèi)星位置與接收機(jī)所在點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)之 間都是確定的函數(shù)關(guān)系；大地高、正常高與高程異常之間的函數(shù)關(guān)系式；衛(wèi)星 受攝動(dòng)的軌道與六個(gè)軌道根數(shù)之間等等。1 測(cè)量平差在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用在測(cè)量工作的實(shí)踐和科學(xué)研究的活動(dòng)中，變形觀測(cè)占有重要的位置，而平

3、差對(duì)于變形監(jiān)測(cè)中的數(shù)據(jù)處理有著十分重要的作用。在項(xiàng)目建筑物的興建中， 從項(xiàng)目施工開(kāi)始到竣工，以及建成后整個(gè)項(xiàng)目的運(yùn)營(yíng)期間都要不斷的對(duì)項(xiàng)目建 筑物進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以便掌握項(xiàng)目建筑物變形的情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，保證項(xiàng)目建 筑物的安全，不論絕對(duì)網(wǎng)還是相對(duì)網(wǎng)，在觀測(cè)期間網(wǎng)點(diǎn)位置均不能認(rèn)為是沒(méi)有 變動(dòng)的，即網(wǎng)中任意一點(diǎn)的穩(wěn)定性必須進(jìn)行檢驗(yàn)。所謂對(duì)給定的控制網(wǎng)考察其 可監(jiān)測(cè)性，就是要預(yù)期該網(wǎng)可能監(jiān)測(cè)到的最小變形量及方向。假定各觀測(cè)點(diǎn)第一期真值為，第二期各點(diǎn)真值為，兩期觀測(cè)期間發(fā)生的位 移量真值，則： （a 第一期的自由網(wǎng)平差的誤差方程及基準(zhǔn)條件方程 : 誤差方程解為： 第二期的自由網(wǎng)平差時(shí)，其誤差方程與原來(lái)自由網(wǎng)

4、平差第二期的誤差方程相同， 但其平差基準(zhǔn)發(fā)生變化，是仍采用第一期的平差基準(zhǔn)，以便保證基準(zhǔn)一致性。 現(xiàn)在將第二期自由網(wǎng)平差的誤差方程及第一期的基準(zhǔn)條件組合：（b將式（a帶入式（b的第二式得：（c式（c就是用第二期近似高程或坐標(biāo)值的改正值及真位移量表示的第一期基準(zhǔn)。 將（b的第一式與（c聯(lián)合組成誤差方程組得：（d將（d的第一式在最小二乘條件VTPV=min下求解得到法方程組（e其中N不存在逆矩陣，將e）第一式兩邊乘以G并加到第二式可以得到 因?yàn)榭赡妫庵２⒋胍韵率阶?就有（f其中，因?yàn)檎嫖灰屏靠梢越票硎緸?(g將(g代入(f就可以得出第二期觀測(cè)數(shù)據(jù)在第一期基準(zhǔn)下平差后的近似高程或 坐標(biāo)值的改

5、正數(shù)，其值為一，則同一基準(zhǔn)下的位移量計(jì)算值為=，其中。d是兩期觀測(cè)資料分別平差時(shí)的各點(diǎn)位移量，就是基準(zhǔn)一致性前提下，推導(dǎo)出的兩期觀測(cè) 平差后各點(diǎn)的位移向量。在多期觀測(cè)數(shù)據(jù)中如何合理地判斷點(diǎn)的穩(wěn)定性和計(jì)算位移量，這值得討論。 以往對(duì)多期觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理都是認(rèn)為穩(wěn)定點(diǎn)在不同觀測(cè)期間將不發(fā)生變化，即網(wǎng) 型不變，這只是一種理想化狀態(tài)，但是實(shí)際中網(wǎng)型可能發(fā)生變化。如某期觀測(cè)時(shí) 部分穩(wěn)定點(diǎn)被破壞，或者是對(duì)被破壞點(diǎn)重新埋設(shè)，此時(shí)網(wǎng)型都發(fā)生變化。平差時(shí) 的基準(zhǔn)也隨之發(fā)生變化，已不是原來(lái)的基準(zhǔn)。1.1監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析對(duì)于以上問(wèn)題的解決我們可以設(shè)計(jì)如下一個(gè)觀測(cè)網(wǎng)型。如在圖1中，共有n個(gè)點(diǎn)，若作了 m期觀測(cè)，現(xiàn)在欲判

6、斷第ij兩期的發(fā)生位移點(diǎn)及位移量的大小。其中第 j期觀測(cè)時(shí)t號(hào)點(diǎn)被破壞，與t號(hào)點(diǎn)相關(guān)的幾個(gè)觀測(cè)量沒(méi)有觀測(cè)，此時(shí)網(wǎng)型發(fā)生變化。 這就形成兩期觀測(cè)的基準(zhǔn)不一致。同時(shí)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的穩(wěn)定程度也是未知的，即各個(gè) 點(diǎn)穩(wěn)定的權(quán)未知。圖一水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)型監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析思路為：(1對(duì)多期觀測(cè)數(shù)據(jù)作自由網(wǎng)整體平差，將各點(diǎn)在各期間視為互不相同的點(diǎn)， 各觀測(cè)周期數(shù)據(jù)看成相互獨(dú)立。a Q、(2計(jì)算各期的X和x。(3對(duì)第i期的平差資料進(jìn)行相似變換，解決網(wǎng)型不一致的情況。(4計(jì)算位移量和協(xié)因數(shù)陣。(5計(jì)算ij期間的合理參考系，并對(duì)位移量和協(xié)因數(shù)陣再作相似變換，解決計(jì) 算基準(zhǔn)與實(shí)際基準(zhǔn)不相符的情況。(6再用平均間隙法作穩(wěn)定點(diǎn)的判斷。

7、1.2 監(jiān)測(cè)網(wǎng)穩(wěn)定性分析的基本理論1)各期觀測(cè)數(shù)據(jù)的自由網(wǎng)整體平差的誤差方程組假定對(duì)圖1的網(wǎng)形作了m期的沉降觀測(cè)，在m期觀測(cè)中網(wǎng)型可能發(fā)生變化，但觀 測(cè)精度相同。假定每期觀測(cè)量為r個(gè)。AiiV =A22ii!ii+X1A.X2+1+ALlm 一X nAmm_RiP =A22Amm其中，是表示第i期點(diǎn)的近似高程改正值。是第i期的觀測(cè)數(shù)據(jù)，是各期的系 數(shù)陣，權(quán)陣只是第i期各觀測(cè)值的權(quán)。其中，NiiN22Nmm日主因自由網(wǎng)平差時(shí)N陣是奇異矩陣,。其解為：（i不存在凱利逆,由法方程（h求出的解不唯協(xié)因數(shù)陣為QXN1為求出方程（i的唯一解, 的唯一解。at aa再給定一個(gè)最小范數(shù)條件X X = min，

8、則可求出XX =(atpa ggt)atpiTT _1Tq；,=(atpa ggt) -ggt其中，G滿(mǎn)足條件AG =0，GtG=I ；那么第i期的解為T(mén)t -1tQX，：、=(Ai PA pGj ) -GiGi X(iTF；AH +GiGiT)_liTF!lin。因?yàn)榈趈觀測(cè)時(shí)t號(hào)點(diǎn)被破壞，欲將第i期觀測(cè)的平差資料變換到第j期的基準(zhǔn)下，這相似變換公式中穩(wěn) 定點(diǎn)權(quán)陣w應(yīng)取j期的基準(zhǔn)，其中第t項(xiàng)就應(yīng)為0。4)計(jì)算第i、j觀測(cè)期間的位移量dij及協(xié)因數(shù)陣Qij。第i、j觀測(cè)期間的位移量dij及協(xié)因數(shù)陣Qij計(jì)算公式如下：A. Adj =Xj-Xj 后，Qd =Qx Qx 后在上式中，dij表示的是

9、第i、j兩觀測(cè)期間共同存在點(diǎn)的位移量，Qd是位移 量dij的協(xié)因數(shù)陣。B其中匚一般取為單位權(quán)方差，C為某一合適的常數(shù)。1那么d(k 1)I-H HTw(k 1)HHTw(K 1)d(k)在上面的幾個(gè)式中，k表示的是迭代次數(shù)。當(dāng)d/k+J-ddk)蘭心時(shí)停止迭代。一般取一個(gè)適當(dāng)小的數(shù)。此時(shí)就求出了參考系各點(diǎn)的權(quán)陣w。計(jì)算出合乎實(shí)際的參考系權(quán)陣后，就可以對(duì)由自由網(wǎng)平差計(jì)算的位移和協(xié)因數(shù)陣作相似變換。變換公式如下：P 1Sl -H |HTw(k 1)HHtw(K 1)/ dD =SdQdD = SQ SQd 二乞 QXj只，然后在所有的w中取最大的一個(gè)，它相應(yīng)的點(diǎn)為不穩(wěn)定點(diǎn)，利用該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的:R(i)

10、作圖形一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)則終止，否則重復(fù)上述過(guò)程。2測(cè)量平差在GPS中的應(yīng)用我們以GPS高程擬合的精度分析為例來(lái)談其在 GPS中的應(yīng)用。2.1 GPS高程方法在測(cè)量中常用的高程系統(tǒng)有以參考橢球面為基準(zhǔn)面的大地高系統(tǒng)，一般用符號(hào)HH表示；以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正高系統(tǒng)，用符號(hào) Hg表示；以似大地水準(zhǔn)面 為基準(zhǔn)的正常高系統(tǒng)，用符號(hào) Hr表示。高程系統(tǒng)間的相互關(guān)系如圖所示：圖三高程系統(tǒng)間的關(guān)系大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱(chēng)為大地水準(zhǔn)面差距，記為hg。大地高與正高之間的關(guān)系可以表示為：H = Hg hg。大地咼與正似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離，稱(chēng)為高程異常，記為 常高之間的關(guān)系可以表示為：H 因?yàn)?/p>

11、采用GPS觀測(cè)所得到的是點(diǎn)在 WGS 一 84坐標(biāo)系中的大地高，為了確 定出正高或正常高，需要有大地水準(zhǔn)面差距或高程異常數(shù)據(jù)。而我國(guó)常用的正 常高（Hr則須有一定精度的高程異常值，才能保證由大地高求得。2.2高程擬合法高程擬合就是利用在范圍不大的區(qū)域中，高程異常具有一定的幾何相關(guān)性 這一原理，由已知點(diǎn)的Hg、Hr在一定的數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則下求出未知點(diǎn)的 高程異常，從而求出待定點(diǎn)的正常高。若要用零次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合時(shí)，要確定 1個(gè)參數(shù)，因此，需要I個(gè)以 上的已知點(diǎn)；若要采用一次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合，要確定 3個(gè)參數(shù)，需要3個(gè) 以丘的已知點(diǎn)；若要采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行高程擬合，要確定 6個(gè)參數(shù)，則需要

12、 6個(gè)以上的己知點(diǎn)。將高程異常表示為下面多項(xiàng)式的形式：零次多項(xiàng)式：=a0一次多項(xiàng)式：=ao aidB PdL22一次多項(xiàng)式： J =a0+a2B+a2dL+a3dB +a4dL +a5dBdL其中：、dB = B - B0dL = L-LoBonL-aii- ai2B = - a21- a22X = dxs dYs dZs d- d d 1t= dX dY dZ TL=lx lY【對(duì)于外業(yè)控制點(diǎn)，如不考慮它的誤差，貝U控制點(diǎn)的坐標(biāo)改正數(shù)dX 二 dY 二 dZ = 0。當(dāng)像點(diǎn)坐標(biāo)為等權(quán)觀測(cè)時(shí)，誤差方程式對(duì)應(yīng)的法方程式為ATA aJbLxI atl I bta btbt _ btl一式（j含有像

13、片外方位元素改正數(shù)X和待定點(diǎn)地面坐標(biāo)改正數(shù)t兩類(lèi)未知數(shù) 對(duì)于一個(gè)區(qū)域來(lái)說(shuō)，通常會(huì)有幾條、十幾條甚至幾十條航帶，像片數(shù)將有幾十、 幾百甚至幾千張。每張像片有6個(gè)未知數(shù)，一個(gè)待定點(diǎn)有3個(gè)未知數(shù)。若全區(qū) 有N條航帶，每條航帶有n張像片，全區(qū)有m個(gè)待定點(diǎn)，則該區(qū)域的未知數(shù)個(gè)數(shù)為6n N 3m個(gè)。由此組成的法方程將十分龐大。為了計(jì)算方便，通常消去 一類(lèi)未知數(shù)，保留另一類(lèi)未知數(shù)，形成改化法方程。把式j(luò)）中的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)用新的符號(hào)代替，寫(xiě)成N12x1:N；2N22用消元法消去待定點(diǎn)地面坐標(biāo)改正數(shù)得改化法方程式，即葉沖訕2打2 X =L1-N12N2；L2（k式k）的改化法方程式的系數(shù)矩陣 是大規(guī)模的帶狀

14、矩陣。為了計(jì)算方便，通常采用循環(huán)分塊解法解求未知數(shù)。求得每張像片的外方位元素后，可利用雙像空間前方交會(huì)或多像空間前方 交會(huì)方法解求全部加密點(diǎn)的地面坐標(biāo)。多像前方交會(huì)是根據(jù)共線(xiàn)條件方程，由待定點(diǎn)在不同像片上的所有像點(diǎn)列 誤差方差式進(jìn)行解算。下式為共線(xiàn)條件方程經(jīng)線(xiàn)性化后的誤差方程式，即vx =aiidXs + ai2dYS+ai3dZs+ai4d+ai5d灼 +ai6d _aiidX-ai2dY-ai3dZ -lxv a21 dXH a22 dY + a23dZs + a24 +a25d 豹 +a26d a2idX a22dY a23dZ lY因?yàn)槊繌埾衿耐夥轿辉匾呀?jīng)求得，就可列出每個(gè)待定點(diǎn)的

15、前方交會(huì)誤差方 差式，即1 vx = aiidX - ai2dY - ai3dZ - lxvy 二-a2idXa22dY -a23dZ -|y如果某待定點(diǎn)在n張像片上都有構(gòu)像，則可列出2n條誤差方程式，解出該點(diǎn)的 地面坐標(biāo)改正數(shù)，再加上其近似值就得待定點(diǎn)的地面坐標(biāo)。4測(cè)量平差在大地測(cè)量中的應(yīng)用利用最小二乘配置法研究大地水準(zhǔn)面，這種方法已成為完整的理論并在全球 大地測(cè)量中試用。在經(jīng)典的間接平差基礎(chǔ)方程F(X) _L =0中，X， L分別是系統(tǒng)參數(shù)真值及觀測(cè)值向量真值，觀測(cè)值向量L =L e式中e為觀測(cè)值誤差，它由相互獨(dú)立的兩個(gè)偶然量組成：測(cè)站點(diǎn)信號(hào)Sl和觀測(cè)噪聲n。顯然它們各自的均值 或稱(chēng)期望)

16、都是0,經(jīng)線(xiàn)性化后，得線(xiàn)性方程AX -1 S n = 0(|式中：，F(xiàn)(X0)-L。如果在信號(hào)中海包括計(jì)算點(diǎn)信號(hào)S2，亦即S = s S2 T則(l式可寫(xiě)為Ax -1 BS n = 0(m式中：B I此式即為最小二乘配置中的線(xiàn)性方程式。在物理大地測(cè)量中，系統(tǒng)部分可理解為是水準(zhǔn)橢球參數(shù)，比如長(zhǎng)半軸a,地球動(dòng)力常數(shù)fM，正常二介帶系數(shù)2及地球自轉(zhuǎn)角速度w ；隨機(jī)部分S包括地 球重力場(chǎng)與橢球參考系之間的不符值，比如，垂線(xiàn)偏差，大地水準(zhǔn)面差距。重 力異常以及實(shí)際重力場(chǎng)與正常重力場(chǎng)兩種球諧系數(shù)之差等。為了依(m式按最小二乘原理求出X，S及n,需要隨機(jī)量的協(xié)方差陣。對(duì) 于噪聲n的協(xié)方差陣Cn可從觀測(cè)值的精

17、度和相關(guān)性的先驗(yàn)估計(jì)中得到。信號(hào)S的協(xié)方差陣CS可按協(xié)方差陣傳播定律由某一個(gè)基本函數(shù)導(dǎo)出。因?yàn)閚和S互相獨(dú)立，因此整個(gè)協(xié)方差可寫(xiě)為(C 二 CsBtC Csi)4! Cn)。于是，現(xiàn)在的問(wèn)題歸結(jié)為：在 Scs Cn最小條件下求出未知量的最 佳估值問(wèn)題。為此組成拉格朗日函數(shù)T 1T 1TG =S Cs_S n Cn 2K (AX -l BS n),吃1T2CJS 2Bt K =0.S打邛12Cn n 2K =0及m于是得出求解矩陣Ibt0at0【0A0ol衛(wèi)一由此得各未知量估值計(jì)算公式:X =(AT(Cn C(A)AT(Cn Csi)l八1八K 一(Cn Csi) (I -AX)T1S =CsB

18、 (Cn Cs1) (I _AX)A.An-Cn(Cn Cs1) (I - AX)CS1CS1S2式中:_CS2S1CS2Cs1s2和Cs2s1是他們的協(xié)方差Cs1及Cs2是測(cè)站點(diǎn)信號(hào)和計(jì)算點(diǎn)信號(hào)的方差陣, 陣。在特殊情況下，當(dāng)沒(méi)有參數(shù)，即 A = 0時(shí)，有進(jìn)而得到:S1A3 一!. CS1CS1S2=,L_CS2S1CS2 . 1Cn Csjl及 n 二CnG Cs)T由此可見(jiàn)，計(jì)算點(diǎn)信號(hào) S2在(m式并沒(méi)有直接體現(xiàn)，但最后還是可以求出 它的估值，關(guān)鍵是協(xié)方差函數(shù) CS式在這里起到作用。從理論上講，最小二乘配置法可以容納天文、大地、重力及GPS等多種觀測(cè)資料一起處理，這是這種方法的優(yōu)點(diǎn)所在。但也有其缺點(diǎn)，求解的可能及求 解的精度全在于協(xié)方差函數(shù)能以多大的能力取得。總之，測(cè)量平差在測(cè)繪中是廣