1、初三幾何部分復習平行線平行線的判定：(1)同位角相等，兩直線平行。(2)內錯角相等，兩直線平行。(3)同旁內角互補，兩直線平行。平行線的性質(1)兩直線平行，同位角相等。(2)兩直線平行，內錯角相等。(3)兩直線平行，同旁內角互補。如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。注意：當角的兩邊平行且方向相同(或相反)時，這兩個角相等。當角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補。全等三角形能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的 角叫對應角。全等用符號0”表示 ABe A'B'

2、;C'表示A和A', B和B', C和C'是對應點。全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。如圖 27, AABG A'B'C' ,則有 A、B、C 的對應點 A'、B'、O' AB BG CA勺對應邊是 A'B'、 B'C'、C'A'。/A, / B, / C的對應角是/ A'、/ B'、/ C'oAB= A'B' , BC= B'C' , CA= C'A' / A= /A',

3、/ B= / B', Z C= / C'全等三角形的判定1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或 "SAS )2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角“或“ASA )3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊域“AAS )4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊邊邊”或"SS6 )5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊，直角邊"或" HL&#

4、39;)角的平分線定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點）在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理， 其中一個叫另一個的逆定理。例如：“兩直線平行，同位角

5、相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因為“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。軸對稱和軸對稱圖形把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。兩個圖形關于直線對稱

6、也叫軸對稱。定理1:關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。定理2:如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。定理3:兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。四邊形凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊

7、都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形； 有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。 1 ,2n邊形的對角線共有一 n（n -3）條。2說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數計算出它的對角線的條數，也可以由一個多邊形的對角線的條數求出它的邊數。多邊形內角和定理：n邊形內角和等于（n- 2）180° 。多邊形內角和定理的推論：n邊形的外角和等于 360° 。平行四邊形1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形性質定理3、平行四邊形

8、性質定理1：平行四邊形的對角相等。2：平行四邊形的對邊相等。4、平行四邊形性質定理5、平行四邊形性質定理6、平行四邊形判定定理7、平行四邊形判定定理8、平行四邊形判定定理2 推論：夾在平行線間的平行線段相等。3：平行四邊形的對角線互相平分。1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。矩形1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）1：矩形的四個角都是直角。2：矩形的對角線相等。1：有三個角是直角的四邊形是矩形。2：對角線相等的平行

9、四邊形是矩形。2、矩形性質定理3矩形性質定理4、矩形判定定理5、矩形判定定理說明：要判定四邊形是矩形的方法是： 法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1 ）法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）菱形菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2、菱形的性質1 ：菱形的四條邊相等。3、菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。5、菱形

10、判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。說明：要判定四邊形是菱形的方法是：法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1 ）正方形正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形性質定理1 ：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分

11、一組對角。4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。注意：要判定四邊形是正方形的方法有方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。 （這是用定義證明）方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）梯形1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。4、梯形的高：

12、梯形有兩底的距離叫做梯形的高。5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。7、等腰梯形性質定理 1 :等腰梯形在同一底上的兩個角相等。8、等腰梯形性質定理 2:等腰梯形的兩條對角線相等。9、等腰梯形的判定定理 l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的判定定理 2:對角線相等的梯形是等腰梯形。中位線1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。4、

13、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。相似形一、比例線段1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是mr n,那么就說這兩條線段的比是 a： b= m n （或旦=m） b n2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a： b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 且二c b da c4、比例外項：在比例 一=（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外項。 b da c5、比例內項：在比例 一=（或a： b=c： d）中b、c叫做比例內項。b da c6、第四比例項：在比例 一

14、=（或a： b = c： d）中，d叫a、b、c的第四比例項。 b da b7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為 一=一（或a：b=b：c時，我們把bb a叫做a和d的比例中項。8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四 條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。9、比例的基本性質：如果 a： b=c： d那么ad=bc逆命題也成立，即如果 ad=bc,那么a： b= c ： d10、比例的基本性質推論： 如果a： b=b： d那么b2=ad,逆定理是如果b2=ad那么a： b=b： c。 說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質及推

15、例式與等積式互化的理論依據。a c a b cd11、合比性質：如果一=一,那么=b db da c m ,八 a c.ma12.等比性質：如果 一=一=,(b+d +m=0),那么=一b d nb d n b說明：應用等比性質解題時常采用設已知條件為k,這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項， 叫做把這條線段黃金分割。說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條5 -1線段白5倍得到點C,則點C就是AB的黃金分割點。相似三角形相似三角形：兩個對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三

16、角形。相似比：相似三角形對應邊的比k,叫做相似比(或叫做相似系數)。三角形相似的判定定理：(1)判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么就兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。(2)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。(3)判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這 兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應成比例，兩三角形相似。(4)直角三角形相似的判定定理如果 一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一

17、個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。相似三角形的性質：(1)相似三角形性質 1：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等 于相似比。(2)相似三角形性質2:相似三角形周長的比等于相似比 。說明：以上兩個性質簡單記為：相似三角形對應線段的比等于相似比。(3)相似三角形面積的比等于 相似比的平方。解直角三角形a1、正弦：把銳角 A的對邊與斜邊的比叫做/ A的正弦，記作sinA= 2、余弦：把銳角 A的鄰邊與斜邊的比叫做/ A的余弦，記作cosA =-3、正切：把銳角 A的對邊與鄰邊的比叫做/ A的正切，記作tanA = - bb4、余切：把銳角 A的

18、鄰邊與對邊的比叫做/ A的余切，記作COtA = a1說明：由te義可以看出tanA cotA = l （或與成tanA =）cot A5、銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數說明：銳角三角函數都不能取負值。0v sinA v l ; 0v cosAv； l6、銳角的正弦和余弦之間的關系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余 弦值等于它的余角的正弦值。即 sinA = cos （90° - A） = cosB; cosA= sin （90° - A） = sinB7、銳角的正切和余切之間的關系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，

19、任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。即 tanA = cot （90° - A） = cotB ; cotA = tan （90° A） = tanB8、三角函數值的變化規律（1）當角度在0° 90°間變化時，正弦值 （正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）當角度在0° 90°間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減小）而減小 （或增大）。9、同角三角函數關系公式22 _(1) sin A +cos B =1 ； (2)1sin Atan A =； (3) tanA =cot AcosA10. 一些特殊角的三角函

20、數值三角函數(F30Psina0-L2coscr1息2tana0733cot er, 一宿4於逞 2旦214221T014314330二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素， 求出所有未知元素的過程， 叫做解直角三角形。若直角三角形 ABC中，/ C= 90° ,那么 A B、C, a, b, c中除/ C= 90°外，其余 5個元素之間有關系：,.、2,22(l) a +b =c ； (2) /A十/B= 90 ;abab(3) sinA = ； cosA =； tanA = ； cotA = ccba所以，只要知道其中的 2個元素（至少有一個是邊），就可以求

21、出其余 3個未知數。例如 RtABC中，/ C= 90° ,且/ A= 30° , a=5,一一 a1一則由：一=sin A = sin 30 = 1 c = 10c2sin B = sin 60 = - b =5.3 c2A B =90 ： B =60.b = 5 .3, c =10, B = 60應用題中要注意：(1)仰角，俯角見圖 5-3（3）深度、燕尾角如燕尾槽的深度，見圖 5-5圖5-5圖5-6放是深度 仞外口寬占C里口寬燕尾角（4）坡度、坡角h見圖5一 6坡度i = 7坡度的垂直局度h水平寬度l, i = h = tana（a叫坡角）圓圓是軸對稱圖形，經過圓心的

22、每一條直線都是它的對稱軸。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對兩條弧。弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一個條弧。推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。頂點是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。推理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有 組量相等，那么它們所對應的其

23、余各組量都分別相等。圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。推理1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推理2:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑。推理3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。圓的內接四邊形多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫圓內接多邊形， 這個圓叫這個多邊形的外接圓 定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。例如圖6 1,連EF后，可得： /DEF= / B/DEF+ / A= 180°A+ / B= 180°BC/I DA

24、 直線和圓的位置關系 直線和圓相交 u dvr;直線和圓相切。d=r;直線和圓相離。d>r;直線和圓相交。d v r切線的判定和性質切線的判定：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑推理1:經過圓心且垂直干切線的直線必經過切點。推理2:經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。三角形的內切圓要求會作圖，使它和己知三角形的各邊都相切分角線上的點到角的兩邊距離相等。.兩條分角線的交點就是圓心。這樣作出的圓是三角形的內切圓，其圓心叫內心，三角形叫圓的外切三角形。和多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。切線長定理經過圓外一點

25、可作圓的兩條切線。在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。圓心和這一點的連線平分兩 條切線的夾角，如圖6-6 B C為切點，。為圓心。AB= AC, / 1 = / 2弦切角頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切弦切角定理：弦切角等于它所央的弧對的圓周角。推理如果兩個弦切角所央的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。例如圖67, AB為切線,則有：/ C= / BAE / BA& / DO / D圓和圓的位置關系如圖6 9若連心線長為d,兩圓的半徑分別為 R, r,則:1、兩圓外離=d>

26、;R+ r;2、兩圓外切 =d=R+ r；3、兩圓相交 u R rvdvR+ r (R>r)4、兩圓內切 u d=R r； (R>r)5、兩圓內含二 dvR r。(R>r)定理相交兩圓的連心線垂直平分丙兩圓的公 共弦。如圖6- 10, O, O2為圓心，則有：ABX 002,且AB被OQ平分正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形叫正 多邊形。相交圖 6-10定理：把圓分成 n (n>3)等分:(l )依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內按正多邊形;(2)經過各分點作圓的切線， 以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形。定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓。正多邊形的外接(或內切)圓的圓心叫正