1、精選優質文檔-傾情為你奉上知識框架掌握了數列的基本知識，特別是等差、等比數列的定義、通項公式、求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數學思想法的應用，就有可能在高考中順利地解決數列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數）例1、  已知an滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解  an+1-an=2為常數 an是首項為1，公差為2的等差數列an=1+2（n-1） 即an

2、=2n-1例2、已知滿足，而，求=？（2）遞推式為an+1=an+f（n）例3、已知中，求.解： 由已知可知令n=1，2，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） 說明  只要和f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數）例4、中，對于n1（nN）有，求.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數列an+1-an是公比

3、為3的等比數列，其首項為a2-a1=（3×1+2）-1=4an+1-an=4·3n-1 an+1=3an+2  3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1解法二： 上法得an+1-an是公比為3的等比數列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，an-an-1=4·3n-2，把n-1個等式累加得： an=2·3n-1-1(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數） 由上題的解法，得： (5)遞推式為思路：設,可以變形為：，想于是an+1-an是公比為的

4、等比數列，就轉化為前面的類型。求。 (6)遞推式為Sn與an的關系式關系；（2）試用n表示an。 上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2nan是公差為2的等差數列。2nan= 2+（n-1）·2=2n數列求和的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。2、錯項相減法：適用于差比數列（如果等差，等比，那么叫做差比數列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。適用于數列和（其中等差）可裂項為：，等差數列前項和的最值問

5、題：1、若等差數列的首項，公差，則前項和有最大值。（）若已知通項，則最大；（）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最大；2、若等差數列的首項，公差，則前項和有最小值（）若已知通項，則最小；（）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最小；數列通項的求法：公式法：等差數列通項公式；等比數列通項公式。已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知條件中既有還有，有時先求，再求；有時也可直接求。若求用累加法：。已知求，用累乘法：。已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求；形如的遞推數列都可以除以得到一個等差數

6、列后，再求。（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。（3）形如的遞推數列都可以用對數法求通項。（7）（理科）數學歸納法。（8）當遇到時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段形式。數列求和的常用方法：（1）公式法：等差數列求和公式；等比數列求和公式。（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘

7、構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：； ；，； ；二、解題方法：求數列通項公式的常用方法：1、公式法2、 3、求差（商）法 解： 練習 4、疊乘法 解： 5、等差型遞推公式 練習 6、等比型遞推公式 練習 7、倒數法 2數列求和問題的方法（1）、應用公式法等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。 135(2n-1)=n2【例8】 求數列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19

8、），前n項的和。解  本題實際是求各奇數的和，在數列的前n項中，共有1+2+n=個奇數，最后一個奇數為：1+n(n+1)-1×2=n2+n-1因此所求數列的前n項的和為（2）、分解轉化法對通項進行分解、組合,轉化為等差數列或等比數列求和。【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+n（n2-n2）解  S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規律的數列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解 Sn=3

9、n·2n-1（4）、錯位相減法如果一個數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列的公比，然后錯位相減求和例11、 求數列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n項的和解  設Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1    (2)x=0時，Sn=1(3)當x0且x1時，在式兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：例12、

10、求和注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。 在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在解決數列問題時的應用。二、常用數學思想方法1函數思想運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函數問題解決。【例13】  等差數列an的首項a10，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（lk）問n為何值時Sn最大？此函數以n為自變量的二次函數。a10  Sl=Sk（lk），d0故此二次函數的圖像開口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例14】設等比數列an前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q。分析  本題考查等比數列的基礎知識

11、及推理能力。解 依題意可知q1。如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應推出a1=0與等比數列不符。q1整理得  q3（2q6-q3-1）=0  q0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03換元思想【例15】  已知a，b，c是不為1的正數，x，y，zR+，且 求證：a，b，c順次成等比數列。 證明  依題意令ax=by=cz=kx=1ogak，y=logbk，z=logckb2=ac a，b，c成等比數列（a，b，c均不為0）數學5（必修）第二章：數列一、選擇題1數列的通項公式，則該數列的前（ ）項之和等于。A BC D2在等差數列中，若，則的值為（ ）A BC D3在等比數列中，若，且，則為（