1、2.4晶格振動與聲子絕熱近似下，固體的運動近似地簡化為兩個相對較小的子系統：電子和核(或 原子實)的運動問題。前面對電子體系的運動狀態作了討論，現在對第二個問題， 即核(或原子實)子系統的運動作一簡要回憶。如 2.1中所述，對給定的電子系 狀態n，原子實系統經受的有效勢場VN R 二 VLL R En R ，原子實間的庫倫相互作用VLL R +依賴于核構型的電子能En R描述原子實系統運動的哈密頓方程為：A21-_-一瓦 一2x(R)+ En(R) + VLL(R)J X(R)= ESX(R)2 I MI 1n-S(2.4-1)簡諧近似和正那么振動模上述方程涉及大量粒子的運動，數學上很難求解。

2、需要一個好的近似作為討 論的出發點。設晶體包含N個原胞，每個原胞有u個原子，第n個原胞中，第a個原子的平衡位置 為R = RR，Rn和R-分別為原胞(代表點)位置和原子:-在原胞中相對代表點的位置。 原子相對平衡位置的瞬時位移的直角分量為Svi(t)(i =1,2,3 )。將有效勢場Vn r在平衡核構型R。八Rn處作泰勒展開:-1赴Vn R 二 Vn R。-vN2 冋n h r Snai 匚 Sn & T(2.4-2)取常數項為零，一次項在平衡構型下恒等于零，展開式中第一個不為零的項就是 二次項。考慮原子實圍繞平衡位置作小振動的情形，高次項可忽略，這就是所謂的簡諧近似 。可以證明，由這樣的簡諧

3、勢場聯系在一起的N。個粒子構成的體系的運動，可通過適當的坐標變換，變為 3N個獨立的正那么坐標的一維簡諧運動。每個正那么坐標的簡諧運動描述的是體系所有粒子的集體運動，正那么運動模式各粒子的運動彼此間有確定的關系對周期排布的原子體系(晶體)，固體物理中給出，這種正那么運動模式為如下 形式的格波：1 黑(心e(j)(q)expn j(q)t(2.4-3)其中 e(i)(q) 滿足正交歸一關系：(2.4-4) e*卩(q)e(j)(q)八這相當于正那么運動模式的標準化條件：(245)-M：2snj)(q,t)*M12snji)(q,t)n jj它描述的是晶格原子振動的一種根本模式，是以波矢 為q和頻

4、率為j(q)的波的形式傳播的格波。格波的頻率與波矢有一定的關系 j(q)(后面常簡記 為 jq)，稱為色散關系。每個格波可由j,q標記。這 種由j,q確定的格波分為3支(由j標記)，每支都 有N個不同波矢q的格波，共有3N種格波。這3N。種格波就是晶體中原子振動的正那么運動模式。般的晶格振動可以表示為這些正那么運動模式(或格波)的線性疊加這些正那么模還可以分為不同類型。按照長波極限的振動特征，3支格波分成3支聲學波(acoustic和3 - 3支光學波(optical)。前者是晶格振動中整個原胞的所有核或原子實同位相一起振動， 后者是原胞內原 子實的相對振動。按照振動方向是與波矢方向平行還是垂

5、直，格波又分為 橫波(transverse)和縱波(longitudinal)。上述不同類型的正那么模(格波)，常用TA,T0丄A丄0來標記，其中的字母是相關英文單詞的第一個字母。局域振動模當雜質原子替代了基質原子，上述理想晶體的振動模式受到了擾動而有所變 化。不過可以想到，雜質濃度很低時，對大多數振動模式的擾動是很小的。不過 這時會出現個別的局域模，在這樣的模式中，離雜質原子的距離越大，那里的原 子振動越弱。這種模式的振動頻率也不在原先的連續譜帶內。由于這種模式的局域特性，它往往與雜質的局域電子態有較強的相互作用。晶格振動的量子化原子振動(3N：個位移s i(t)的一般情形，可 以用(2.4

6、-3)式那樣的根本格波的線性疊加表示：_彳_*aa.-=(Qj+(q)eq)t+ Qj_(q)e(q)t )審(q)exp(iq R)J NM qJj(Qj_(q)為復振幅)考慮歸一化和實數化1 - .- -Sn i(t)=*一 Qj(q,t)e屮(q)exp(iq RJNM jq(2.4-6)因為位移坐標Sn i (t)是實數，它要求ef(-q) =e*J(q)和Qj(-q,t)二Q*(q,t)。T Qj(q t ) (Qj+(q )切(+(Qj+ e嚴 q(t)(2.4-6)這樣的表示式相當于一個坐標變換， 把N個原子的 三維振動(由3N 個位移坐標描述)轉換成 3N 個正那么坐標 Qj(

7、q)的一維簡諧運動Qj(q,t)。每個正那么坐標描述的是 n個原子的一種集體運動模式。利用上述那些關系，經過一系列計算，可得用正那么坐標表示的體系哈密頓量：1 * *H 二亍Q*(q,t)Qj(q,t) + 2Q*(q,t)Qj (q,t)2 jq _1P；(q,t)Pj(q,t)2Q*(q,t)Qj(q,t)2 j q? - iG。于是，哈密頓算符變為(2.4-10)H 八 j(q) a?(q)a?j(q)jq-【注：得到這一表達式時，利用了：-Z g(q)(Q*q吒一QjqPjq-)=E 阿(G ( QjqPjq Q j ,/j =) = ，因為兩項求和都取jqjq到所有的q，正好抵消】。

8、其每一項對應一個由(j,q )確定的模式：一個頻率為 j(q)，波矢為q的格波。Ca*aa.aa.式中aj(q)aj(q)為粒子數算符，它的本征值為nj(q)，(-1 : r -也即 能量本征值為：円9)+ ： |計9)。 類似于輻射場的情形， 2丿能量量子 j(q)稱為聲子，nj(q)稱為該模式中的聲子數， 該模式的狀態可用其中的聲子數表示，寫成m(q)。一個正那么模中可以有任意數量的聲子，也即聲子是波色粒子。系統的總能量為所有模的能量之和:- - 1 E 八 j(q) nj(q)- jq-2(2.4-11)與諧振子情形類似，產生與湮滅算符作用在聲子態上有如下結果： a?(q) nj(q)

9、= 丁1十 n/q) |rij(q) + 1)和 aj(q) nj(q= 習小 T)由式2.4-9可得:Qgtg 備“(2.4-12).嚴?(q，t)二 I罔,q- jV 2 jq J于是，原子實位移2.4-6就可以用產生和湮滅算符表示。衛2札 i(t)h 1.-(a.q一 a?,T)e和(q)exp( iq Rn) 直jq丿 (2.4-13)聲子的熱平衡在所用的簡諧近似下，各正那么振動模相互獨立。沒有相互作用也就沒有模式 間的熱平衡。實際上，由于勢能展開式中還存在高次項稱為非諧項， 它意味著不同振動模式間存在相互作用，稱之為聲子-聲子相互作用，它可以導致不同振動模式間的能量交換，即振動狀態聲

10、子狀態的改 變，使不同模式間到達熱平衡 。這種到達熱平衡的過程比光躍遷的速率 快得多，在光躍遷的問題中， 通常都可以認為光躍遷是在振動 態熱平衡條件下進行的。在熱平衡條件下，一個頻率為，q的振動模處于本 征態n，或模中有n個聲子的幾率R正比于玻爾茲曼(Boltzma nn)因子：exp(- n/kBT)，kB 是玻爾茲 曼常數。因為總幾率a Pn = 1， Pn可表示成：nexp( nkBT)0、exp(- nkBT)n =0(2.4-14)= e kBT)en kBT = (1 r)rnPn 二上式最后一個等號右邊引進了簡化符號r= exp -、/%丁 。頻率為，q的振動模中的熱平均聲子數可

11、以表示為:oO遲 nexp(- n /kBT)n =00exp( nkBT)n =0n(2.4-15)expkBT1 1 r電子-聲子相互作用在絕熱近似下，由大量重粒子原子實和輕粒子電子組成的固體的運動狀態問 題，簡化為兩個相對較小的準獨立的系統的問題： 大量電子在固定原子實中的運 動和給定電子態下大量原子實的運動。固體系統的定態具有乘積波函數的形式：Y nl R,r二Xni R n R,。如2.1中所述，在這一近似中，省略了哈密Z頓方程中的mIiX2X項。考慮這一項的存在，電子和晶格原子實的運動不再獨立， 是偶合在一起的。換言 之，電子和聲子間存在相互作用，因而，所得到的電子態和聲子態不再是

12、嚴格的 定態，它們的狀態將隨時間變化，或說是發生狀態間的躍遷，從 屮 nl R,r 二 Xni R n R， 躍遷到能量相同的另一個狀態Y nR,r二XnR j R,。這里，電子態的變化是伴隨聲子態的變化，沒有光子的參與，常稱之為非無輻射躍遷。即使在絕熱近似下，電子系與原子實的運動也相互關聯，因而原子實的運已用下標指明其H，或說也存在電子-聲子相互作用。如2.1節中所述，原子實運動的有效勢場包含了“電子態的能量，它包含了電子系與原子實相互作用的奉獻， 動依賴于電子態。我們在標記原子實的本征波函數和本征能時， 相應的電子態。這種關聯導致了光躍遷過程中可以有聲子參與。 在后面相應章節 我們將會針對具體情況，采用具體模型進行討論。小結：通過上面的回憶，我們看到，通過假設干根本的近似，可以把本課程要討論的 問題歸結為三個子系統：輻射場，固體的電子體系和