1、第一章 行列式1.利用對角線法則計算卜列二階行列式：201abc(1)141(2)bca-183cab111xyx +(3)abc(4)yx+ yx222abcx+ yxy201解（1）1-4-1=2 x ( _4) x 3 +0疋(_1)工(_1) + 1 疋-1830x1x3 2X(-1)X 8 1 x (4)二-24 + 8 + 16-4二一4y1 8(-1)a b c(2) b c a = acb + bac + cba - bbb - aaa - ccccab333=3abc - a - b - c111(3)abc=bc2,22abc=(a2 + ca 2 + ab2 _ ac 2

2、 _ ba2- b)(b - c)(c - a)cb2x(4) yx十y33二 x( x y) y yx( x y) (x y)yx - y -(x y) -322333= 3xy(x y)-y -3xy-3yx-x - y - x八 2(x3 y3)2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數:(1)1234(2) 4 132 ；(3)3421(4) 2 413 ；(5)13(2n _1) 2 4(2n)；(6)13(2n _ 1)(2n)(2n _ 2)-2.解（ 1）逆序數為0（2）逆序數為4:41，43，42，32（3）逆序數為5:32，31，42，41,21（4）逆序數為3:

3、21，41，43（5）逆序數為n（n 一1）:4 45 7 az w.2 2 23 5 732T個個個1-n2 T(2n-1) 2 , (2n-1) 4 , (2n-1) 6，(2n-1) (2n-2)(n 1)個（6）逆序數為n( n - 1)3 21個5 2 , 5 42個(2n) 2 , (2n) 4 , (2n) 6，(2n) (2n-2)(n - 1)個3. 寫出四階行列式中含有因子a,a23的項. 解 由定義知，四階行列式的一般項為1）ta1pa2p2a3p3a4p4，其中 t 為 y p? P3 P4 的逆序數.由于 1,3已固定，P1P2P3P4只能形如13 口，即卩1324或

4、1342.對應的t分別為0010 = 1 或 0002 = 211a 23 a 32 a 44禾口 ana23a34a42 為所求.計算下列各行列式:2141124(2)3121123 2- abacae(3)bd一 cdde1bfcf-ef 一解I 06 2(1)41244-12-101202C2 C3120210520C4 - 7C310321-101224卡1)103-144-110991012-2C2 * C300-2=0C1 +C310314171714=02141=02141214121403-121C4 C23-122123212305062506221

5、402140幾-3-1224 A3-1221230123021400000-abacae-b cebd-cdde=adfb- cebfcf-efbc- e=0-11 1-11 1=adfbce 11-11=4abcdef1 -1-11 1-11 1a10001十aba0-1b10A + ar 2-1b100-1c10-1c100-1d00-1d5.證明:abb2(1)2a2b3=(a b)；axbyaybzazbxaybzazbxaxby=(a3b3)az2 ab22 cd2a2 a4 a(a 凰1)(a包2)2(a 3)2(b 1)(bH2)2(b3)2(c 邑1)2(cH2)2(c*)2（

6、凋1）2(dQT)2(3)21 11b cd.22b cd2.44b cd4bxbybzaxay=01 + aba01 + abaad2 -Mc3 * dc 2(-1)(-1)-1c1-1c1十cd0-1 d10 -103 -+21 + abad(-1)(-1)=abed + ab* cd + ad + 1-11 + cd-11 1-11 1=(a - b)(a - c)(a - d )(b - c)( b - d ) (c - d )(a b c d)(5)000x000x00xa2ananan2 a證明(1)左邊C2 一 C12ac3 - C1abb22b2a(-1)312b2a(b -a

7、)(b-a)左邊分開nXanjX a二右邊x ay + bz az + bxy ay + bz az + bxy az + bx ax + by+ bz az + bx ax + byz ax + by ay + bzx ax + by ay + bz=(a - b)12按第一列ax ay + bz zy z az + bxy az + bx x+ 0 + 0 + bz x ax + byz ax + by yx y ay + bzxyz分別再分2=ayzx+ b3zxyxyzxxyzxyz3 ayzx+ b3yzxzxyzxyzxy2 a2 b2 a2 b(-1)2分別再分3a右邊左邊2 c

8、d22 cd2(2a1)(a 2)2(a 3)(2b1)2(b + 2)(b 3)(2c1)(c 2)2(c 3)(2d1)2(d 2)(d 3)22+2+27C2_ CiC3_ ciC4 一 ci按第二列分成二項b2d2b22a 12b 12c 1 2d 1abcd4a亠4 4b 4 4c 4 4d 44a 44b 4 4c 4 4d 46a 96b 96c 9 6d 96a 96b 96c 96d 9b211114a 4 6a 94b 4 6b 94c 4 6c 94d 4 6d 9心3 _4c22 aa49第一項9c 4 6c2bb49心3 _4c22 cc49第二項9c4 -9c2dd

9、49100ab-ac-a左邊_ 2.2222ab-ac-a4.4444ab-ac-ab -ac-a.2222b-ac-a2 222 22b (b-a)c(c-a2 d2 2 2)d (d -a )2 a14a6a2b14b6b+9=0A c14c6cd214d6d0d -a.22d -a4d -ad -ad22-a2d91d + ad 2 (d 十 a )1 1=(b-a)(c-a)(da) b + ac + a2 2b(b+a) c(c + a)=(b -a)(c -a)(d - a)0d - b2 2d (d+a) - b (b + a)1 0b+ac - b2 2 2b (b+a) c

10、(c + a) - b (b + a)=(b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)1 12 2 2 2(c + be + b ) + a(c + b) (d + bd + b ) + a(d + b)=(a - b)( a - c)( a - d )( b - c)( b - d ) (c - d )( a b c d )用數學歸納法證明#當 n = 2時，D2 = x 一 1a2 x a1x2 + a/ + a2,命題成立.假設對于(n -1)階行列式命題成立，即n _1n _2x a1x則D n按第1列展開：an/x%_1，n -"1Dn = XD.+

11、 a“(1)n _1an右邊所以，對于n階行列式命題成立.6.設n階行列式D = det( aij ),把D上下翻轉、或逆時針旋轉 副對角線翻轉，依次得、或依D1an1a nna1na nna 11a n1證明Da11a 1 nn( n _1)(-1)D,90a11a1na n1a nn-det( a ij )a n1a nna11a1nD1a11a1 nn -1(T)(T)n -2M-1)a 11a 21a n1a 31n -1a11a n1a nna 21a1na2na nna3na2na1nn -1n -2(1) (1)(1)an 1(一1)122(D =(_1)2a nnn (n -1

12、)D11n (n J)a iia n 1n( n _1)n(n _1)同理可證D2(-1) 2a nnn (n J)D3(-1)2 D2=(1)2 D ( 1)2 Dn( n _1)(-1) 2 (-1) 2D =（一門十一1）D = D7.計算下列各行列式（D k為k階行列式 ）：(1)Dn其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0；DnaaxJ u-1 un 1 二-1提示：利用范德蒙德行列式的結果.anbnD2naic1 d1Cndn(5) Dn 二det(aj),其中 aij =001 a111Dn1 a21,其中a1a an式0.1 a1111 a111010000按取后行展開-a0

13、0aan -Kn=(1) (1)nnn -2a 二 a - an _2a (a2-1)1 1解(1)000 01a00 00a. . n -M2n+(-1)0a0 00+ (-1)aBa000 a0(2)xn 丄)（再按第一行展開)100（n）（n_1）(n -2)(n J)（2）將第一行乘（-1）分別加到其余各行，得xaaaa -xx a0 0Dn =a -x0x a0a -x00 0x a再將各列都加到第一列上，得(n - 1)a#二x(n - 1 )a( x - a)#換到第1行，第n行經(n 一 1)次對換換到第2行,經n (n - 1)n(n 1)、1次行(3)從第n 1行開始，第n

14、 1行經過n次相鄰對換,#交換，得11 1n(n 41)aa - 1a nDn* =(-1)2n _1 a(a -1嚴(a - n)nn a(a-1)n(a - n)n此行列式為范德蒙德行列式Dn 1 = (-1)II (a 一 i1)-(a - j 1)#n T _ij 1#n (n 1)(-1) 2-(i-j)二(-1)n (n 亠1)(-1)n “(n _1)訐 - (i - j)n 1j _1n 1 _i j _1II (i 一 j)n 1j _1anbnD 2na 1b1C1 d1Cndn17a n _i0bn_i0#a n _i0bn_i0按第一行a naibi展開diCn Jdn

15、 Jdn(-i)2n "bnaibicidi都按最后一行展開由此得遞推公式:(5)ajDn-det( aij)-Cn iandnD2n_2 - bn C n D 2 2D 2nD 2nD2D 2nd n _1=(andn - bnCn)D2n_2n=ni =2aini =i(aid： - biCi )D2bidi(aidi_ aidi - bi c ibi")i n2 n3 n419-11111-1-1111-1-1-111-1-1-1-11C 2C1 , C3 C1C4 S，=(-1) (n-1)2n .22n2n - 42n - 5a1a1a2C1C2，C2 C3C4，

16、ana3按最后一列展開（由下往上）an -1anana1-a2a2(1an )( a1 a 2a n -2an21a100一 a2a20000000-a2a200-a3a300-a4000000(1+a2an)(ain 1-(aia 2 an)(1 亠.一)i a i"an Ja n _10"a n000000- _ a n/a n0-anaia 2 anan _2a n0-a3a 3+#8.用克萊姆法則解下列方程組:#xiX2 X3X4 = 5,#-x32 - x2xXt + 2 x2 (iH2xt - 3x3xi X24X4 -2,3-5X4 二-2,311X0；#6X

17、2=1,5X26X3二 0,X25X36X4二 0,X35x46X5二 0,X45X5二 1.5XiIX1(2)#(1) D1111111112_ 1401_ 232_ 3_ 1_ 50_ 5_ 3_ 7312110_ 2_ 1823-11111111101-2301-2300-13800-1-5400-514000142=5-1-91-5-1-90509012110-13-3-230509012110-13-3-231-5-1-91-5-1-9012110121100-10-4600-13800231200001420121101211-142151115111-2

18、-140-7-232-2-1-50-12-3-7302110-15-18D2151115110-13201-19003931000-284二 2841115-42611111512-1-22-3-1-231201424Di5D -5 D - 6D按最后一行展開5(5D6D- 6D = 19 D - 30 D65 D-114D = 6519 - 1145 二 665-1-1(D為行列式 D中a11的余子式，D 為D中a11的余子式D1按第一列展開510001600500010600D 2 =00560按第二列05601600展開01560560001560015015601015415076D19 D30" +