1、精選優質文檔-傾情為你奉上圓錐曲線題型總結（2015）一圓錐曲線的定義第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。定義的試用條件：例1：已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的（ ）A B C D例2：方程表示的曲線是_利用圓錐曲線的定義，

2、把到焦點的距離轉化為到準線的距離：例3：如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_例4：點A（3，2）為定點，點F是拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，若取得最小值，求點P的坐標。利用定義求軌跡：例5：動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程例6：已知、是橢圓的兩個焦點, 是橢圓上的一個動點,如果延長到,使得,那么動點的軌跡是( ) A、橢圓 B、圓 C、直線 D、點例7：已知動圓過定點，并且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程.例8：已知，是圓（為圓心）上一動點,線段的垂直平分線交于,則動點的軌跡方程為

3、 定義的應用：例9：橢圓上一點到焦點的距離為2，為的中點，是橢圓的中心，則的值是 真題：【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則 等于（）A11 B9 C5 D3【2013新課標卷文科21】已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。（）求的方程；（）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點，當圓的半徑最長是，求?！?015新課標1卷文科16】已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點， ，當周長最小時，該三角形的面積為 二.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：橢圓：焦點在軸上時： 雙曲線：焦點

4、在軸上時：焦點在軸上時： 焦點在軸上時：拋物線方程：求方程的方法：定義法、待定系數法、直接法、代入法、參數法、幾何法等。關鍵是形數結合，建立等量關系例10：設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_例11：與雙曲線有相同漸近線，且經過點A（，3）的雙曲線的方程是_例12：已知直線l:y=x+3與雙曲線，如果以雙曲線的焦點為焦點作橢圓，使橢圓與l有公共點，求這些橢圓中長軸最短的橢圓方程。例13：已知橢圓方程焦點在x軸，且過兩點，則橢圓方程是_例14：雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_例15：橢圓 的焦點坐標是（ ） A B C DD 例16：

5、已知中心在原點的橢圓C的兩個焦點和橢圓的兩個焦點一個正方形的四個頂點，且橢圓C過點A（2，3），求橢圓C的方程。真題：【2015高考廣東，理7】已知雙曲線：的離心率，且其右焦點，則雙曲線的方程為（ ） A B. C. D. 【2015高考新課標1，理14】一個圓經過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為 .【2015高考天津，理6】已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且雙曲線的一個焦點在拋物線 的準線上，則雙曲線的方程為( )A B. C. D. 三.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。雙曲線：由,項系數的正負

6、決定，焦點在系數為正的坐標軸上；拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。例17：已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 例18：已知方程表示焦點在x軸上的橢圓,則實數k的范圍是 .例19：如果方程表示焦點在軸上的橢圓，求實數的取值范圍。例20：方程，例 翰k為 時,方程為雙曲線。當例 翰k為 時，方程為焦點為x軸的橢圓。例21：方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。例22：已知拋物線，則此拋物線的焦點坐標為 .準線方程為 .四.圓錐曲線的幾何性質（離心率、漸近線等）離心率問題：橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個

7、對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式，可求離心率，漸進線的值；a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；注重數形結合思想不等式解法雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意

8、義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。離心率求法：（1）畫出圖型，盡量把能表示的邊都用關于的式子表示（2）通過幾何關系，建立關于的等式（3）消去，同時除以，解關于的方程例23：橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使. 則橢圓離心率的取值范圍是 .例24：在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 例25：過橢圓C：的左焦點作直線lx軸，交橢圓C于A，B兩點，若OAB(O為坐標原點)是直角三角形，則橢圓C的離心率為 .例26：設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 .例27：雙曲線（a

9、0,b0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 .真題：【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A對任意的， B當時，；當時，C對任意的， D當時，；當時，【2015高考新課標2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）A B C D【2015高考湖南，理13】設是雙曲線：的一個焦點，若上存在點，使線段的中點恰為其虛軸的一個端點，則的離心率為 .【2015高考山東，理15】平面直角坐標系中，雙

10、曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則的離心率為 .【2013新課標卷文科5】設橢圓的左、右焦點分別為是上的點，則的離心率為( )A36 B13 C12 D33漸近線及其它問題：例28：設、分別為雙曲線（0、0）的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點p，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 例29：已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，則例30：過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則= 例31：以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為 例32：設雙曲線（a0,b0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是 真題

11、：【2015高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（ ）（A） （B） （C） （D）【2015高考重慶，理10】設雙曲線（a0,b0）的右焦點為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（ ）A B C D【2015高考上海，理9】已知點和的橫坐標相同，的縱坐標是的縱坐標的倍，和的軌跡分別為雙曲線和若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 五點、直線和圓錐曲線的關系： 點與橢圓的位置關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內；直線與圓錐曲線的位置關系：P點在兩

12、條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；例33：當為何值時,直線和橢圓 (1)相交；(2)相切；(3)相離。例34：若直線與橢圓有兩個公共點，則實數的取值范圍為 例35：已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點的坐標例36：直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_例37：過

13、點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_ 例38：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_例39：過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_例40：過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條例41：對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線C的位置關系是_例42：直線與雙曲線交于、兩點。當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？ 真題：【2015高考四川，理5】過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A

14、，B兩點，則（ ）(A) (B) (C)6 （D）六焦半徑及弦長公式的計算方法： 若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解（了解）。拋物線的焦點弦公式：（為直線的傾斜角）例43：過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ABC重心的橫坐標為_例44：已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于例45：點P在橢圓上，它到左焦點的

15、距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_例46：拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_七焦點三角形問題：1.橢圓焦點三角形面積 ；雙曲線焦點三角形面積2.常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3.四者的關系在圓錐曲線中的應用；周長為：例47：已知、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于、兩點。若，則 例48：已知的頂點、在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長為 例49：已知橢圓的方程是，它的兩個焦點分別為，且，弦過，則的周長為 例50：短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_橢圓焦點三角形面積 ；雙

16、曲線焦點三角形面積例51：設P是等軸雙曲線右支上一點，F1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 例52：橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當0； “等角、角平分、角互補問題” 斜率關系（或）； “共線問題”（如： 數的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉化法）；（如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）； “點、線對稱問題” 坐標與斜率關系；基本解題思想：1、“常規求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數表示出來，然后證明計算結果與參數無關；

17、也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。定點定值問題 在圓錐曲線中，有一類曲線系方程，對其參數取不同值時，曲線本身的性質不變；或形態發生某些變化，但其某些固有的共同性質始終保持著，這就是我們所指的定值問題. 圓錐曲線中的幾何量，有些與參數無關，這就構成了定值問題.它涵蓋兩類問題，一是動曲線經過定點問題；二是動曲線的某些幾何量的斜率、長度、角度、距離、面積等為常數問題.4、處理定點問題的方法：常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點；也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數，幾何法、配方法（轉化為二次函數的最值）、三角代換法（轉

18、化為三角函數的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；6、轉化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉化”的經驗；7、思路問題：大多數問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產生思路。弦的垂直平分線問題例74：過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,

19、得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時。動弦過定點的問題證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數表示出來，然后證明計算結果與參數無關；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點問題的方法：常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點；也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明。例75：已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論解：（I）由已知橢圓C

20、的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根，則，即點M的坐標為，同理，設直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐標代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為，即故當時，MN過橢圓的焦點。過已知曲線上定點的弦的問題例76：已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關于直線對稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點C的坐標為。A是橢圓的右

21、頂點，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關于直線對稱，設直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。向量問題例77：已知點，若動點滿足（）求動點的軌跡的方程；（）過點的直線交軌跡于，兩點，若，求直線的斜率的取值范圍.例78：已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存直線，滿足?若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m

22、，存在實數，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例79：設橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。例80：已知定點A（-2，-4），過點A作傾斜角為45度的直線L，交拋物線（0）于B、C兩點，且線段BC長為。（I）求拋物線的方程；（II）在（I）中的拋物線上是否存在點D，使得DB=DC成立？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由。真題：【2015高考新課標2，文20】已知橢圓C：（0）的離心率為，點（2，）在C上（I