1、第五章第五章 不定積分不定積分微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運算互逆運算第一節第一節 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念二、二、 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義三、不定積分的基本性質三、不定積分的基本性質一、一、 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念引例引例: 一個質量為一個質量為 m 的質點的質點,的作tAFsin下沿直線運動下沿直線運動 ,).(tv因此問題轉化為因此問題轉化為:已知已知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在變力在變力試求質點的運動速度試求質點的運動速度根據牛頓第二定律根據牛頓第二定律, 加速度加速度mFta )(

2、tmAsin 定義定義 1 . 若在區間若在區間 I 上定義的兩個函數上定義的兩個函數 F (x) 及及 f (x)滿足滿足)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 或或在區間在區間 I 上的上的一個一個原函數原函數 .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函數有的原函數有 ,cos tmA , 3cos tmA一、一、 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念問題問題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個函數的原函數存在一個函數的原函數存在 ?2. 若原函數存在若原函數存在, 它如何表示它如何表示 ?初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上連

3、續初等函數在定義區間上有原函數初等函數在定義區間上有原函數.)(,)(的的原原函函數數一一定定存存在在則則在在此此區區間間上上在在某某區區間間上上連連續續如如果果函函數數xfxf結結論論.,)()(,)()(1 . 5為任意常數為任意常數其中其中的原函數的原函數也是也是則則的一個原函數的一個原函數是是如果如果定理定理CxfCxFxfxF .)(,)(,多多個個原原函函數數就就有有無無窮窮那那么么有有一一個個原原函函數數如如果果這這說說明明xfxf.)()(,)()()(2 . 5為常數為常數它們的差它們的差則則的原函數的原函數都是都是和和如果如果定理定理xGxFxfxGxF .)()(只只相相

4、差差一一個個常常數數與與這這說說明明xFxG,( )( ),( )( ),( )( ).F xf xF xCf xf xF xC 因因此此 當當為為的的一一個個原原函函數數時時 一一方方面面都都是是的的原原函函數數 另另一一方方面面的的其其它它原原函函數數都都可可以以表表示示成成.)()(,的的任任意意一一個個原原函函數數就就可可以以表表示示表表達達式式為為任任意意常常數數時時當當xfCxFC ( ),f x 的的全全體體原原函函數數所所組組成成的的集集合合 就就是是函函數數族族 CCxF)(的的稱稱為為為為任任意意常常數數原原函函數數的的全全體體則則的的一一個個原原函函數數為為設設定定義義)

5、()()()(,)()(2 . 5xfCCxFxfxfxF ,不不定定積積分分若若, )()(xfxF 則則( ),f x dx記記為為.)()(CxFxxfd積分號積分號被被積積函函數數積分變量積分變量被被積積表表達達式式C 稱稱為積分常數為積分常數不可丟不可丟 !21x dx 例例求求,)3(23xx 由于由于解解.323的的一一個個原原函函數數是是因因此此xx323xx dxC 12dxx 例例求求 xln由于由于解解,1x 1lndxxCx 2. .不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義.)(,)(,)()(積積分分曲曲線線的的一一條條稱稱為為系系上上的的一一條條曲曲線線的的圖圖形形是是

6、平平面面直直角角坐坐標標那那么么方方程程的的一一個個原原函函數數是是設設xfxFyxfxF.)(,)(,積分曲線族積分曲線族的的稱為稱為一個曲線族一個曲線族它們構成它們構成多條積分曲線多條積分曲線的無窮的無窮就可以得到就可以得到軸方向任意平行移動軸方向任意平行移動將這條積分曲線沿著將這條積分曲線沿著xfxfyOxyx例例3. 設曲線通過點設曲線通過點( 1 , 2 ) , 且其上任一點處的切線且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點所求曲線過點 ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121

7、C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (三、不定積分的性質三、不定積分的性質. 1微分互為逆運算微分互為逆運算求不定積分與求導數或求不定積分與求導數或性質性質(1)( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx 或或(2)( )( )Fx dxF xC ( )( )dF xF xC 或或,()( ),d 由由此此可可見見 微微分分運運算算與與不不定定積積分分運運算算是是互互逆逆的的.,后后差差一一個個常常數數或或者者抵抵消消或或者者抵抵消消連連在在一一起起時時與與記記號號當當記記號號d .2分號之前分號之前非零常數因子可提到積非零常數因子可提到積性質性質( )( )(0)af x dxaf x dxa).()(3差差的積分等于積分的和的積分等于積分的和差差函數和函數和性質性質 ( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx4.性性質質有有限限個個函函數數線線性性組組合合的的積積分分等等于于積積分分的的線線性性組組合合11221122( )( )( )( )( )( )nnnna fxa fxa fxdxafx dx afx dxafx dx 例例4求下列不定積分求下