1、如何用教材習題培養學生的思維品質宣漢縣土黃鎮三勝中心校 艾華摘要本文淺談關于中學數學教學，如何用教材中的練習題來培養學生良好的思維品質關鍵詞深刻性創造性 廣闊性突發性在數學教學中，如何充分利用教材的潛在功能，培養學生良好的思維品質，是廣大教育工作者值得思考的一個問題。本文以初三代數教材中的一道習題為例，談談自己的一點粗淺看法。題目：已知一元二次方程的兩有理根之比為2:3，求證：（人教版初中代數第三冊P76練習題）。一、 縱橫滲透，培養學生的廣闊性思維的廣闊性，即思維的廣度，是指善于運用自己所學知識全面地分析問題，多角度、多層次地解決問題。數學思維活動表現為能發掘數學問題的實質，抓住其基本特征，

2、同時不放過其中有意義的細節與特殊因素，進行多方面的思考，找出解決問題的多種方法。 愛因斯坦曾說過：“解決一個問題好比是在干草堆中尋針，別人往往尋找到一根針時就停止不再去費力尋找了，但我自己（愛因斯坦）卻會尋片干草堆中的所有藏針，不達最終目的決不放手”。一題多解是在數學中培養學生思維廣闊性最常見的途徑。對于上題，教師可以引導學生積極思考，用多種方法給予證明。并通過討論和交流，從中鑒別各種方法的作用與最佳方法，并通過各種方法引導學生認識解題的核心問題和共同本質。證法一：設、是方程的兩根，由題意知：將、代入方程中,則有由(2)(1)得：將代入（1）式得：首先設方程的兩根，根據已知條件，引入一個參數來

3、表示、，再將、代入方程中，解出參數，再將參數代入式子中，得出證明結論。證法二：設、是方程的兩根,由題意知： ，由于、是方程的兩根,則有將代入(1)式,整理得： (3)由(2)、(3)得： 即 此種證法是一般的證法，就是根據已知條件中的兩根之比為2:3，這樣兩根之間建立起聯系得，又因為、是方程的兩根，代入方程中得到結論。 證法三：設、是一元二次方程的兩有理根，且，由韋達定理有： （1） （2）將代入（1）式得：，則有將、代入（2）式得： 則有 此種證法是是運用韋達定理，首先設兩根，根據兩根之間的關系，用、把、表示出來，再代入中，得到結論。運用韋達定理解題，不管是初中還是高中都是考察的熱點。證法四

4、：設、是一元二次方程的兩根,由求根公式有：即：由題意知，且 此種證法是根據求根公式來證明，首先用求根公式，把、表示出來，再根據已知、的比例關系，得出結論。 證法五：設、是一元二次方程的兩根, 由韋達定理有： 若結論成立，即有，則有 或 、是任意取的 此題證明方法是很多的。此種證法是打破了常規思維，從結論入手，來證條件是否成立。從反面入手來解題，使同學們收到意想不到的效果。在教學中，引導學生運用公式、定理、法則進行正反兩方面解題，對培養學生的思維能力將起到很大的作用。二、靈感與想象、探索，培養學生思維的創新性和創造性 1、思維的創新，是創造者在強烈的創新意識下，借助于想象與聯想，直覺與靈感，以漸

5、近或突發性飛躍形式使頭腦中已有的信息重新組合，從而形成有社會價值的新觀點、新理論、新方法、新設想的思維過程。至今人們所傳說的高斯求和，曹沖稱象都是他們別出心裁，獨巨匠心的新思維的具體體現。對于上題，證完后不能至此結束，我們對它的數量，結論與已知，自變量的個數進行一些變化，使之變成一道新題。即讓學生的思維由“山窮水盡”走向“柳暗花明”。下面是經過同學們討論和交流后的幾道新題。新題一：已知一元二次方程的兩有理根之比為2:3，試討論、之間的關系。此題是在原有命題條件相同的情況下，推出不同形式的各種討論，以深化學生對數學命題、概念、性質的理解，并且拓寬學生的知識面。新題二：已知、是一元二次方程的兩不等

6、有理根，且，試討論、之間的關系。新題三：已知一元二次方程的兩有理根之比為，且、是不等于零的常數,試討論、之間的關系。新題是對原命題的推廣，把條件進行相似變換，即在條件元素的數量上或維數進行推廣。學生數學思維品質與能力的差異也表現在解題之后能否將思維結果推廣與應用。2、思維的創造性，即思維的創新程度，是指導思考問題和解決問題的方式，方法或結果的新穎、獨特所具有的創造性。他主要表現在學生在學習過程中發現矛盾、提出問題，并能獨立地思索、分析、解決問題。教師要引導學生勇于探索，培養學生思維的創造性。對于此題，如果證完后到此結束，則這道題的潛在功能沒有充分的挖掘出來。教師要引導學生大膽猜想、大膽創新，就

7、會得到一些有用的結論。結論一：若一元二次方程的兩有理根之比為,則 結論二：若一元二次方程有兩個且不為0的有理根，系數、之間的關系為且，則方程的兩根之比為或（）二、 解題結果的應用，培養學生思維的深刻性思維的深刻性，表現在善于抓住事物的規律和本質，深入的思考問題，把思維對象的本質屬性結實出來，使我們的思維能力進一步地深化和提高。對一數學命題的結果的應用，既是對學生創新思維的挑戰，也有利于學生思維深刻性的培養。例1：用長為100cm的金屬絲制成一個矩形框子，框子各邊的長取多少cm時框架子的面積是625cm2。分析：設長為，寬為，根據題目已知條件可以得，。由一元二次方程根與系數的關系數的關系，設一元二次方程為，由結論，。解：設矩形的長為，寬為，有由與的關系可設方程，、是方程的兩根，根據前面的結論有，可得與的關系為解得例2：如圖，在中，點P從點A開始沿AB邊向點B以的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，幾秒后的面積等于？分析：首先設時間為秒，由題目已知條件得方程，再由結論解得方程的兩根。解：設P、Q分別從A、B同時出發秒后，的面積為，由題目條件知：即若、是一元二次方程的兩根，由結論得，得與關系為或又因所以或教師在教學中，對教材的練習題，要進行深入地研究，充分挖掘練習題的潛力，將以新的姿態展示在我們面前。這樣既可避免“題海戰術”，又有利于學