1、應用題(每題10分)1、設f(x)在(_g,8)上有定義且不恒為零，又f'(x)存在并對任意x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),求f(x)。2、設F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(產)內滿足以下條件f(x)=g(x),g(x)=f(x),f(0)=0,f(x)g(x)=2ex(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達式。3、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f(x)=j：fjdt+e2x,求f(x)。4、已知函數(shù)f(x)在(0,)內可導，f(x)>0,limf(x)=1,且滿足x,：him01f(xhx)hf"()1=ex)，

2、求f(x)。5、設函數(shù)f(x)在(0,+w)內連續(xù)，f(1)=5,且對所有x,tw(0,)，滿足條件2xtxtJ1f(u)du=t(f(u)du+x(f(u)du,求f(x)。16、求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿足J。f(tx)dt=f(x)+sinx-x。.xf(t)7、已知可微函數(shù)f(t)滿足3W一Ldt=f(x)1,試求f(x)o1t3f(t)-t2x18、設有微分方程y'-2y=(x)其中中(x)。試求在(血產)內的連續(xù)函0x1數(shù)y=y(x)使之在(g,1)和(1,收)內部滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0。-172i-c,、-3、9、設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，一，其

3、上任一點P(x,y)處的法線與y軸的I22)交點為Q,且線段PQ被x軸平分。(1)求曲線y=f(x)的方程；y=y(x),使得由曲線y=y(x)與直線x軸旋轉一周的旋轉體體積最小。(2)已知曲線y=sinx在0,n上的弧長為l,試用l表示曲線y=f(x)的弧長s。10、求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一個解x=1,x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞11、設曲線L位于xOy平面的第一象限內，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為a,已知|MA|=|OAj,且L過點'-,-i,求L的方程。2212、設曲線L的極坐標方程為r=r(e),M(rQ)為L上任一點，M0(2,0)為L上一

4、定點,若極徑OMo,OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上Mo,M兩點間弧長值的一半，求曲線L的方程。13、設y1=乂和y2=xlnx是二階齊次線性方程y"+p(x)y+q(x)y0勺兩個解，求p(x),q(x)以及該方程的通解。14、設對任意x>0,曲線y=f(x)上點(x,f(x)勉的切線在y軸上的截距等于1x,-J。f(t)dt，求f(x)的一般表達式。15、設函數(shù)f(x),g(x)滿足f'(x)=g(x),g'(x)=2exf(x),且f(0)=0,g(0)=2,求二幽.f(x)0|1x(1x)2dx。16、設函數(shù)y=y(x)在(,收)內具有二階導數(shù)

5、，且y'#0,x=x(y)是y=y(x)的反一,工、一a、井口山八，八、十口d2x'，dx"、a、，函數(shù)。(1)試將x=x(y)滿足的效分方程2十(y+sinx)=0,變換為y=y(x)dy<dy；所滿足的微分方程；3(2)求變換后的微分萬程滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=的解。2x17、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足ff(tx)dt=x4+f(x)f(t)dt，求f(x).UxU1x21x解：設u=tx,則原式化為一Jf(u)du=x+f(x)-一1f(t)dtx0x0x即2dt=x3+xf(x)由f(x)連續(xù)知上式右端可導即f(x)可導一，-_1所求

6、函數(shù)為對上式兩端關于x求導，得一階線性方程f'(x)-f(x)=-3xx1dxf(x)=ex(-3xe1dx2xdx+c)=cx3x2c為任意常數(shù)18、.對于任意簡單閉曲線l,恒有22xyf(x2)dx+f(x2)-x4dy=0L其中f(x)在(D有連續(xù)的導數(shù)，且f(0)=2.求f(x).19、設f(x)滿足f'(x)=f(1-x)，求f(x)x20、設中(x)=ex(x-u)邛(u)du淇中或x)為連續(xù)函數(shù)，求/x)21、人工繁殖細菌，其增長速度和當時的細菌數(shù)成正比。(1)如果4小時的細菌數(shù)為原細菌數(shù)的2倍，那么經(jīng)過12小時應有多少？44(2)如在3小時的時候，有細菌數(shù)10個

7、，在5小時的時候有4x10個，那么在開始時有多少個細菌？應用題答案1、解：首先從導數(shù)定義出發(fā)，證明f(x)處處可微，并求出f(x)與f'(x)滿足的關系，最后定出f(x)。由于f(x)不恒為零，設f(%+0)00,因而f(x)=f(x+0)=f(0x)f(0)f(0)=1又由f'(0)存在，對任意x有f'(x)=叫f(xlx)-f(x)lxf(x)f(：x)-f(x)二x:limf(x)fGx)7一0xf(x)f(0)df由此可見f(x)處處可微且滿足f'(x)=f(x)f'(0)即=f'(0)dxf解得f(x)=cef'(0)x又由“0

8、卜1所以f(x)=ef，(0)x2、解：(1)F(x)=f'(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x)=f(x)g(x)2-2f(x)g(x)=(2e2)2-2F(x)于是F(x)滿足一階線性微分方程y'+2y=4e2x(2)按一階線性微分方程的通解公式，F(xiàn)(x)=e1即'j4e2x£的)*+C)=e,x4e4xdx+C)=e2x十Ce“x由F(0)=f(0)g(0)=0得C=1,曰l/2x2x于F(x)=e-e.3、解：方程兩端同時對x求導，得到f'(x)=3f(x)+2e2x由題設知道f(0>0e°=。1一入0y-3y

9、-2e2x故令f(x)=y即得yM與=13dxe.22x_3dx3xc.cB3xc2xy=eL|Ci2eedx二e|C12edx=Ce-2e由yx=1得到c=3是f(x)=3e3x-2e2x.4、解：設y=f(x+hx)f(x)/lny=1因為阿nyim0h1nf(xhx)故眄0由已知條件得f(xhx)f(x)xlnf(x)ef(x)1、h1ex，,f僅hx)ln.f(x)xlnf(x-hx)-lnf(x)xlnx(')ehx=xlnf(x)',一.1因此xlnf(x)'=一,即lnx1f(x)2.x1解之得f(x)=Ce%。5、解:由limf(x)=1,得XJ,二=1

10、。由題意可知，等式的每一項都是x的可導函數(shù)，于是等式兩邊對tx求導，得5ttf=t+J1f(u)du,(2)tf(xt)=tf(x)f(u)du5在(1)式中令x=1,由f(1)=一,得2f(t)是(0,+s)內的可導函數(shù)，(2)式兩邊對t求導，得f(t)tf吟f(t)f'(t)o2t上式兩邊求積分，得5f(t)=TntC2f(1)=是f(t)=a(ln1)26、解:令u=tx,du=xdt,原方程變?yōu)?x；0f(u)du兩邊求導數(shù)，得到f(x)=f(x)xf(勾2xsinxxcoxf'(x)=-2sinx-xcosx積分得f(x)=2cosx-xdsinx=2cosx-xsi

11、nxcosxC=cosx一xsinxC.7、解：首先從題設可求得f(1)=1,方程兩邊求導得3f(x)=f'(x).x3f(x)x記y=f(x)y'=Fy一考慮x3yxx=x(y),方程可化為伯努利方程dx13-x=xdyyxL1令u=x?du-2x,dxdu21一udyy變量還原得-2dyTC+J-22dye"dy。-常-3y或者f2(x)23f3(x)=C.x3又因為f(1)=1,代入上式可得C=53-2_f(x).235f(x)=1.x338、解:當x<1時，y'2y=22dx_2dxy=eC12ey(0)x1=0代入得C1=1時y'_2y

12、=0,2xdx=e所以I2exdx=C1e2x-1x：1y=ex-1(x：二1)通解為y=c?edx_2x=C2e處y(x)是連續(xù)的(x1)limC2e2x=C2e2=lim(e2-1)=e-1.x：10x1-0所以22C?e-e-1是若補充函數(shù)值C2=1-e2.x+=e2-1，則得到(-00,00)上連續(xù)函數(shù)是所求的函數(shù)e2x-1y(X)2、2x(1-e)e是所求的函數(shù)。9、解：(1)曲線y=f(x)在點P(x,y)處的法線方程為丫-y1.-(X-x)，其y(X,Y)為法線上任意一點的坐標，令X=0,則x丫=y+一,y1一一一.一一、，-X1,X-故Q點坐標為0,y+。由題設知y+y+=0,

13、即2ydy+xdx=0。'、.一yJy'積分得X2+2y2=C(C為任意常數(shù))。,122由y2=一知C=1,故曲線y=f(x)的萬程為x+2y=1(x20,y±0)。f2(2)曲線y=sinx在0,冗上的弧長為H1=22、.1cos2xdx.-0曲線y=f(x)的參數(shù)方程為x=cos,y=sinJ2ji0£UM,2故其弧長為s=J2Jsin28+1cos26d日0222Jsin2dl-0(令日號-1)2，一cost(-dt)1=2Ho2Jcos2di10、解：原方程可以改寫為一階線性方程2dx應用其通解公式得y=exdy2d1y=-1,dxx-dx-exdx

14、'xC-dx=Cx2x由y=Cx2+x,x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體,一,2n0,31。157、體積為V(C)=J兀(x+Cx2)2dx=nlC2+C+'1(523)由V'(C)=n162C+*=0解得駐點C0=q"由于V''(C)=%n>0,故52124575752Co=-是唯一的極小值點，因而也是最小值點，于是得所求曲線為y=x-x2。12412411、解：設點M的坐標為由切線MA的方程為Y-y=y'(X-x)令X=0,則Y=y-xy',故點A的坐標為(0y-xy')由|MA|=

15、|OA,|有|y-xy'|=.(x-0)2(y-yxy')2一一，r19化間后彳導2yy'y=-x。x八2/曰dzz令z=y,得一一=一x。dxxdx(-r1dx)解得z=exJxexdx+C=x(x+C)。IJ即y2=-x2+Cx。由于所求曲線在第一象限內，故y-qCx一x2。再以條件y|31=3i代入得c=3。于是曲線方程為22y=3x-x2(0：x:3),12、解：由已知條件得-r2d9=%r2+r'd6,2020兩邊對6求導得r2=Jr2+r'2,即r'=±rJr2-1,dr,.從而一f=：±d8。rr2-1一，dr1

16、1.因為fj=-arcsi-n+C，所以arcsin-+C=土日r.r2-1rr冗jA由條件r(0)=2,知C=二，故所求曲線L的方程為rsin二,81=66丁13、解：由.1.一-y；=1,y1=0,y2=lnx+1,y2=一；分別代入方程得到xp(x)xq(x)=0p(x)(lnx1)q(x)xlnx曰1r1(1)M|nx(2)得一p(x)=即p(x)=一xx1.1把p(x)=代入(1)式得q(x)=xx.1.1所以原方程為y-1yJ2y=0xx又由于y/y2=lnx不為常數(shù)，必，丫2是齊次方程的基本解組原方程的通解為y=Gx+c2xlnx。14、解：曲線y=f(x)上點(x,f(x)處的

17、切線方程為過令X=0,得截距Y=f(x)xf'(x)。Y-f(R=f'(x)(Xx)由題意，知x10f(t)dt=xf(x)xf'(x),上式對x求導，化簡得xf"(x升f'(汨，0即(xf'(x)4O0dx積分得xf'(x>C因此f(x)=Glnx+C2(其中Ci,C2為任意常數(shù))于是有15、解：(解法一)由是f'(x)=g(x)得f"(x)=g'(x)=2ex-f(x),J_xf"(x)+f(x)=2e,<f(0)=0,解之得f(x)=sinx-cosx+ex。f'(0)=2,

18、dx(1x)產rg(x)_f(x):rng(x)(1+x)f(x)0|t1x-(1x)2-0(1x)2二二f(x)一01x二-f'(x)(1x)；f(x)dx0(1x)2(解法二)同解法，得f(x)二_f(二)1x01二-f(0)f(x)=sinx-cosxex；普)dx-普dx(x)d出-S*dxf(-)1二1ex-”0);警01x由此得到代入原微分方程得(2)方程y-y=0設方程(*)的特解為dx1_,dx,16、解：(1)由反函數(shù)的求導公式=一得y=1。dyy'dydxd2xc兩端關于x求導，得y2+d4(y)2=0dydy2dxd2x=dyytydy2(y)2(y)3(

19、*)y"y=sinx。的通解為Y=C1ex,C2e。y=Acosx+Bsinx,1 1代入方程(*)求信A=0,B=,故y=sinx,2 21從而方程(*)的通斛是y=C1e+C2e-sinxo2,.3由y=°,y得clig-1。故所求值問題的解為x_x1.y=e-esinx。2-,121X.17、解：設u=tx,則原式化為一1f(u)du=x2+f(x)ff(t)dtx0x0x3對上式兩端關于x求導，得一階線性方程一.1一f(x)f(x)-3xxc為任意常數(shù)所求函數(shù)為即2If(t)dt=x3+xf(x)由f(x)連續(xù)知上式右端可導即f(x)可導|ldxJ.dxf(x)=ex(-3xexdxc)=cx-3x18、解：根據(jù)積分與路徑無關的充要條件有一l?xyf(x)1二一If(x二)-x-1.y二x即2xf(x2)="(：)2x-4x3或，(x)-f(x2)=2x2二x二x設x2=tf9-f(t)=2tdt-2e，c由一階線性方程的求解公式有f(t)=e'"ii2te'&qu