矩陣及其運算第十章行列式與矩陣基礎教學部矩陣的概念01矩陣的運算02目錄10.3.1矩陣的概念3例1某學校一年級三名同學的數(shù)學、英語、計算機的期末成績如下表：姓名數(shù)學英語計算機王

宏908691李

丹899280楊

唯829094如果把表中數(shù)據(jù)取出并且不改變數(shù)據(jù)相關位置，那么就得到一個數(shù)表：10.3.1矩陣的概念4例2三元線性方程組如果把三元線性方程組中的x的系數(shù)和常數(shù)項按照在方程組中的位置排成一個三行，四列的數(shù)表，即我們把這種具有一定排列規(guī)則的矩形數(shù)表稱為矩陣.10.3.1矩陣的概念5定義1

由m×n個數(shù)排列成m行n列的矩形數(shù)表叫做一個m×n矩陣.其中，稱為矩陣的元素，第一個下標i表示它所在的行，第二個下標j

表示它所在的列.例如a12表示第一行第二列的元素.通常用大寫的字母A,B,C,X,Y表示矩陣，可簡記為或.10.3.1矩陣的概念6例1、例2可分別表示為10.3.1矩陣的概念7幾種特殊形式的矩陣：（1）行矩陣：叫做行矩陣（或行向量）；（2）列矩陣：叫做列矩陣（或列向量）；（3）零矩陣：元素全為零叫做零矩陣，記作Om×n或O；例如：分別稱為2×2零矩陣和3×4零矩陣，記作O2×2，O3×4.10.3.1矩陣的概念8幾種特殊形式的矩陣：（4）對角矩陣：

不在主對角線上的元素全為零的方陣叫做對角矩陣；一般形式為（5）單位矩陣：主對角線的元素全為1，其余元素均為零的方陣叫做單位矩陣；記作E或I，即10.3.1矩陣的概念9幾種特殊形式的矩陣：（6）三角矩陣：

主對角線以下的元素全為零的方陣叫做上三角形矩陣；即主對角線以上的元素全為零的方陣叫做下三角形矩陣；即10.3.1矩陣的概念10幾種特殊形式的矩陣：（7）對稱矩陣：滿足條件aij=aji（i,j=1,2,…,n）的方陣叫做對稱矩陣；對稱矩陣的特點是，它的元素以主對角線為對稱軸對應相等.（8）反對稱矩陣：

滿足條件aij=-aji（i,j=1,2,…,n）的方陣叫做反對稱矩陣；反對稱矩陣的特點是，它的第行第列的元素等于它的第行第列的元素的相反數(shù),它的主對角線上的元素都是零.即10.3.1矩陣的概念11幾種特殊形式的矩陣：例如，是對稱矩陣.是反對稱矩陣.矩陣的概念01矩陣的運算02目錄10.3.2矩陣的運算131.矩陣相等定義2如果矩陣A=(aij)與B=(bij)

都是m×n

矩陣，并且它們的對應元素相等，則A與B

相等.記作例3設矩陣且A=B，求a,b,c,d.解由A=B，得故10.3.2矩陣的運算142.矩陣加法定義3設有兩個m×n矩陣A=(aij)與B=(bij)

，則m×n

矩陣叫做A與B

的和，記作即10.3.2矩陣的運算15例4已知求A+B.解由矩陣加法根據(jù)矩陣加法的定義，可以驗證加法有如下運算性質（1）A+B=B+A；（2）（A+B）+C

=A+（B+C

）

；（3）

O+A=A+O=A；10.3.2矩陣的運算163.數(shù)乘矩陣定義4設矩陣A=(aij)m×n，k∈R為常數(shù)，則矩陣(k

aij)m×n

叫做k與矩陣A的數(shù)乘，簡稱數(shù)乘矩陣，記作即特別地，當k=-1時，可得到A的負矩陣-A

.可以定義兩個矩陣A與B的差為10.3.2矩陣的運算17矩陣的數(shù)乘具有以下性質（A，B是m×n矩陣，k為常數(shù)）（1）（2）（3）

（4）

（5）

注意數(shù)乘行列式與數(shù)乘矩陣的區(qū)別：前者是數(shù)的運算，后者是矩陣的運算.10.3.2矩陣的運算18例5設有3×4矩陣A與B，求3A-2B.解10.3.2矩陣的運算19例6設且滿足A-3X=B，求矩陣X.解所求矩陣為10.3.2矩陣的運算204.矩陣的乘法定義5設有矩陣A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，規(guī)定矩陣A與B

的乘積是一個m×n矩陣，式中記作乘積矩陣C=AB

的第i

行第j

列元素cij是矩陣A的第i行元素與矩陣B

的第j列對應元素乘積的和，即.10.3.2矩陣的運算21只有當左邊矩陣A

的列數(shù)等于右邊矩陣B

的行數(shù)時，這兩個矩陣才能相乘，乘積矩陣AB

的行數(shù)等于A

的行數(shù)，它的列數(shù)等于B

的列數(shù).例7

設矩陣求AB與BA

.解10.3.2矩陣的運算2210.3.2矩陣的運算23例8

設矩陣求AB、BA、AC.解10.3.2矩陣的運算24由以上兩例可知（1）矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下

AB≠BA.若AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B是可交換的.（2）兩個非零矩陣,其乘積可能為零.當AB=O

時，一般不能推出A=O或B=O

.（3）AB=AC

且A≠O時，一般地B≠C，說明矩陣乘法不滿足消去律.矩陣乘法具有下列性質（假定運算有意義）：（1）（2）（3）10.3.2矩陣的運算25設A為n

階方陣，則定義：A0=E;

A1=A;

A2=AA;…;

Ak+1=AkA.易證：Ak+l=AkAl；(Ak)l=Akl

.例9已知求(AB)2和A2B2.解

因為所以一般地，由于矩陣的乘法不滿足交換律，所以10.3.2矩陣的運算265.矩陣的轉置定義6

m×n矩陣A的行列互換，得到n×m矩陣叫做A的轉置矩陣，記為AT

.例如A的轉置矩陣為對稱矩陣滿足：A=AT，反對稱矩陣滿足：A=-AT

.

10.3.2矩陣的運算27例10

設求AT，BT，BTAT，(AB)T.解10.3.2矩陣的運算28矩陣的轉置具有下列運算規(guī)則：（1）(AT)T=A；（2）(A+B)T=AT

+BT；（3）(kA)T=kAT；（4）(AB)T=BTAT.10.3.2矩陣的運算29例11

設A是n階對稱矩陣，B是n階反對稱矩陣，即A=AT，B=-BT，試證：（1）B2

是對稱矩陣；（2）AB+BA是反對稱矩陣.證（1）因為B=-BT，且(B2)T=(BB)T=BTBT=(-B)(-B)=B2，所以B2