1、3.3.2兩點間的距離兩點間的距離兩點間的距離1. (1)在x軸上兩點A1(x1,0),B1(x2,0)間的距離如何計算?提示:|A1B1|=|x2-x1|.(2)在y軸上兩點C(0,y1),D(0,y2)間的距離如何計算?提示:|CD|=|y2-y1|.(3) 你能結合問題1,2推導出平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式嗎?提示:如圖,在RtP1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,2.填空:(1)平面上任意兩點間的距離公式:平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式|P1P2|=(2)兩點間距離的特殊情況: 當P1P2x軸(y

2、1=y2)時,|P1P2|=|x2-x1|.當P1P2y軸(x1=x2)時,|P1P2|=|y2-y1|.3.做一做:已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|=.探究一探究二探究三思想方法求兩點間的距離求兩點間的距離例1 已知ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷ABC的形狀.思路分析:可求出三條邊的長,根據所求長度判斷三角形的形狀.探究一探究二探究三思想方法|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.ABC是等腰直角三角形.|AC|=|AB|.ABC是等腰直角三角形. 探究一探究二探究三思想方法反思感悟兩點間距離公式的應用兩

3、點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現了數形結合思想的應用.探究一探究二探究三思想方法延伸探究本例若改為:已知A(-1,-1),B(3,5),C(5,3),試判斷ABC的形狀.探究一探究二探究三思想方法求點的坐標求點的坐標例2 已知點A(-3,4),B(2, ),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.思路分析:利用兩點間的距離公式建立關于未知數的方程求解.解:設點P(x,0),探究一探究二探究三思想方法反思感悟根據兩點間的距離公式確定點的坐標利用坐標平面內兩點間的距離公式可以求平面上任意兩個已知點間的距離.反過來,已知兩點間的距離也可以根據條

4、件求其中一個點的坐標.探究一探究二探究三思想方法變式訓練 已知矩形ABCD相鄰兩個頂點A(-1,3),B(-2,4),若矩形對角線的交點在y軸上.求:另外兩個頂點C和D的坐標.解依題意可設矩形的兩條對角線的交點為O(0,y),在矩形ABCD中,|AO|=|BO|,解得y=5,交點O的坐標是(0,5),A(-1,3),B(-2,4),設C(x1,y1),D(x2,y2),由于AC,BD中點均為O點,探究一探究二探究三思想方法坐標法的應用坐標法的應用例3 已知RtABC,B為直角,AB=a,BC=b,建立適當的坐標系,寫出頂點A,B,C的坐標,并求證斜邊AC的中點M到三個頂點的距離相等.思路分析:

5、取直角邊所在的直線為坐標軸建立坐標系,再寫出各頂點坐標,給出證明.探究一探究二探究三思想方法解:取邊BA所在的直線為x軸,邊BC所在的直線為y軸,建立直角坐標系,如圖所示,則三個頂點的坐標分別為A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中點坐標公式,得斜邊AC的中點M的坐標為 .|MA|=|MB|=|MC|. 探究一探究二探究三思想方法反思感悟坐標法及其應用1.坐標法解決幾何問題時,關鍵要結合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;(2)如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作

6、為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.2.利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:(1)建立坐標系,盡可能將有關元素放在坐標軸上;(2)用坐標表示有關的量;(3)將幾何關系轉化為坐標運算;(4)把代數運算結果“翻譯”成幾何關系.探究一探究二探究三思想方法數形結合思想的典范坐標法典例 如圖,在ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|DC|.【審題視角】建立適當的直角坐標系,設出各頂點的坐標,應用兩點間的距離公式證明.探究一探究二探究三思想方法證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC

7、所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-bmb).則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|DC|=|m+b|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,|AD|2+|BD|DC|=a2+b2,|AB|2=|AD|2+|BD|DC|.方法點睛根據圖形的特點,建立適當的坐標系,可使運算量減小,因此要注意建系方法.探究一探究二探究三思想方法變式訓練變式訓練已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點為原點,建立直角坐標系,如圖所示.正三角形ABC的邊長為a,12341.點A(1,-2)關于原點的對稱點為A,則|AA|為()解析:因為A(1,-2)關于原點的對稱點A(-1,2),所以答案:A12342.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)為頂點的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形故ABC為等腰三角形.故選B.答案:B12343.設點A在x軸上,點B在y軸上,線段AB的中點P(2,-1),則|AB|=()解析:依題意設A(a,0