1、§ 3-2周期交流電量的有效值設(shè)有一個(gè)直流電流I ,通過(guò)同一電阻R, 一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)消耗的電能為W =1 2R T。假設(shè)二者一周期內(nèi)消耗的電能相等，那么有i2dtI2R T即Ii(t)2dt( 3-2-1)式中，I稱為周期交流電流i(t)的有效值，它等于瞬時(shí)值i(t)的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值 再取平方根，因此有效值又稱為均方根值。從物理意義上講，周期電流的有效值是從功耗 相等的觀點(diǎn)來(lái)衡量一個(gè)周期電流的大小。它把交流電流等效成一個(gè)相應(yīng)的直流電流。當(dāng)這 一直流電流通過(guò)同一電阻時(shí)，在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生與交流電流同樣的電能消耗。對(duì)于周期性變化的電壓u(t)，它的有效值U也有類似的定義，即(

2、3-2-2 )11 T 2u 珂!o u(t) dt當(dāng)周期性電流為正弦電流時(shí)，設(shè)i = Im sin()把電流代入式(3-2-1)，得ImTios2( t )dt0 2(3-2-3)可見(jiàn)正弦電流的有效值等于最大值lm除以。Um=2類似地可以得到正弦電壓的最大值與它的有效值之間的關(guān)系(3-2-4 )這樣，我們可以把式(3-1-1)重新表示成(3-2-5)式中，I為正弦交流電流的有效值。電氣工程上一般所說(shuō)的正弦電壓電流的大小都是指它們的有效值。通常所說(shuō)的單相交流電壓為220V，電流為10A等，都是指正弦交流電的有效值。一般工程上的電氣測(cè)量?jī)x 表所指的值也大都是指有效值。§ 3-3正弦交流

3、電量的相量表示正弦量除了用波形和瞬時(shí)表達(dá)式來(lái)表示以外，利 用歐拉公式還可以表示成復(fù)指數(shù)的形 式。一個(gè)正弦交流電流i二2 Is in (t宀，)可以表示為復(fù)指數(shù)形式(3-3-1 )i *2 I sin( t：；叩)=lm、2 Ier eb t方括號(hào)內(nèi)是一個(gè)復(fù)數(shù)，符號(hào)Im表示取復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)指數(shù)的模即為正弦函數(shù)的幅值.2 I，幅角為正弦函數(shù)的相位 .r，它隨時(shí)間以角度增長(zhǎng)。假設(shè)把復(fù)數(shù),2 Iej*ej上在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間用一帶箭頭的有向線段相連，如圖3-3-1所示，那么可得到一個(gè)幅角隨 時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)矢量。這條用來(lái)表示正弦函數(shù)的矢量稱為正弦量的相量。相量在復(fù)平面上 的圖形稱為相量圖。圖中

4、畫(huà)出了該相量在t=0和t =t!時(shí)的位置。當(dāng)t=0時(shí)，該相量與實(shí)軸 夾角為正弦函數(shù)的初始相位角-：。該相量以角速度隨時(shí)間向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)t = &時(shí) 刻，相量轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。此時(shí)與實(shí)軸夾角為-.t< o由圖可以看出，該相量在虛 軸上的投影長(zhǎng)度等于.2 I si n (t 即等于對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。在用復(fù)平面上的相量表示正弦函數(shù)時(shí)，只要確定其初相位時(shí)的相量即可，即相當(dāng)于取 t =0時(shí)的復(fù)指數(shù)函數(shù) 2lej*。實(shí)際的正弦時(shí)間函數(shù)只要把該復(fù)數(shù)乘以ej t ,再取其虛部就 可以得到。在電工計(jì)算中，復(fù)數(shù)中的模一般取為正弦量的有效值，即可以把復(fù)數(shù)表示為 Ier ,這里I

5、為有效值，為初相角。這樣我們可以把式(3-1-1 )的正弦交流電流表示成 相量形式為I =肆(3-2-2 )或I( 3-2-3 )掌握正弦函數(shù)的瞬時(shí)值表達(dá)式，相量表示圖形和復(fù)數(shù)表達(dá)式，并理解它們之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)換 關(guān)系和意義，是穩(wěn)態(tài)正弦交流電路中相量計(jì)算的根底。下面來(lái)討論兩個(gè)同頻率正弦量的計(jì)算問(wèn)題。對(duì)于圖3-3-2所示的電路，假設(shè)兩條支 路中的電流為h *2 I1 sin(t 宀】)i2 二対2 I2 sin( t - 2)那么合成電流i為 = i1 i2由前面分析得i =i1 i2=lm 72 lie"e+lm 72 加“飛矽=lm | J2 (h +2 )ej 上 Tm 2 I ej

6、 1=2 I sin( 1 '-)這里ll =1：lh - l2( 3-3-4 )由上式可知，要計(jì)算合成電流i只要知道合成電流的相量l即可，于是兩個(gè)同頻率的正弦 電流相加問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)正弦電流對(duì)應(yīng)的相量的相加問(wèn)題，即把三角函數(shù)的相加轉(zhuǎn) 化為兩個(gè)復(fù)數(shù)的相加運(yùn)算。我們還可以在相量圖上直觀地來(lái)分析兩個(gè)正弦量的相量相加的意義。電流ii與i2的相 量 山、仏示于 圖3-3-3 中。圖 3-3-3當(dāng)t =0時(shí)相量處于初始位置。按兩個(gè)相量相加的平行四邊形法那么，作l1與l2的合成相 量|1，如圖3-3-3b所示。由圖可見(jiàn)l在虛軸上的投影即為l1與ll2相量在虛軸上的投影值之 和，合成相量l在虛

7、軸上的投影即為i, i2的瞬時(shí)值。經(jīng)過(guò)時(shí)刻t1，相量l1與l2都沿著逆時(shí) 針?lè)较蛐D(zhuǎn)了 七角度，如圖3-3-3a所示，由于li與£的相對(duì)位置沒(méi)有變化，因此其合成 相量|1的長(zhǎng)度也沒(méi)有變化。與t =0時(shí)刻相比，l也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 七相角。此時(shí)l1與l2在虛 軸上的投影值之和仍等于合成相量在虛軸上的投影。在任意時(shí)刻都可以用合成相量l在虛 軸的投影來(lái)表示li與氐的投影之和。相量在虛軸的投影即為該相量對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時(shí) 值，這樣兩個(gè)正弦函數(shù)瞬時(shí)值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函數(shù)瞬時(shí)值，從而把 三角函數(shù)運(yùn)算變成為相量相加減的復(fù)數(shù)運(yùn)算。必須指出，只有同頻率的 正弦量才可以進(jìn)行相量運(yùn)算。圖

8、3-3-4例 3-3-1 在圖 3-3-4 中，比=. 2 40 sin ，t, u2 = . 2 30 sin，t 90，試求總電壓 u的值。解：根據(jù)基爾霍夫定律有u =山 u2,用相量來(lái)表示那么U U2,d40 0 v U2 =30. 90'V，那么可求得U U2 =40. 0：V 30. 90：V =40 - j30V =50. 36.9V總電壓u的瞬時(shí)表達(dá)式為u = .2 50 sinC t 36.9V§ 3-4正弦交流電路中的電阻元件電阻元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流之間關(guān)系受歐姆定律約束。當(dāng)正弦電流流過(guò)電阻 R時(shí)，如圖3-4-1所示，選定電壓與電流的參考方向一致，那

9、么根據(jù)歐姆定律有u =iR 3-4-1 假設(shè)選電流i為參考正弦量，那么i=2lsi nt，代入上式有u =、2 IR sin t = . 2 U sin，t電流與電壓的波形示于圖3-4-1中。由上可見(jiàn)，當(dāng)流過(guò)圖 3-4-1電阻的電流為正弦函數(shù)時(shí)，電阻上的電壓是與電流同頻率的正弦量。電流與電壓同相位， 它們的有效值也服從歐姆定律，即U =IR 3-4-2如果用相量形式來(lái)表示，那么有3-4-3 U =iR上式是復(fù)數(shù)形式的歐姆定律表達(dá)式。該式同時(shí)表述了電阻元件上正弦電壓與電流之間的相 位關(guān)系和有效值關(guān)系。根據(jù)式3-4-3，可畫(huà)出電壓、電流的相量圖，如圖3-4-1所示。§ 3-5正弦交流電路

10、中的電感元件線性非時(shí)變電感元件是電路中一種重要和根本的元件，在實(shí)際電路中經(jīng)常遇到由導(dǎo)線 繞制而成的電感線圈。當(dāng)電流通過(guò)自感為L(zhǎng)的線性電感元件時(shí)，假設(shè)取電感元件兩端電壓與 電流的參考方向一致，如圖3-5-1所示，那么由楞次定律知，電流與電壓之間的關(guān)系式為d-diU|_L 3-5-1 dtdt式中，L為電感值，單位為亨利H 。圖 3-5-1當(dāng)通過(guò)電感的電流為正弦交流電流時(shí)，即i =.柩I si n t，代入上式可得電感元件兩端的電壓為九九討2| 590(3-5-2)=2Ul sin(t 901)1由上式可見(jiàn)，電感端電壓uL是與iL同頻率的正弦量，電壓uL的相位超前電流iL -周期，即4rad 或

11、90 。2從式3-5-2可得，電感電流的有效值|L與電感端電壓的有效值之間有關(guān)系式UL = 丫丄1 L 3-5-3式中，丄叫做電感線圈的自感電抗，簡(jiǎn)稱感抗，它和電阻具有相同的量綱。當(dāng)電感L的 單位取H ,角頻率的單位取rad/時(shí)，感抗的單位為門(mén)。感抗一般用字母XL表示，即Ul二 L =2二 fL(3-5-4)例3-5-1 一個(gè)電阻可忽略的線圈，其電感數(shù)值為L(zhǎng)=31.8 1OH，設(shè)流過(guò)電流i =x/Fsi n伸t -60'A，頻率f=5 0Hz問(wèn)線圈電壓uL為多少？假設(shè)電流頻率f = 5000Hz，重求線圈端電壓uL。解：設(shè)電流相量1=1 -60 A,當(dāng)頻率f =50Hz時(shí)，感抗XL 二

12、 L =2： fL =314 31.8 10 =10-?由式3-5-5可得電壓向量UL = jXLI =10. 301 V那么有 uL =2 10 si n.(臨0 °)V當(dāng)頻率f =5000H時(shí)，感抗XL =2二fL=3 1 400 31.8 10】=1Q0電壓向量 UL =jXLll =1000£30：'V，電壓瞬時(shí)式 uL ='：;；2 1000 sint( ° 3 0O) V§ 3-6正弦交流電路中的電容元件線性非時(shí)變電容元件C兩端加上交流電壓uC時(shí)，電容中就將有電流iC流過(guò)。假設(shè)取電容 元件支路ic的參考方向與電壓Uc的參考方向一致，如圖3-6-1所示，那么有(3-6-1 )idq=CdUCdt dt當(dāng)所施加的電壓為正弦交流電壓uC nf2uC Si nt - 9o時(shí),電容電流為(3-6-2 )ic =C 包C 二 2 CUc cos，t -90 dt=2 IC s i nt 電容元件上的電壓與電流的變化波形見(jiàn)圖3-6-1 o由上分析可得，電容上電壓uc與電流ic為同頻率的正弦量，電流ic在相位上超前電壓 UC 901 O從波形圖上可看出，當(dāng)電容電壓過(guò)零值時(shí)，電壓的變化率最大，此時(shí)流過(guò)電容的 電流幅值到達(dá)最大振幅值。而當(dāng)電容電壓到達(dá)最大幅值時(shí)，其電壓