1、二階系統：二階系統：靈敏度歸一化后有：)()(dd2dd2n2nn22txtytyty2典型二階測量系統的頻率響應典型二階測量系統的頻率響應 典型二階測量系統的微分方程通式為)()(d)(dd)(d001222txbtyattyattya式中 測量系統的固有圓頻率， 測量系統的阻尼比系數， 20naa2012aaan典型例：圖所示彈簧質量阻尼系統其微分方程為)()(dddd22tkxtkytyctym改寫為 )()(dd2dd2n2nn22txtytyty傳遞函數： 2nn22n2)(sssH2nn1( )12jH2n222n)(4)(1 1)(A2nn)(1)(2arctan)(頻率響應函數

2、 ：幅頻特性 ：相頻特性 ：圖2-15二階系統頻譜特性（1） 1， 時， ，幅頻特性平直，輸出與輸入為線性關系； 很小， 與 為線性關系。n1)(A)()( 系統的輸出y(t)真實準確地再現輸入x(t)的波形，這是測試設備應有的性能。 結論：為了使測試結果能精確地再現被測信號的波形，在傳感器設計或測量系統設計時，必須使其阻尼比 1，固有圓頻率 至少應大于被測信號頻率 的（35）倍，即 (35) 。nn 為減小動態誤差和擴大頻響范圍，一般應提高測量系統的固有頻率 ，提高 是通過減小系統運動部分質量和增加彈性敏感元件的剛度來實現的（ ）。但剛度k增加，必然使靈敏度按相應比例減小。 nnmkn（2）

3、阻尼比 是測量系統設計和選用時要考慮的另一個重要參數。 1，為欠阻尼； =1，為臨界阻尼； 1，為過阻尼。一般系統都工作于欠阻尼狀態 3、測試系統對典型激勵的響應函數（1）單位脈沖輸入下系統的脈沖響應函數 單位脈沖函數(t)，其傅立葉變換()=1。同樣，對于(t)的拉氏變換(s)=L(t)。因此，測試裝置在激勵輸入信號為(t)時的輸出將是Y(s)=H(s)X(s)=H(s)(s)=H(s) 。對Y(s)作拉普拉斯反變換可得裝置輸出的時域表達 h(t)為稱裝置的脈沖響應函數或權函數。 thsYLty1對于一階慣性系統，其傳遞函數 可求得它們的脈沖響應函數 圖2-13一階慣性系統的脈沖響應函數 1

4、1( )1111( )( )1tH sssh tLH Se對于一個二階系統 ，其傳遞函數為 則可求得其脈沖響應函數 (欠阻尼情況,1) 12122nnsssH tethntnn221sin1圖2-18二階系統的脈沖響應函數 公式中所應用的單位脈沖函數在實際中是不存在的，工程中常采取時間較短的脈沖信號來加以近似。比如給系統以短暫的沖擊輸入，其沖擊持續的時間若小于/10，則可近似認為是一個單位脈沖輸入。 精確的和近似的脈沖響應 系統對任意激勵信號的響應是該輸入激勵信號與系統的脈沖響應函數的卷積。根據卷積定理，上式的復數域表達式則為)(*)()(thtxty)()()(sHsXsY（2）、單位階躍輸

5、入下系統的響應函數 111,( )1( )1(0)( )0(0),1( )( )( )( )1111111111()11( ) ( )1tth teH ssx ttx ttX ssY sH s X ss sssabssssy tLY Se 求一階系統單位階躍響應一階系統脈沖響應函數及傳遞函數單位階躍函數單位階躍函數拉氏變換單位階躍響應拉氏變換反拉氏變換得：單位階躍響應圖2-20一階系統對單位階躍輸入的響應 當時間t=4，y(t)=0.982，此時系統輸出值與系統穩定時的響應值之間的差已不足2%，可近似認為系統已到達穩態。v一階裝置的時間常數應越小越好。v階躍輸入方式簡單易行，因此也常在工程中采

6、用來測量系統的動態特性。 二階系統單位階躍響應2n22nn22222( )21( )( )( )( )( )1sin( 1)11arctanntnH sssX ssY sH s X sey tt 二階系統傳遞函數單位階躍函數拉氏變換單位階躍響應拉氏變換反拉氏變換得：單位階躍響應圖2-21二階系統對單位階躍的響應 小結： 階躍響應函數方程式中的誤差項均包含有因子e-AT項，故當t時，動態誤差為零，亦即它們沒有穩態誤差。但是系統的響應在很大程度上取決于阻尼比和固有頻率n， n越高，系統的響應越快，阻尼比直接影響系統超調量和振蕩次數。 v當1時，若選擇在0.60.8之間，最大超調量約在2.5%10%

7、之間，對于5%2%的允許誤差而認為達到穩態的所需調整時間也最短，約為(34)/ n 。因此，許多測量裝置在設計參數時也常常將阻尼比選擇在0.60.8之間。 （3）單位斜坡輸入下系統的響應函數單位斜坡函數一階系統單位斜坡響應傳遞函數為 一階系統的單位斜坡響應為v系統的輸出總滯后于輸入一個時間 ，因此系統始終存在有一個穩態誤差。特別：輸入： 則響應：系統的輸出滯后于輸入一個時間。單位斜坡函數一階系統的單位階躍響應 000tttt tetty1 112sssY 000ttktt 1ty tk te二階系統的斜坡輸入響應為 ：欠阻尼情況：其中其傳遞函數為：二階系統斜坡響應 tettynntnn221s

8、in121212arctan22 22222nnnssssY2.4測試系統對任意輸入的響應輸入信號x(t)，可將其用一系列等間距劃分的矩形條來逼近。則在k時刻的矩形條的面積為x(k) 。若充分小，則可近似將該矩形條看作是幅度為x(k)的脈沖對系統的輸入。而系統在該時刻的響應則應該為x(k)h(t- k)。在上述一系列的窄矩形脈沖的作用下，根據線性時不變系統的線性特性，系統的零狀態響應為 圖 任意輸入x(t)的脈沖函數分解 0)()()(kkthkxty在在t=nt=n 時刻，窄條脈沖引起的響應為時刻，窄條脈沖引起的響應為: : x(x(n n ) ) h(t- h(t- n n ) )tx(n

9、) h(t- n)0各脈沖引起的響應之和即為輸出各脈沖引起的響應之和即為輸出y(t)y(t)0( )()()ny tx nh tn ty(t)0當0（即k），對上述式子取極限得 上述推導過程亦即卷積公式的另一種推導過程。將上式寫為上式表明，系統對任意激勵信號的響應是該輸入激勵信號與系統的脈沖響應函數的卷積。根據卷積定理，上式的頻域表達式則為000)()()()(lim)(dthxkthkxtyk)(*)()(thtxty)()()(sHsXsY( )( );( )( );( )* ( )( )( );LTLTLTh tH sx tX sh tx tH s X s 如果如果則則方法為：先求拉氏變

10、換，后求方法為：先求拉氏變換，后求拉氏反變換。拉氏反變換。)(*)()(txthty( )( )( )Y sH s X s1( ) ( )y tLY s卷積分的傅立葉變換計算法：卷積分的傅立葉變換計算法：x(t)h(t)y(t)輸入量輸入量系統特性系統特性輸出輸出表：一階和二階系統對各種典型輸入信號的響應上表中21221()()1dnarctgarctg一階系統階躍響應例子 例：一階溫度計時間常數為6秒，在75oC時突然將其承受一個從75oC-300oC的階躍溫度變化，求在過程開始后10秒溫度計顯示的溫度。解：溫度方程一階系統階躍響應開始時溫度為75oC考慮到初始溫度的解為：10秒時度計顯示溫

11、度為：61606106d ( )6( )(30075)225d( )225(1)( )225(1)( )75225(1)(10)75225(1)257.5()tttoT tT ttT teT tTeT teTec 例：上例中，變成在300oC時突然將其承受一個從300oC-75oC的階躍溫度變化，求在過程開始后10秒溫度計顯示的溫度。解：溫度方程開始時溫度為300oC考慮到初始溫度的解為：溫度計顯示溫度為：606106d ( )6( )(75300)225d( )225(1)( )300225(1)(10)300225(1)117.5()ttoT tT ttT tTeT teTec 一階系統頻

12、率輸入響應例子例：一階溫度計時間常數為10秒，測量在75oC-300oC之間按余弦函數形式變化的氣體溫度，周期為20秒，求溫度計顯示的溫度?如果要求溫度計顯示的溫度精確到真實溫度的99%，此時的時間常數為多少？解：溫度計輸入：要測穩態輸出，所以187.5是常數，只影響初始條件，不是階躍因此溫度方程輸入為余弦：幅頻特性及輸出幅值：相位差，時間滯后：考慮初始條件的穩態輸出方程：精確到99%的時間常數：02(30075)(30075)2( )cos()22202187.5 112.5cos()20d ( )210( )112.5cos()d202111()112.5*34()203.33.321 (

13、10*)20272.3arctan(10*)72.3( )*204( )20360( )187.534cos(72.310ioT tttT tT tttAcsT tt2)10.99,0.4521 ( *)20os應用：傳遞函數的測量應用：傳遞函數的測量(正弦波法正弦波法) 依次用不同頻率依次用不同頻率f fi i的簡諧信號去激勵被測系的簡諧信號去激勵被測系統，同時測出激勵和系統的穩態輸出的幅值、相統，同時測出激勵和系統的穩態輸出的幅值、相位，得到幅值比位，得到幅值比A Ai i、相位差、相位差ii。 依據：頻率保持性依據：頻率保持性 若若 x(t)=Acos(t+x) x(t)=Acos(t+

14、x) 則則 y(t)=Bcos(t+y)y(t)=Bcos(t+y)優點：優點：簡單，簡單，信號發生器，信號發生器，雙蹤示波器雙蹤示波器缺點：缺點：效率效率低低 從系統最低測量頻率從系統最低測量頻率fminfmin到最高測量頻率到最高測量頻率fmaxfmax，逐，逐步增加正弦激勵信號頻率步增加正弦激勵信號頻率f f，記錄下各頻率對應的幅，記錄下各頻率對應的幅值比和相位差，繪制就得到系統幅頻和相頻特性。值比和相位差，繪制就得到系統幅頻和相頻特性。 脈沖響應函數測量脈沖響應函數測量 若裝置的輸人為單位脈沖若裝置的輸人為單位脈沖(t)(t)，因，因(t)(t)的的傅立葉變換為傅立葉變換為1 1，有：

15、，有： Y(S)=H(S)Y(S)=H(S)，或，或y(t)=Fy(t)=F-1-1H(S)H(S)優點：優點：直觀直觀缺點：缺點：簡單系統識別簡單系統識別記為記為h(t)h(t)，稱它為脈沖響應函數。，稱它為脈沖響應函數。 H(S)固頻、阻尼參數固頻、阻尼參數傅立葉傅立葉變換變換案例案例: :橋梁固有頻率用橋梁固有頻率用脈沖脈沖響應函數測量響應函數測量 原理：在橋中設置一三角形障礙物，利用汽車礙時的沖擊對橋梁進行激勵，再通過應變片測量橋梁動態變形，得到橋梁固有頻率。階躍響應函數測量階躍響應函數測量 若系統輸入信號為單位階躍信號，即若系統輸入信號為單位階躍信號，即x(t)=u(t)x(t)=u(t)，則則X(s)=1/sX(s)=1/s，此時，此時Y(s)=H(s)/sY(s)=H(s)/sH(S)時域波形參數識別時域波形參數識別階躍響應函數測量階躍響應函