1、第四章 金融資產(chǎn)定價(jià)理論本章概述金融資產(chǎn)視為未來(lái)不確定現(xiàn)金流的載體，因此金融工程的核心是資產(chǎn)定價(jià)，資產(chǎn)定價(jià)理論可以分為絕對(duì)定價(jià)和相對(duì)定價(jià)兩種思路。絕對(duì)定價(jià)的思路是在效用上尋 找與不確定現(xiàn)金流無(wú)差異的確定性現(xiàn)金流，本章在學(xué)習(xí)期望效用的基礎(chǔ)上，給出了絕對(duì)定價(jià)的基本框架。而相對(duì)定價(jià)的思路則是給出金融資產(chǎn)相互之間價(jià)格的關(guān)系。 在無(wú)套利均衡意義下，絕對(duì)定價(jià)和相對(duì)定價(jià)可以統(tǒng)一在一起。進(jìn)一步，本章還討論了在動(dòng)態(tài)環(huán)境下的金融市場(chǎng)，初步介紹了如何將兩期環(huán)境的金融問(wèn)題擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)環(huán)境。第一節(jié) 定價(jià)的一般框架與絕對(duì)定價(jià)1.1 效用與定價(jià)一、期望效用 未來(lái)有N種狀態(tài)，金融資產(chǎn) L未來(lái)的不確定現(xiàn)金流及其相應(yīng)的客觀發(fā)生概率

2、為：。則該金融資產(chǎn)帶來(lái)的效用可用期望形式表達(dá)為： 其中 為von Neumann-Morgenstern效用函數(shù)。一般的，我們假設(shè)具有單調(diào)遞增的性質(zhì)，也即對(duì)待財(cái)富是一種“多多益善”的態(tài)度。二、確定性等值與價(jià)格 如果存在某個(gè)確定性的現(xiàn)金流 W使得其帶來(lái)的效用與金融資產(chǎn)L的期望效用相等，即，則稱(chēng)W為L(zhǎng)的確定性等值。如果考慮效用在時(shí)間上的貼現(xiàn)，則確定性等值就是當(dāng)前為了得到未來(lái)的不確定現(xiàn)金流而支付的價(jià)格，也即 其中 為效用的貼現(xiàn)率。1.2 風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) 一、對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與效用函數(shù)凹性 面對(duì)一個(gè)不確定性現(xiàn)金流，投資者如果更加偏好其期望值，也即投資者接受公平賭博的結(jié)果，那么稱(chēng)其為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，也即 ，其中。在

3、圖4-1中，我們以為例，可以看出，效用函數(shù)為凹函數(shù)時(shí)，投資者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的。 此外，如果 ，則稱(chēng)其為嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，對(duì)應(yīng)效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)；如果，則稱(chēng)其為風(fēng)險(xiǎn)喜好，對(duì)應(yīng)效用函數(shù)為凸函數(shù)；如果，則稱(chēng)其為風(fēng)險(xiǎn)中性，對(duì)應(yīng)效用函數(shù)為仿射函數(shù)，即。 圖4-1 函數(shù)的凹性和對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度 二、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)就是金融資產(chǎn)未來(lái)現(xiàn)金流的期望值減去其確定性等值，用以補(bǔ)償投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該得到的回報(bào)，也即：。對(duì)于單調(diào)上升的vN-M函數(shù)：當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)喜好。如果考慮效用在時(shí)間上的貼現(xiàn)，。記的凈收益率為，或者分解為。其中為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，與的凹性和效用的貼現(xiàn)率有關(guān)；有時(shí)我們也把稱(chēng)為

4、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。根據(jù)以上關(guān)系可以得到， 1.3 絕對(duì)定價(jià)一、定價(jià)的一般公式金融資產(chǎn)未來(lái)的現(xiàn)金流分成T期支付，如圖4-2所示。 圖4-2在效用具有時(shí)間上的加法可分性的條件下，根據(jù)上式，對(duì)第i期（i=1T）現(xiàn)金流的定價(jià)為：其中，表示第i期現(xiàn)金流大小，表示第i期現(xiàn)金流的不確定性因素；表示幾何平均方式年化以后的i期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，具體含義在第五章利率理論部分詳細(xì)介紹；表示第i期的不確定現(xiàn)金流對(duì)應(yīng)的年化以后的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。另一方面，第i期的不確定現(xiàn)金流可以采取迭代貼現(xiàn)的方式，也即按照的收益率折現(xiàn)到第i-1期，再按照的收益率折現(xiàn)到第i-2期，依次類(lèi)推一直到當(dāng)前，也即： 對(duì)于當(dāng)前來(lái)說(shuō)，未來(lái)各期的和都是未知的，受到金融

5、市場(chǎng)未來(lái)新到達(dá)的信息影響，因此都是隨機(jī)的。詳細(xì)分析見(jiàn)本章第三節(jié)。金融資產(chǎn)的價(jià)格為各期現(xiàn)金流當(dāng)前價(jià)格的疊加，也即： 二、債券定價(jià)、股票定價(jià)和衍生品定價(jià)在金融學(xué)、金融市場(chǎng)學(xué)、投資學(xué)等課程中，我們學(xué)習(xí)過(guò)債券定價(jià)模型和股票定價(jià)模型。這些模型都可以統(tǒng)一到這個(gè)絕對(duì)定價(jià)框架下。對(duì)于主權(quán)債，比如國(guó)債，為常數(shù)，即票面值和息票率的乘積，還加上票面值，但是沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)，因此=1。故國(guó)債要求的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)=0。對(duì)于非主權(quán)債，比如企業(yè)債和市政債券等，存在違約風(fēng)險(xiǎn)，因此，故企業(yè)債需要有一定的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，稱(chēng)為信用價(jià)差。對(duì)于股票，不確定性因素更多。首先終期T是不確定的，現(xiàn)金流支付時(shí)間也是不確定的，以及影響現(xiàn)金流支付數(shù)量的因素也是不

6、確定的，等等。因此股票要求有風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）就是給這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)進(jìn)行定價(jià)的理論。由于影響股票未來(lái)現(xiàn)金流的不確定性因素太多太復(fù)雜，一般我們采取比較簡(jiǎn)單的定價(jià)模型，就是公司財(cái)務(wù)中學(xué)過(guò)的股利貼現(xiàn)模型（Dividend Discount Model, DDM）。對(duì)于衍生品定價(jià)，由于衍生品的現(xiàn)金流通常可以由基礎(chǔ)金融資產(chǎn)復(fù)制出來(lái)，因此更多的采取相對(duì)定價(jià)方法。但是同樣也可以類(lèi)比其絕對(duì)定價(jià)模型。第二節(jié) 無(wú)套利均衡與相對(duì)定價(jià)2.1 套利機(jī)會(huì)與無(wú)套利定價(jià)法則一、套利機(jī)會(huì)與一價(jià)法則 市場(chǎng)有三種金融資產(chǎn)，未來(lái)可能出現(xiàn)兩種狀態(tài)，收益矩陣如下45-2587三種金融資產(chǎn)的價(jià)格向量為：1,5,3，這個(gè)市場(chǎng)

7、的價(jià)格體系是否合理？構(gòu)建三種金融資產(chǎn)的頭寸為a1,a2,a3使得未來(lái)現(xiàn)金流為0，也即 解得， 而該頭寸當(dāng)前的現(xiàn)金流為 可見(jiàn)，存在著某種金融資產(chǎn)組合使得未來(lái)現(xiàn)金流為0，而當(dāng)前現(xiàn)金流不為0，這是一種套利機(jī)會(huì)。投資者可以持有51單位資產(chǎn)一的多頭，38單位資產(chǎn)二的空頭，和7單位資產(chǎn)三的多頭，即可以得到當(dāng)前118元的獲利。金融市場(chǎng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)套利機(jī)會(huì)，未來(lái)現(xiàn)金流相同的金融資產(chǎn)組合必須有相同的價(jià)格，或者未來(lái)現(xiàn)金流為0的組合，當(dāng)前現(xiàn)金流必須為0。這就是一價(jià)法則，又稱(chēng)為線(xiàn)性定價(jià)法則，是金融工程等價(jià)復(fù)制原理的核心。對(duì)于一價(jià)法則，我們需要從三個(gè)層次來(lái)理解：第一，考慮跨市場(chǎng)交易成本后，同種資產(chǎn)在不同市場(chǎng)必須同價(jià)；第二，

8、齊次性，即沒(méi)有規(guī)模經(jīng)濟(jì)或規(guī)模不經(jīng)濟(jì)，批發(fā)價(jià)和零售價(jià)相同；第三，加法可分性，即沒(méi)有范圍經(jīng)濟(jì)或范圍不經(jīng)濟(jì)，沒(méi)有上市公司的收購(gòu)或兼并。二、套利機(jī)會(huì)與正定價(jià)法則同上例，三種金融資產(chǎn)的價(jià)格向量為：1,5,139/7，價(jià)格體系合理嗎？同樣，構(gòu)建三種金融資產(chǎn)的頭寸為a1,a2,a3使得未來(lái)現(xiàn)金流為0，該組合當(dāng)前現(xiàn)金流為， 也即第三種金融資產(chǎn)可以由前兩種復(fù)制，故可剔除，只考慮前兩種資產(chǎn)的價(jià)格體系。構(gòu)建兩種金融資產(chǎn)的頭寸為a1,a2使得未來(lái)第一種狀態(tài)下現(xiàn)金流為1，第二種狀態(tài)下現(xiàn)金流為0，也即 解得， 由線(xiàn)性定價(jià)法則知道，該頭寸當(dāng)前的現(xiàn)金流為 可見(jiàn)，存在著某種金融資產(chǎn)組合使得未來(lái)現(xiàn)金流大于等于0，而當(dāng)前現(xiàn)金流也大

9、于等于0，這是一種套利機(jī)會(huì)。投資者可以持有8/7單位資產(chǎn)一的多頭，5/7單位資產(chǎn)二的空頭，即可以得到當(dāng)前17/7元以及未來(lái)在狀態(tài)一情況下1元的獲利。金融市場(chǎng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)套利機(jī)會(huì)，未來(lái)現(xiàn)金流大于0的金融資產(chǎn)組合，其當(dāng)前現(xiàn)金流必須小于0，這就是正定價(jià)法則。正定價(jià)法則表明，金融市場(chǎng)無(wú)套利均衡下，內(nèi) 在價(jià)值相對(duì)高（表現(xiàn)為未來(lái)各種狀態(tài)的現(xiàn)金流）的金融資產(chǎn)應(yīng)該有相對(duì)高的價(jià)格。金融資產(chǎn)就是一種當(dāng)前現(xiàn)金流凈流出和未來(lái)現(xiàn)金流凈流入之間的平衡關(guān)系，在正定 價(jià)法則中也得以體現(xiàn)。這個(gè)平衡關(guān)系怎么確定，就由絕對(duì)定價(jià)方法中的效用等價(jià)來(lái)決定，依賴(lài)于效用函數(shù)的凹性和效用的貼現(xiàn)。三、無(wú)套利定價(jià)與期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)我們可以通過(guò)期權(quán)二叉樹(shù)

10、定價(jià)來(lái)理解無(wú)套利均衡的思想和方法。在下例中，股票和期權(quán)未來(lái)現(xiàn)金流有兩種狀態(tài)，分別是上漲u和下跌d。 期權(quán)未來(lái)現(xiàn)金流用隨機(jī)變量表示，當(dāng)前價(jià)格為C，股票未來(lái)現(xiàn)金流用隨機(jī)變量表示，當(dāng)前價(jià)格為S。假設(shè)1單位的期權(quán)多頭，可以用h單位的股票空頭對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)一價(jià)法則，無(wú)套利均衡條件為： 未來(lái)上漲和下跌兩種狀態(tài)，期權(quán)和股票組合風(fēng)險(xiǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)沖，因此有 由兩式可解得， 代入（2）得， 假如期權(quán)下期行權(quán)，其未來(lái)現(xiàn)金流為： 此為期權(quán)定價(jià)的邊界條件。 令，代入（2）得， 進(jìn)一步的，我們可以對(duì)進(jìn)行討論。第一，如果，q0，出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì)，因?yàn)楣善蔽磥?lái)收益最差的情況都比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益好，因此可以大量借錢(qián)投資股票，并且股票上的風(fēng)險(xiǎn)

11、用期權(quán)空頭對(duì)沖；第二，1-q0，也出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì)，因?yàn)楣善蔽磥?lái)收益最好的情況都比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益差，因此可以賣(mài)空股票投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且股票上的風(fēng)險(xiǎn)用期權(quán)多頭對(duì)沖。 從上可見(jiàn)，市場(chǎng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)套利均衡，必須有，使得q>0，并且1-q>0。q與這樣的資產(chǎn)組合的價(jià)格有關(guān)，及上漲情況下得到1單位現(xiàn)金流，下跌情況下得到0；1-q則與上漲情況下得到0單位現(xiàn)金流，下跌情況下得到1的資產(chǎn)組合的價(jià)格有關(guān)。2.2 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)一、狀態(tài)價(jià)格與定價(jià) 狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格，這種資產(chǎn)學(xué)術(shù)上稱(chēng)為Arrow-Debru證券。 如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這

12、N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。 考慮二叉樹(shù)情況下，基本證券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1。 基本證券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是u，基本證券2的價(jià)格是d，分別被稱(chēng)為上升狀態(tài)的價(jià)格和下降狀態(tài)的價(jià)格。 根據(jù)無(wú)套利原理，復(fù)制品和被復(fù)制對(duì)象現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該相等： P=uPu+dPd 即uu+dd=1。 基本證券的組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r,于是便有： 聯(lián)立方程可解得： ，從中可以看出，u和d分

13、別對(duì)應(yīng)前面提到的q和1-q。 二、資產(chǎn)定價(jià)第一基本定理 有限狀態(tài)情況下，金融市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)的充分必要條件是，存在一組正的狀態(tài)價(jià)格：1,2 ,N，使得對(duì)于任何金融資產(chǎn)：P1,P2 ,PN，其當(dāng)前價(jià)格P可以表達(dá)為： 注意到： 資產(chǎn)定價(jià)第一基本定理可以向無(wú)窮狀態(tài)情況的擴(kuò)展，只需要對(duì)無(wú)套利均衡的定義做一些數(shù)學(xué)上的修正。 三、風(fēng)險(xiǎn)中性概率與定價(jià) 在對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 由于在市場(chǎng)無(wú)套利均衡下，狀態(tài)價(jià)格大于

14、0，因此可以由狀態(tài)價(jià)格定義風(fēng)險(xiǎn)中性概率為： 進(jìn)一步由資產(chǎn)定價(jià)基本定理可以得到金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法： 其中 表示在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下求期望。風(fēng)險(xiǎn)中性概率可以理解為一種主觀概率，是各種狀態(tài)的客觀概率經(jīng)過(guò)投資者邊際效用替代率調(diào)整以后得到的概率。因此風(fēng)險(xiǎn)中性概率的分布受到投資者效用函數(shù)的影響，在這里第一節(jié)的絕對(duì)定價(jià)思想和相對(duì)定價(jià)思想統(tǒng)一為一體。 第三節(jié) 動(dòng)態(tài)金融市場(chǎng)中的信息、套利與市場(chǎng)有效性3.1 金融變量跨時(shí)演變的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介一、金融中的隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。根據(jù)時(shí)間和變量，隨機(jī)過(guò)程可以分為時(shí)間連續(xù)變量連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間連續(xù)變量離散型隨機(jī) 過(guò)程、時(shí)間離

15、散變量連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間離散變量離散型隨機(jī)過(guò)程。金融中的隨機(jī)過(guò)程是一種馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（Markov Stochastic Process）。在馬氏過(guò)程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。如果金融變量遵循馬爾可夫過(guò)程，則其未來(lái)值的概率分布只取決于該變量現(xiàn)在的值，且具有某些時(shí)序特征。一般用布朗運(yùn)動(dòng)或者維納過(guò)程描述。設(shè)t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，z代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，則標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在時(shí)間上的演進(jìn)，滿(mǎn)足以下兩個(gè)特征：特征一：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔t，z的值相互獨(dú)立。特征二：z和t的關(guān)系滿(mǎn)足：。當(dāng)t>0時(shí)，就

16、可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1。漂移率（Drift Rate）是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（Variance Rate）是指單位時(shí)間的方差。方差率也稱(chēng)為擴(kuò)散率（Diffusion Rate），反映變量的波動(dòng)性。如果我們令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b2，就可得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：。二、Ito過(guò)程與Ito引理普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，可以得到伊藤過(guò)程（Ito Process）： Ito過(guò)程是非常重要的隨機(jī)過(guò)程，在金融中有廣泛的應(yīng)用。若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G(

17、x,t)將遵循如下過(guò)程： 這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為Ito引理，是衍生產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)。三、金融變量的分類(lèi)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過(guò)各種經(jīng)濟(jì)變量的分類(lèi)。在金融中，我們對(duì)金融變量的分類(lèi)也類(lèi)似與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，但是又要反映金融的特點(diǎn)。一種分類(lèi)思路是將金融變量分 為：指標(biāo)變量和比率變量。對(duì)于指標(biāo)變量，比如價(jià)格、貨幣供應(yīng)量等；對(duì)于比率變量，比如利率、通脹率、收益率、就業(yè)率等。此外，對(duì)金融變量的還有另一種分類(lèi) 思路，即分為時(shí)點(diǎn)量（存量）和時(shí)期量。對(duì)于時(shí)點(diǎn)量，比如貨幣供應(yīng)量等；對(duì)于時(shí)期量（增量），比如證券交易量。通常情況下，時(shí)點(diǎn)量是某個(gè)時(shí)期量在時(shí)間上的累 積。金融變量隨著時(shí)間的演變，也即金融隨機(jī)過(guò)程一般可以分為擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)和平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。

18、擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)變現(xiàn)為金融變量隨著時(shí)間的推進(jìn)呈現(xiàn)越來(lái)越大的趨勢(shì)，也即一種發(fā)散 形態(tài)。指標(biāo)變量和很多存量的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，通常其經(jīng)過(guò)差分或微分（通常一階）可能成為平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。而平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為金融變量隨著時(shí)間的推進(jìn)而趨向于某 個(gè)有限值，也即一種收斂形態(tài)。比率變量的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。四、幾何布朗運(yùn)動(dòng)和均值回復(fù)運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)上，通常用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，比如股票價(jià)格用下列隨機(jī)過(guò)程描述，即， 而通常用均值回復(fù)運(yùn)動(dòng)描述平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，比如利率用下列隨機(jī)過(guò)程描述，即， 五、信息沖擊與金融變量的跨時(shí)演變前面對(duì)金融變量的描述，一般假定漂移率（反映金融變量期望值的跨時(shí)演變）和擴(kuò)散率（反映金融變量波動(dòng)性的跨時(shí)演變）都是時(shí)間

19、恒定的。實(shí)際中，由于金融 市場(chǎng)不斷有新的信息到達(dá)，金融變量未來(lái)的期望值和波動(dòng)性也會(huì)因?yàn)樾滦畔⒍l(fā)生改變，漂移率和擴(kuò)散率也會(huì)隨著時(shí)間而發(fā)生變化，甚至是隨機(jī)的。以股票價(jià)格為 例，其變化將滿(mǎn)足下列隨機(jī)過(guò)程，即： 在很多情況下，漂移率的變化用均值回復(fù)過(guò)程來(lái)描述，即： 此外，可能由于新到達(dá)的信息量非常大，對(duì)金融變量形成一個(gè)沖擊，金融變量將發(fā)生一個(gè)跳躍，通常引入泊松過(guò)程來(lái)描述這個(gè)跳躍。以股票價(jià)格變動(dòng)為例， 其中的dq為泊松過(guò)程，定義為：六、波動(dòng)性的動(dòng)態(tài)過(guò)程對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)率的一般模型通常為： 由于這個(gè)模型的適用性不強(qiáng)，現(xiàn)在金融實(shí)證研究一個(gè)廣泛使用的波動(dòng)率模型是廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。GARCH

20、模型又可以分為多種，其中最常見(jiàn)的是GARCH(1,1)模型： 其中、和都為常數(shù)，且，為恒定的長(zhǎng)期平均股票方差率。，即n時(shí)刻收益率對(duì)收益率均值的離差，可以看作是關(guān)于方差率的最新信息。 從式中可以看出，該模型意味著在n時(shí)刻的方差率是三個(gè)因素的加權(quán)平均：恒定的長(zhǎng)期平均方差率、前一時(shí)期的方差率和關(guān)于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估計(jì)值的基礎(chǔ)上，因而被稱(chēng)為GARCH(1,1)。更一般的GARCH(p,q)模型則從最近p期的和最近q期的信息中估計(jì)方差率。3.2 金融市場(chǎng)的信息和交易一、三類(lèi)信息在金融市場(chǎng)上可以獲得的信息集根據(jù)其公開(kāi)程度可以區(qū)分為：歷史價(jià)格信息、基本面信息和內(nèi)幕信息。歷史價(jià)格信息和

21、基本面信息構(gòu)成公開(kāi)信息，公開(kāi)信息和內(nèi)幕信息構(gòu)成所有信息，是最大的信息集合。投資者歷史價(jià)格信息的分析就是證券投資中的技術(shù)分析，對(duì)基本面信息的分析就是證券投資中的基本面分析。二、三種市場(chǎng)有效性根據(jù)價(jià)格反映的信息集不同，市場(chǎng)有效性假說(shuō)分為弱式有效、半強(qiáng)式有效和強(qiáng)式有效。弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息，也就是說(shuō)不能通過(guò)技術(shù)分析獲得超過(guò)平均收益率的收益。半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開(kāi)信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無(wú)助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，不僅是已公布

22、的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒(méi)有用處。三、知情交易者、流動(dòng)性交易者和噪音交易者金融市場(chǎng)有效的一個(gè)必要條件是市場(chǎng)上必須有知情的交易者。從資產(chǎn)定價(jià)原理看，不同交易者獲得不同的信息，表現(xiàn)為對(duì)未來(lái)不確定現(xiàn)金流概率分布的認(rèn)識(shí)不 同，或者有不同的偏好，交易者對(duì)同樣的資產(chǎn)有著不同的估值。由于獲得了更為準(zhǔn)確的信息而得出更合理估值的交易者就是知情交易者。那些根據(jù)公開(kāi)信息進(jìn)行估值 的交易者就是流動(dòng)性交易者，其交易完全是由于偏好的差異。另外還有一類(lèi)交易者稱(chēng)為噪音交易者，這類(lèi)交易者往往是基于短期走勢(shì)對(duì)價(jià)格做出估計(jì)，往往擴(kuò)大價(jià)格短期的波動(dòng)性。 3.3 金

23、融市場(chǎng)的套利一、套利和市場(chǎng)有效性套利是是有效市場(chǎng)的必要條件，是保證各種金融產(chǎn)品（如現(xiàn)貨、遠(yuǎn)期、期權(quán)和互換）、各種期限結(jié)構(gòu)（如即期利率期限結(jié)構(gòu)、遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)、附息票債券到期收益率期限結(jié)構(gòu)、遠(yuǎn)期匯率期限結(jié)構(gòu)等）、各地金融市場(chǎng)保持高度相關(guān)性的重要途徑和力量。套利是利用資產(chǎn)定價(jià)的錯(cuò)誤、價(jià)格聯(lián)系的失常，以及市場(chǎng)缺乏有效性的其它機(jī)會(huì)，通過(guò)買(mǎi)進(jìn)價(jià)格被低估的資產(chǎn)，同時(shí)賣(mài)出價(jià)格被高估的資產(chǎn)來(lái)獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的交易策略。套利是市場(chǎng)無(wú)效率的產(chǎn)物，而套利的結(jié)果則促使市場(chǎng)效率的提高。市場(chǎng)能夠套利的基本假定有：1沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收；2套利者可按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率自由借貸；3套利者均可按市場(chǎng)中間價(jià)格買(mǎi)賣(mài)資產(chǎn)。二、套利交易的種類(lèi)套

24、利有五種基本的形式：空間套利、時(shí)間套利、工具套利、風(fēng)險(xiǎn)套利和稅收套利。最明顯和最直觀的套利形式是空間套利（或稱(chēng)地理套利），它是指在一個(gè)市場(chǎng)上低價(jià)買(mǎi)進(jìn)某種商品，而在另一市場(chǎng)上高價(jià)賣(mài)出同種商品，從而賺取兩個(gè)市場(chǎng)間差價(jià)的交易行為。空間套利是最早的套利形式之一，也是大多數(shù)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)的主要形式。時(shí)間套利是指同時(shí)買(mǎi)賣(mài)在不同時(shí)點(diǎn)交割的同種資產(chǎn)，它包括現(xiàn)在對(duì)未來(lái)的套利和未來(lái)對(duì)未來(lái)的套利。工具套利就是利用同一標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨及各種衍生證券的價(jià)格差異，通過(guò)低買(mǎi)高賣(mài)來(lái)賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為。從前面關(guān)于衍生證券定價(jià)的分析中，我們看到各種 衍生證券的價(jià)格部分或全部取決于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格、利率、期限（或時(shí)間）、波動(dòng)率等變量，當(dāng)

25、這些變量值已知時(shí)，我們就可推導(dǎo)出各種衍生證券價(jià)格之間的關(guān) 系。工具套利是各種套利形式中最振奮人心的一種。在這種套利形式中，多種資產(chǎn)或金融工具組合在一起，形成一種或多種與原來(lái)有著截然不同性質(zhì)的金融工具，這 正是創(chuàng)造復(fù)合金融工具的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)也成立。一項(xiàng)金融工具可以分解成一系列的金融工具，且每一個(gè)都有著與原來(lái)的金融工具不同的特性，金融工具的組 合和分解正是金融工程的主要運(yùn)用。風(fēng)險(xiǎn)套利是指利用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)上的差異，通過(guò)買(mǎi)低賣(mài)高賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的交易行為。根據(jù)高風(fēng)險(xiǎn)高收益原則，風(fēng)險(xiǎn)越高，所要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償就越多。如果現(xiàn)實(shí)生活中各種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)偏離了這個(gè)平價(jià)關(guān)系，就存在風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。稅收套利是指利用不

26、同投資主體、不同證券、不同收入來(lái)源在稅收待遇上存在的差異所進(jìn)行的套利交易。三、套利的局限從理論上講，套利無(wú)需資本，也沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)套利者賣(mài)出價(jià)格較高的證券，同時(shí)買(mǎi)進(jìn)價(jià)格較低的“相同或本質(zhì)上相似”的證券時(shí)，他就立即獲得套利利潤(rùn)（等于 買(mǎi)賣(mài)價(jià)差），而其未來(lái)的凈現(xiàn)金流一定等于零；或者他在套利時(shí)的凈現(xiàn)金流為零，而其未來(lái)的凈現(xiàn)金流有可能為正。然而，現(xiàn)實(shí)生活中的套利往往是有風(fēng)險(xiǎn)的，因此是有局限的。金融市場(chǎng)上的定價(jià)錯(cuò)誤大多是由噪音交易者（Noise Trader）造成的。比如，噪音交易者對(duì)于某個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格走勢(shì)如果持悲觀看法，就會(huì)大量拋售該資產(chǎn)使其價(jià)格走低。而套利者發(fā)現(xiàn)該資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于與該資產(chǎn) “相同或本質(zhì)上相

27、似”的其他資產(chǎn)的價(jià)格而言被低估了，于是就買(mǎi)進(jìn)該資產(chǎn)而賣(mài)出其他資產(chǎn)進(jìn)行套利。但該套利在短期內(nèi)面臨著如下風(fēng)險(xiǎn)：噪音交易者在短期內(nèi)可能 對(duì)該資產(chǎn)更悲觀，進(jìn)一步推低該資產(chǎn)價(jià)格，從而使套利組合在短期內(nèi)面臨虧損的危險(xiǎn)。特別是當(dāng)套利被放大數(shù)倍后，價(jià)格的不利變動(dòng)可能使套利組合在短期內(nèi)發(fā)生保 證金不足而被迫平倉(cāng)。 此外，完美替代品的缺乏也限制了套利。所謂完美的替代品是指替代證券（或投資組合）的現(xiàn)金流與被替代證券（或投資組合）的現(xiàn)金流完全相同。當(dāng)某種證券 的價(jià)格高于其內(nèi)在價(jià)值時(shí)，投資者就可以賣(mài)出該證券，同時(shí)買(mǎi)進(jìn)未來(lái)現(xiàn)金流與之完全相同的證券或投資組合。相反，當(dāng)某種證券的價(jià)格低于其內(nèi)在價(jià)值時(shí)，投資者就 可以買(mǎi)進(jìn)該證券

28、，同時(shí)賣(mài)出未來(lái)現(xiàn)金流與之完全相同的證券或投資組合。這種套利活動(dòng)從長(zhǎng)期看是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。對(duì)于期貨、期權(quán)等衍生證券來(lái)說(shuō)，通常較容易找到完美 的替代品。但在很多情況下，證券現(xiàn)貨完美的替代品是很難找到的。套利者往往只能找到近似的替代品，這就使套利者面臨風(fēng)險(xiǎn)。例如，當(dāng)套利者發(fā)現(xiàn)股票市場(chǎng)的價(jià) 格被整體高估時(shí)，他找不到股票組合的替代組合。第四節(jié) 遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)4.1 遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的關(guān)系一、基本假設(shè)和符號(hào) （一）基本的假設(shè) 為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本節(jié)的分析是建立在如下假設(shè)前提下的： 1沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收。 2市場(chǎng)參與者能以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金。 3遠(yuǎn)期合約沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)。 4允許現(xiàn)貨賣(mài)空行為。 5當(dāng)套利機(jī)

29、會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場(chǎng)參與者將參與套利活動(dòng)，從而使套利機(jī)會(huì)消失，我們算出的理論價(jià)格就是在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)下的均衡價(jià)格。 6期貨合約的保證金賬戶(hù)支付同樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭和空頭地位。 （二）符號(hào) 本節(jié)將要用到的符號(hào)主要有： T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。 t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個(gè)日期開(kāi)始計(jì)算的，Tt代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的剩下的時(shí)間。 S：標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。 ST：標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。 K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。 f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值。 F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和

30、期貨合約中標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期理論價(jià)格和期貨理論價(jià)格，在本節(jié)中如無(wú)特別注明，我們分別簡(jiǎn)稱(chēng)為遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格。 r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率），在本節(jié)中，如無(wú)特別說(shuō)明，利率均為連續(xù)復(fù)利。二、 遠(yuǎn)期價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)值 在簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對(duì)稱(chēng)的，而且合約雙方對(duì)未來(lái)的預(yù)期相同，那么合約雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使合約的價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。這意味著無(wú)需成本就可處于遠(yuǎn)期合約的多頭或空頭狀態(tài)。 我們把使得遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格稱(chēng)為遠(yuǎn)期價(jià)格（Forward Price）。這個(gè)遠(yuǎn)期價(jià)格顯然是理論價(jià)格，它與遠(yuǎn)期合約在實(shí)際交易中形成的實(shí)際價(jià)格（即雙方簽約時(shí)所確定的交割價(jià)格）并不一

31、定相等。但是，一旦理論價(jià)格 與實(shí)際價(jià)格不相等，就會(huì)出現(xiàn)套利（Arbitrage）機(jī)會(huì)。若實(shí)際價(jià)格高于理論價(jià)格，套利者就可以通過(guò)買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨、賣(mài)出遠(yuǎn)期并等待交割來(lái)獲取無(wú)風(fēng) 險(xiǎn)利潤(rùn)，從而促使現(xiàn)貨價(jià)格上升、交割價(jià)格下降，直至套利機(jī)會(huì)消失，我們稱(chēng)這種套利方式為正向套利（cash-and-carry arbitrage）；若實(shí)際價(jià)格低于理論價(jià)格，套利者就可以通過(guò)賣(mài)空標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨、買(mǎi)入遠(yuǎn)期來(lái)獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)，從而促使現(xiàn)貨價(jià)格下降，交割價(jià)格上升，直 至套利機(jī)會(huì)消失，遠(yuǎn)期理論價(jià)格等于實(shí)際價(jià)格，我們稱(chēng)這種套利方式為反向套利（reverse cash-and-carry arbitrage）。在本節(jié)中，我們所說(shuō)

32、的對(duì)金融工具的定價(jià)，實(shí)際上都是指確定其理論價(jià)格。 這里要特別指出的是遠(yuǎn)期價(jià)格與遠(yuǎn)期價(jià)值的區(qū)別。一般來(lái)說(shuō)，價(jià)格總是圍繞著價(jià)值波動(dòng)的，而遠(yuǎn)期價(jià)格跟遠(yuǎn)期價(jià)值卻相去甚遠(yuǎn)。例如，當(dāng)遠(yuǎn)期價(jià)格等于交割價(jià)格時(shí)， 遠(yuǎn)期價(jià)值為零。其原因主要在于遠(yuǎn)期價(jià)格指的是遠(yuǎn)期合約中標(biāo)的物的遠(yuǎn)期價(jià)格，它是跟標(biāo)的物的現(xiàn)貨價(jià)格緊密相聯(lián)的；而遠(yuǎn)期價(jià)值則是指遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值，它是 由遠(yuǎn)期實(shí)際價(jià)格與遠(yuǎn)期理論價(jià)格的差距決定的。在合約簽署時(shí)，若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期理論價(jià)格，則此時(shí)合約價(jià)值為零。但隨著時(shí)間推移，遠(yuǎn)期理論價(jià)格有可能改變， 而原有合約的交割價(jià)格則不可能改變，因此原有合約的價(jià)值就可能不再為零。三、 遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的關(guān)系 根據(jù)羅斯等美

33、國(guó)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家證明，當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定，且對(duì)所有到期日都不變時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。 但是，當(dāng)利率變化無(wú)法預(yù)測(cè)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格就不相等。至于兩者誰(shuí)高則取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率的相關(guān)性。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格 高于遠(yuǎn)期價(jià)格。這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，期貨價(jià)格通常也會(huì)隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤(rùn) 進(jìn)行再投資。而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，而他可按低于平均利率的利率從市場(chǎng)上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合 約的多頭將不會(huì)因利率的變動(dòng)而受到上述影響。因此在這種情況下，

34、期貨多頭顯然比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價(jià)格自然就大于遠(yuǎn)期價(jià)格。相反，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與 利率呈負(fù)相關(guān)性時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。 遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效期的長(zhǎng)短。當(dāng)有效期只有幾個(gè)月時(shí)，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性等方面的因素或差異也都會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異。但在現(xiàn)實(shí)生活中，期貨和遠(yuǎn)期價(jià)格的差別往往可以忽略不計(jì)。例如，Cornell和Reinganum（1981）、Park和Chen（1985）在估計(jì) 外匯期貨和遠(yuǎn)期之間的合理差價(jià)時(shí)，都發(fā)現(xiàn)盯市所帶來(lái)的收益太小了，以至于在統(tǒng)計(jì)意義上，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格之間并沒(méi)有顯著的差別

35、。因此，在大多數(shù)情況下，我們 仍可以合理地假定遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相等，并都用F來(lái)表示。在以下的分析中，對(duì)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)同樣適用于期貨合約。4.2 遠(yuǎn)期的定價(jià)一、無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià) 無(wú)收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如零息債券。 （一）無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值 例如，為了給無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)我們可以構(gòu)建如下兩種組合： 組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金； 組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，投資期為（Tt）。到T時(shí)刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)椋篕e-r（Tt）er（Tt）=K 在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好

36、可用來(lái)交割換來(lái)一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無(wú)套利原則，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt）（4.1） 公式（4.1）表明，無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額。或者說(shuō)，一單位無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ke-r（Tt）單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債組成。 （二）現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)定理 由于遠(yuǎn)期價(jià)格（F）就是使合約價(jià)值（f）為零的交割價(jià)格（K），即當(dāng)f=0時(shí)，K=F。據(jù)此可以令（4.1）式中f=0，則 F=Ser（Tt） （4.2） 這就是無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)定理（Spot

37、-Forward Parity Theorem），或稱(chēng)現(xiàn)貨期貨平價(jià)定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（4.2）表明，對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的終值。 為了證明公式（4.2），我們用反證法證明等式不成立時(shí)的情形是不均衡的。 假設(shè)F >Ser（Tt），即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種情況下，套利者可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金，期限為T(mén)t。然后用S購(gòu)買(mǎi)一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣(mài)出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為F。在T時(shí)刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來(lái)F現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（Tt），這就實(shí)現(xiàn)了FSer（Tt） 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)

38、利潤(rùn)。 若F <Ser（Tt），即交割價(jià)值小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。套利者就可進(jìn)行反向操作，即賣(mài)空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期限為T(mén)-t，同時(shí)買(mǎi)進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)為F。在T時(shí)刻，套利者收到投資本息Ser（Tt），并以F現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣(mài)空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Ser（Tt）F的利潤(rùn)。 例如我們考慮一個(gè)股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利。合約的期限是3個(gè)月，假設(shè)標(biāo)的股票現(xiàn)在的價(jià)格是30元，連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為4%。那么這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價(jià)格應(yīng)該為： 如果市場(chǎng)上該合約的交割價(jià)格為30.10元，則套利者可以賣(mài)出股票并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行

39、投資，期末可以獲得30.3030.100.20元。 反之，如果市場(chǎng)上的遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格大于30.30元，套利者可以借錢(qián)買(mǎi)入股票并賣(mài)出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利潤(rùn)。利用公式（4.1），我們可計(jì)算現(xiàn)有無(wú)收益證券遠(yuǎn)期合約的價(jià)值。 例4.1 設(shè)一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為$930，6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率（連續(xù)復(fù)利）為6%，該債券的現(xiàn)價(jià)為$910。則根據(jù)公式（4.1），我們可以算出該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為： f=910930e-0.5×0.06=$7.49利用公式（4.2），我們可以算出無(wú)收益證券的遠(yuǎn)期合約中合理的交割價(jià)格。 例4.2 假設(shè)

40、一年期的貼現(xiàn)債券價(jià)格為$950，3個(gè)月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，則3個(gè)月期的該債券遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格應(yīng)為：F=950e0.05×0.25=$962（三）遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu) 遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，r為T(mén)時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，r*為T(mén)*時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，為T(mén)到T*時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)遠(yuǎn)期利率。對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)而言，從公式（4.1）可知， F=Ser（Tt） 兩式相除消掉S后， （4.3） 根據(jù)第五章的內(nèi)容有，我們可以得到不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系： (4.4) 例4.3 假設(shè)某種不付紅利股票6個(gè)月遠(yuǎn)期的價(jià)

41、格為30元，目前市場(chǎng)上6個(gè)月至1年的遠(yuǎn)期利率為8，求該股票1年期的遠(yuǎn)期價(jià)格。 根據(jù)式（4.4），該股票1年期遠(yuǎn)期價(jià)格為： 讀者可以運(yùn)用相同的方法,推導(dǎo)出支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)和支付已知紅利率資產(chǎn)的不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。二、 支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià) 支付已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)是指在到期前會(huì)產(chǎn)生完全可預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如附息債券和支付已知現(xiàn)金紅利的股票等。對(duì)于黃金、白銀等貴金屬，盡管其本身并不產(chǎn) 生收益，但需要花費(fèi)一定的存儲(chǔ)成本，而存儲(chǔ)成本也可看成是負(fù)收益。因此，我們令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I，對(duì)黃金、白銀來(lái)說(shuō)，I為負(fù)值。 （一）支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)的一般方法 為了給支付已

42、知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，我們可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合： 組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke-r（Tt）的現(xiàn)金； 組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日 、本金為I 的負(fù)債。 顯然，組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。在組合B中，由于標(biāo)的證券的收益剛好可以用來(lái)償還負(fù)債的本息，因此在T時(shí)刻，該組合的價(jià)值也等于一單位標(biāo)的證券。因此，在t時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)相等，即： f+ Ke-r（Tt）=SI f=SI Ke-r（Tt） （4.5） 公式（4.5）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值

43、之差。或者說(shuō)，一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和I+Ke-r（Tt）單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。 例4.4 假設(shè)6個(gè)月期和12個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為9%和10%，而一種十年期債券現(xiàn)貨價(jià)格為990元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為1001元，該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到$60的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價(jià)值。 根據(jù)已知條件，我們可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值：I=60e-0.09×0.5+60e-0.10×1=111.65元 根據(jù)公式（4.5），我們可算出該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：f=990111.651001e-0.

44、1×1=$27.39元 相應(yīng)地，該合約空頭的價(jià)值為27.39元。 根據(jù)F的定義，我們可從公式（4.5）中求得： F=(SI)er（Tt） （4.6） 這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)公式。公式（4.6）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。 例4.5 假設(shè)黃金的現(xiàn)價(jià)為每盎司450美元，其存儲(chǔ)成本為每年每盎司2美元，在年底支付，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為7%。則一年期黃金遠(yuǎn)期價(jià)格為：F=(450I)e0.07×1 其中，I=2e-0.07×1=1.865，故：F=(450+1.865)×e0.07=484.6美元

45、/盎司 我們同樣可以用反證法來(lái)證明公式（4.6）。 首先假設(shè)F>(S-I)er（Tt），即交割價(jià)格高于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。這樣，套利者就可以借入現(xiàn)金S，買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)，并賣(mài)出一份遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)為F。這樣在T時(shí)刻，他需要還本付息Ser（Tt），同時(shí)他將在Tt期間從標(biāo)的資產(chǎn)獲得的現(xiàn)金收益以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出，從而在T時(shí)刻得到Ier（Tt）的本利收入。此外，他還可將標(biāo)的資產(chǎn)用于交割，得到現(xiàn)金收入F。這樣，他在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)F(SI)er（Tt）。 其次再假設(shè)F<(S-I)er（Tt），即交割價(jià)格低于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。這時(shí)，套利者可以借入標(biāo)的資產(chǎn)賣(mài)掉，得到現(xiàn)金收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出，同時(shí)買(mǎi)入一份交

46、割價(jià)為F的遠(yuǎn)期合約。在T時(shí)刻，套利者可得到貸款本息收入Ser（Tt），同時(shí)付出現(xiàn)金F換得一單位標(biāo)的證券，用于歸還標(biāo)的證券的原所有者，并把該標(biāo)的證券在Tt期間的現(xiàn)金收益的終值Ier（Tt）同時(shí)歸還原所有者。這樣，該套利者在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)(ST)er（Tt）F。 從以上分析可以看出，當(dāng)公式（4.6）不成立時(shí)，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，套利者的套利行為將促成公式（4.6）成立。三、支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià) 支付已知收益率的資產(chǎn)是指在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格成一定比率的收益的資產(chǎn)。外匯是這類(lèi)資產(chǎn)的典型代表，其收益率就是該外匯發(fā)行國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。股 價(jià)指數(shù)也可近似地看作是支付已知收益率的

47、資產(chǎn)。因?yàn)殡m然各種股票的紅利率是可變的，但作為反映市場(chǎng)整體水平的股價(jià)指數(shù)，其紅利率是較易預(yù)測(cè)的。遠(yuǎn)期利率協(xié) 議和遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議也可看作是支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。 為了給出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，我們可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合： 組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金； 組合B：e-q（Tt）單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。 顯然，組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。組合B擁有的證券數(shù)量則隨著獲得紅利的增加而增加，在時(shí)刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。因此在t時(shí)刻兩者的價(jià)值也應(yīng)相等，即： （4.7）公式（4.7）表明，

48、支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于e-q(T-t)單位證券的現(xiàn)值與交割價(jià)現(xiàn)值之差。或者說(shuō)，一單位支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由e-q（Tt）單位標(biāo)的資產(chǎn)和Ke-r（Tt）單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。 根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可根據(jù)公式（4.7）算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格： （4.8） 這就是支付已知紅利率資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)公式。公式（4.8）表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與已知收益率之差計(jì)算的現(xiàn)貨價(jià)格在T時(shí)刻的終值。例4.6 A股票現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是25美元，年平均紅利率為4，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10，若該股票6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為27美元，求該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值及遠(yuǎn)期價(jià)

49、格。 所以該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為1.18美元。其遠(yuǎn)期價(jià)格為： 4.3 遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)模型目前，理論界對(duì)于遠(yuǎn)期與期貨合約的定價(jià)模型主要有兩大類(lèi)，一是持有成本模型（cost-of-carry model），即遠(yuǎn)期價(jià)格（或期貨價(jià)格）取決于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格以及從當(dāng)前時(shí)刻儲(chǔ)存該標(biāo)的資產(chǎn)直到遠(yuǎn)期（或期貨）合約交割日這段期間內(nèi)的總成本。二是風(fēng)險(xiǎn)收益模型，又稱(chēng)為預(yù)期模型（expectations model），即當(dāng)前的遠(yuǎn)期價(jià)格（或期貨價(jià)格）等于市場(chǎng)預(yù)期的該合約標(biāo)的資產(chǎn)在合約交割日的現(xiàn)貨價(jià)格。前者主要適用于可持有性資產(chǎn)（carryable assets），后者則主要適用于不可持有性資產(chǎn)（non-carryable assets）。以下分析中，對(duì)期貨合約的定價(jià)同樣適用于遠(yuǎn)期合約。一、持有成本模型（一）完全市場(chǎng)假設(shè)下的期貨定價(jià) 1投資性資產(chǎn)期貨合約的定價(jià) 期貨合約和遠(yuǎn)期合約都是在交易雙方約定在將來(lái)某一時(shí)間按約定的條件買(mǎi)賣(mài)一定數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的合約。因此，一般來(lái)說(shuō)，在未來(lái)的T時(shí)刻要獲得一單位標(biāo)的資 產(chǎn)的方法可以有以下兩種：一是在當(dāng)前時(shí)刻（即t時(shí)刻）買(mǎi)入一