試題試題2024北京北師大實驗中學高二10月月考數學2024年10月本試卷共4頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題，共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1.在長方體中,化簡(A) (B) (C) (D)2.若向量,則(A) (B)4 (C) (D)53.已知經過兩點的直線的一個方向向量為,那么(A)-2 (B)-1 (C) (D)24.已知為平面的一個法向量,為一條直線,為直線的方向向量,則“”是“”的(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件5.如圖所示,直線的斜率分別為,則下列結論正確的是(A) (B) (C) (D)6.如圖,在四面體中,為BC的中點,為AD的中點,則可用向量表示為(A) (B) (C) (D)7.如圖,在直三棱柱中,且,則與所成的角為(A) (B) (C) (D)8.已知,過點的直線與線段AB沒有公共點,則直線斜率的取值范圍是(A)或 (B) (C) (D)或9.如圖,在棱長為1的正方體中,為線段AB上的點,且,點在線段上,則點到直線AD距離的最小值為(A) (D)110.如圖,在棱長為a的正方體中,為的中點,為上任意一點,E,F為CD上任意兩點,且EF的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是(A)點P到平面QEF的距離 (B)直線PQ與平面PEF所成的角(C)三棱錐P-QEF的體積 (D)二面角P-EF-Q的大小第二部分(非選擇題，共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。11.若是直線的一個方向向量,則直線的傾斜角大小為_____________.12.已知點三點共線,則實數的值為____________13.正三棱柱中,,則直線與平面所成角的正弦值為__________.14.如圖,四面體ABCD的每條棱長都等于2,M,N分別是AB,CD上的動點，則MN的最小值是____________.此時=____________.15.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱ABF-DCE組合而成，為上的動點,給出下列四個結論:①G為的中點時，平面平面BCG;②存在點G,使得平面ADG;③有且僅有一個點G，使得三棱錐E-ACG體積是12;④不存在點G,使得直線CF與平面BCG所成的角為60°其中所有正確結論的序號是____________.三、解答題共6小題,共85分。解答題應寫出文字說明,驗算步驟或證明過程。16.(13分)已知坐標平面內三點.(I)求直線AB的斜率和傾斜角;(II)若A,B,C,D可以構成平行四邊形,且點在第一象限,求點的坐標.17.(14分)已知向量.(I)若,求實數的值;(II)求;(III)若不能構成空間向量的一個基底,求實數的值.18.(13分)如圖所示,平面ABCD,底面ABCD邊長為1的正方形,2,P是MC上一點,且.(I)建立適當的坐標系并求點坐標;(II)求證:.19.(15分)圖1是邊長為的正方形ABCD,將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐,且.(I)證明:平面平面ABC;(II)棱PA上是否存在一點,使得平面ABC與平面MBC的夾角的余弦值為,若存在,指出點的位置；若不存在，請說明理由.20.(15分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,為棱PD的中點.(I)求證:PB//平面ACQ;(II)若,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知,使四棱錐P-ABCD唯一確定,并求:(i)直線PC與平面ACQ所成角的正弦值;(ii)點P到平面ACQ的距離.條件①：二面角P-CD-A的大小為;條件②:;條件③:.21.(15分)在空間直角坐標系中，已知向量，點，若直線以為方向向量且經過點,則直線的標準式方程可表示為;若平面以為法向量且經過點,則平面的點法式方程表示為.(I)已知直線的標準式方程為,平面的點法式方程可表示為,求直線與平面所成角的正弦值;(II)已知平面的點法式方程可表示為,平面外一點,求點到平面的距離;(III)（i）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積；(ii)若集合，記集合中所有點構成的幾何體為,求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1.D 2.A 3.A 4.B 5.C6.D 7.C 8.C 9.A 10.B二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。11. 12.0 13. 14. 15.①②④注：14題第一空3分，第二空2分；15題選對1個給3分，選對兩個給4分，有錯誤不給分．三、解答題共6小題,共85分。解答題應寫出文字說明,驗算步驟或證明過程。16.解:(I)直線AB的斜率=，…………..4分傾斜角為…………………………..6分(II)不妨設坐標原點為,當構成時,則,即D(-5,0),不在第一象限，舍;…………..8分當構成時,則,即D(1,-5),不在第一象限，舍;…………..10分當構成時,則,即,在第一象限,………………………12分綜上,點的坐標為.………………13分17.解：（I）由得………3分解得x=-4.……………………4分(II)因為,,…………7分所以,.……………9分（III）若不能構成空間向量的一個基底，則向量共面，……10分則存在,使得,.…………11分所以,解得所以,實數的值為-6.………………………14分18.解：(I)因為平面ABCD且平面ABCD,所以,,在正方形ABCD中,,所以兩兩垂直,……………….2分建立空間直角坐標系(圖略)，.………………3分則,………………4分,……………5分設，由,可得,解得,即.………………7分(II)因為,所以,,即,………………………11分所以,.………………………13分19.解:(I)取AC的中點,連接OB,OP,在正方形ABCD中,,并且………………1分在中,,所以,,.………………………2分因為平面PAC,所以,平面……………………4分而平面ABC,所以,平面平面ABC..………………6分(II)因為OB,OA,OP兩兩垂直,所以建立空間直角坐標系………………………7分則,………………8分因為平面ABC,所以平面ABC的法向量為……………………10分假設存在滿足題意的點,且,則,設平面MBC的法向量為,則有不妨設,得,………………….12分所以,……………….14分兩邊平方，整理得，解得或(舍),經檢驗，滿足題意，因此，存在點，只需即可.……………15分20.解:(I)證明:連接BD,交AC于,連接OQ,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,所以,是BD的中點,因為為棱PD的中點，所以,,……………………2分因為面面ACQ,所以,平面ACQ.………….4分(II)因為,所以,,選擇①②:因為,且平面平面所以,是二面角的平面角,即,因為,所以,,故,因為平面PAD,所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直.…………………7分選①③:因為,且平面平面所以,是二面角的平面角,即,因為平面PAD,所以,平面PAD,因為平面PAD,所以,,因為平面PCD,所以,平面PCD,因為平面PCD,所以,,因為為PD中點,所以,,所以,,即,因為平面PAD,所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直.……………7分選②③:因為平面PAD,所以,平面PAD,因為平面PAD,所以,,因為平面PCD,所以平面PCD,因為平面PCD,所以,因為為PD中點,,所以,,即,因為平面PAD,所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直.………7分如圖，建立空間直角坐標系，…………………8分則,……………9分設為面ACQ的一個法向量,則令,得,……………………11分(i)所以,,所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為13分(ii)點到平面ACQ的距離為分21.解：（I）直線的方向向量為1分平面的法向量為,………………2分所以,,(II)平面的法向量為,………5分設點是平面上一點,則,不妨令,則,即點是平面上一點,……6分點到平面的距離為.………