1、1.二階行列式對角線法則：fl12=alla22a12a212.三階行列式對角線法則按行（列）展開法則U21“22aaiiis&“一鳴科+%聲3科”一科3戶”戶科”814,戶門aaSI«3.全排列：n個不同的元素排成一列所有排列的種數用P”表示，Pn=n!逆序數：對于排列P1P2P”，如果排在元素Pi前面，且比Pi大的元素個數有G個，則Pi這個元素的逆序數為tj。整個排列的逆序數就是所有元素的逆序數之和。奇排列：逆序數為奇數的排列.偶排列：逆序數為偶數的排列。n個元素的所有排列中，奇偶各占一半，即與對換：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.a31a a 3>3

2、3a” a33=s(-iy其中：；172；3是123的一個排列，%熄2&'%01八/3）是排列Jiiziz的逆序數5.下三角行列式:對角行列式:322an26.行列式的性質：行列式與它的轉置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列副三角跟副對角相識 0=311a224n副對角行列式:aA2n（ira.=（-1）2認A（轉置：行支列，列交行）.。二DT:變號.推論：兩行（列）相同的行列式值為零?；Q兩行：。一 rj行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數k,等于用數k乘此行列式。第i行乘匕右xk 推論:行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中如果有兩行（列

3、）元素成比例，則此行列式等于。若行列式的某一列（行）的元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和.如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍數后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變.如第j列的k倍加到第i列上：g 十九勺7 .重要性質：利用行列式的性質n+kj或q+kCj,可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計算n階行列式的值。（P11頁例7）8 .行列式按行（列）展開法則（*重要*）重要概念：余子式：在n階行列式中，把元素為所在的第/行和第j列劃去，剩下的（。-1）?個元素按原來的排法構成的階行列式叫做的的余子式，記為代數余子式：記&=（-）可酎為元素%的代數余子式重

4、要性質，定理1）第i行各元素的余子式，代數余子式與第i行元素的取值無關。2）行列式按行（列）展開法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即,。=ailAil+a2A2+ainAxn或。=+Q2jA2j+推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.即%3八十%2AJ2+aiAn=0i工j或+a2iA2J+%人,=0iHj使用該法則計算行列式的值：先選取存在最多。的行（列其從該行選取一個非。元素%,并將該行其他元素通過性質化為0,則。7219 .利用Cramer法則求解n個n元線性方程組：若非齊次線性方程組的系數行列式不等于零，

5、則方程組有唯一解。等于0,則無解其中巧（j=12.n）是把系數行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數項代替后所得到的的n階行列式=diag（4,4,，4）01萬-14°lna2,j-lAa2nO-c«bnOQ上j-1nnn對于齊次線性方程組，如果系數行列式DH0,則該方程組只有零解，若D=0,則存在非零解。第二章1 .矩陣相關的概念：矩陣：由mXn個數為（i=l,2,m;j=l,2,n）排成的m行列的數表（是一組數）。行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量.同型矩陣：行數，列數均相等的兩個矩陣A=B：矩陣A和矩陣B為同型矩陣，且對應的元素相等.零矩陣：所有

6、元素為。的矩陣，記為0,不同型的零矩陣是不相等的。對角矩陣：對角線元素為'4,其余元素為。的方陣單位矩陣：對角線元素為1,其余元素為。的方陣,AA4=2 .矩陣的運算1）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進行加法運算.A+B等于對應元素相加起來。滿足交換律和結合律2）數與矩陣相乘（Ml孫2w門（助ml助7助,(4+)A=NA+A,4(A+5)=4A+/iB3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數；4mxsxBsxn乘積矩陣的行數為前一個矩陣的行數，列數為后一個矩陣的列數；Cmxn%=*+%羯-+叫=卒網即：乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個矩陣的第i行元素與后一

7、個矩陣的第j行元素對應相乘再相加.注意：一般情況下：AB工BA.但是滿足結合律和分配律.EA=AE=A4）矩陣的塞：若A是階方陣，則：kt屋=AA2心=A屋一】顯然：AA=A*，（4）=A（AB）k=AkBk"（A+B）2=A2+2AB+B2.a、b可交換時才成立（A+B）（A-B）=A2-B23.矩陣的轉置：把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩陣，記作川.如:2 2、ttM： (1) (Ar)r = A;(3) (AA)r = AAr;14)A1=25;J8,(2) (A+B)r=A7+8;(4)(abY=btat.設A為n階方陣，如果滿足慶=47，即4了=%丁，則A為對稱陣如果滿

8、足A=-屐，即=-%，則A為反對稱陣4 .方陣的行列式：由n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作13或detA性質，|4"=|A|,|/A|=/T|A|,®AB=AB.Ai42注意：元素%的代數余子式A"是位于5,伴隨矩陣：其中A。是勾的代數余子式，A,稱為A的伴隨矩陣。（特別注意符號）4*的第j行第i列（類似于轉置）性質：44"=A*A=AE6.逆矩陣：對于。階方陣4如果有n階方陣8,使得AB=BA=E,則稱A可逆,B為A的逆矩陣，記為且A的逆矩陣是唯一的.判斷方陣A是否可逆：|*0=A可逆，且逆矩陣尸=Qr推論：若|用豐0,則|4一1

9、|=看。此時稱A為非奇異矩陣.若=0,則稱A為奇異矩陣.二階矩陣的逆矩陣：主對角線兩數對調，副對角線兩數反號八二（二：）一>=士d*）c«/adbea/單位矩陣E是可逆的E=E-L零矩陣是不可逆的。對角矩陣的逆矩陣：對角線上每個元素取倒數.推論：如果n階方陣46可逆，那么A一1、At、AA（人/0）、AB也可逆且，（4-1廠】=4,（4,尸=（4-1）7,（5）|父】|=-】（AA）-1=-A-（AB）-1=用逆矩陣求解線性方程組：已知AXB=C,若AB可逆，則X=ACB-1（A在X左邊，貝!）4-1必須在C左邊，B也如此）7 .矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊

10、，這種操作稱為對矩陣進行分塊,每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運算：（其運算與矩陣運算基本一致）1）加法：要求矩陣A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法（即相對應的兩個子塊也是同型的）2）分塊矩陣A的轉置屋：除了A整體上需轉置外，每一個子塊也必須得轉置。8 .分塊對角矩陣：（4、設4是。階矩陣，若：AA的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，4=,其余子塊都為零矩陣J對角線上的子塊都是方陣IAJ則稱A為分塊對角矩陣。/A.ittM：IAI=141141I4|1若IAIQ,則MI*0,并且r=4分塊副對角矩陣：.J）"人=。的充分必要條

11、件：AtA第三章1.初等行變換：（運算符號：注意與行列式的運算加以區分互換兩行，記做J第i行乘以非0常數k,記做xk第j行的k倍加到第i行上，記做心+k-2,若矩陣A經過有限次初等變換成矩陣B,則稱A與B等價，記做的充要條件是存在m階可逆矩陣P及"階可逆矩陣Q，使"Q=83 .矩陣之間等價關系的性質：反身性：AA對稱性：若48,則BA卷港遞性：若43,BC,貝必C4 .行階梯形矩陣：1）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；2）每個臺階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.行最簡形矩陣：4）非零行的首非零元為1；5）首非零元所在的列的其它元素都為零.5 .初等

12、矩陣：由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對換Lj行，記作Em（iJ）E,n（iJ）T=Em（iJ）2）以常數20乘單位矩陣第i行（列），記作/（i（A）Em（i（A）T=Em（ig）3）以乘單位矩陣第j行加到第i行，記作J小,姑）?。ㄓ啠ㄍ馐?號式"（一九）性質1：左行右列設A是一個mXn矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在，的右邊乘以相應的n階初等矩陣.性質2：方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣PlPl,即使A=%P2,P,.推論：方陣A可逆的充要條件是4二E如果,則存在可逆矩陣P

13、,使PA=B00(A,E)(B,P)：即當A變換成B是時，E變為P(求P)求方陣A的逆矩陣方法總結:方法1：判斷A可不可逆：若R0oA可逆一書中P41頁力T=京a”:注意伴陵矩陣里每個代數余子式對應的符號方法2：本身蘊含了判斷A可不可逆的條件，即A£E=A可逆一書中P64頁例2(A,E)£(E)T)：即對矩陣(A,E)進行初等行變換，當A變成E時，E就變成了所求的A-1求>1一1處該方法用來求方程組AX=BcX=AB一若XA=B,可先化為ATXT=BT方法：(48)工(E,4-5)：即對矩陣(AB)進行初等行變換，當A變成E時，B就變成了所求的AB二、矩陣的秩lk階子

14、式：在mXn矩陣A中，任取k行k列(kSm,k<n)f位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式,稱為矩陣A的k階子式.mXn矩陣A的k階子式共有琮個2.矩陣的秩：設矩陣A中有一個不等于零的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作R(A).零矩陣的秩等于0常用：1)對于n階方陣A,R(A)=n(稱A滿秩)=A#0oA可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2)若AB,則R(A)=R(B)3)對于行階梯形矩陣，它的秩等于三總行的行數4)R(At)=R(A)5)若P、Q可逆，則R(PAQ

15、)=R(A)(VA-B=PAQ=B)即：可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會改變所乘矩陣A的秩6)maxR(A),R(B)<R(A,B)<R(A)+R(B)當B=b為非零列向量時，R(A)<R(A,B)<R(A)+17) R(A*B)<R(A)*R(B)8) R(AB)<vninR(A),K(B)3.線性方程組的解一 P75頁例13 P79頁17題n元非齊次線性方程組Ax=b1)無解=R(A) vR(4b)2)有解=R(A)=R(A,b)有唯一解Q R=R(A,b) = zi有無限解。RG4) = R(4b) < nn元齊次線性方程組Ax=b有非零解o匹4

16、)va第四章一、向量組及線性組合1 .n維向量：，個有次序的數如，,%所組成的數組。這n個數稱為該向量的。個分量,第/個數內稱為第i個分量.2 .向量組：若干個同維數的列向量(行向量)所組成的集合3 .給定向量組A-，對于任何一組實數的,魚，Am,表達式+.+kmam稱為向量組，的一個線性組合.心稱為這個線性組合的系數.4 .給定向量組4打牝,心和向量b,如果存在一組實數,使得b=八。1+/如+.+/,am則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組4的線性表示.向量b能由向量組A的線性表示=R(A)=R(A,b)Q方程組勺。1+通+%,=方有解5 .設有向量組A：生,的,%及B：瓦也

17、，瓦,若向量組B中的每個向量都能由向量組4線性表示，則稱向量組8能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價.兩個向信組等價oR(A)=R(B)=R(A,B)6 .向量組B能由向量組A線性表示"存在矩陣K,使8=掰0矩陣方程AX=B有解=R(A)=R(AB)=>R(B)<R(A)(這是必要條件)二、向量組的線性相關性1 .給定向量組4.,明,如果存在不全為零的實數Ai,后,，使得+2+.+kma,=O(零向量)則稱向量組,是線性相關的，否則稱它是線性無關的.2 .只含一個向量。的向量組A,當=0時，A線性相關；a工0時，A線性無關只含兩個

18、向量初例的向量組A,線性相關=】,死的分量對應成比例.向量組4a1,如,%(也2)線性相關=向量組A中至少存在一個向量能由其余ml個向量線性表示。3 .向量組，線性相關0m元齊次線性方程組Ar=0有非零解R(A)<m向量組4線性無關om元齊次線性方程組4x=。只有零解oR(A)=m4n維單位坐標向量組E：e】,。,，金，是線性無關的，且是最大的線性無關組之一.維單位坐標向量組E：燈,e”能由向量組A：»線A(A)=5 .定理1)若向量組A：S,%線性相關，則向量組8：，0m,-1也線性相關.其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關.2)m個外維向量組成的向量

19、組，當維數n小于向量個數m時，一定線性相關.特別地，+1個"維向量一定線性相關.3)設向量組a：%金,線性無關，而向量組B：aDaltam,b線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1 .設有向量組A,如果在A中能選出r個向量為%.,叫滿足向量組4：ah02,ar線性無關；向量組A中任意r+1個向量(如果A中有r+1個向量的話)都線性相關；那么稱向量組4是向量組A的一個最大線性無關向量組，簡稱最大無關組.最大無關組所含向量個數r稱為向量組A的秩，記作心.以0向量組A中向量的個數只含導向量的向量組沒有最大無關組，秩二。.2 .向量組A和它自己的最大無關組4是等價的.推論：向量組4線性無關；向量組4中任意一個向量都能由向量組4線性表示；那么稱向量組4是向量組4的一個最大無關組.3 .全體n維向量構成的向量組記作不，向量組E是肥的一個最大無關組，且/T的秩等于n4 .矩陣的秩等于它的列(行)向量組的秩,5 .矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關系。4 一6 2-236-9743=B30如:向量組4:cti,Oi,a3,a