1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列專題復(fù)習(xí) 桐鄉(xiāng)一中 張曉東一高考要求（一）05年考查情況（以理科為例）選擇填空解答總分值考查內(nèi)容全國(guó)I0分0分12+6分18分等比數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、與函數(shù)聯(lián)系考查數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法全國(guó)II5分0分12分17分等差等比數(shù)列的性質(zhì)、等差等比的通項(xiàng)、等比數(shù)列的定義、無窮等比數(shù)列求和全國(guó)III0分0分12分12分等差等比綜合、研究下標(biāo)北京卷0分5分12分17分不完全歸納、與奇偶有關(guān)的數(shù)列遞推、等比的定義、無窮等比數(shù)列求和天津卷0分4分12+6分22分與奇偶有關(guān)的數(shù)列遞推、等差求和公式、錯(cuò)位相減法、數(shù)列的極限，與導(dǎo)數(shù)、三角綜合上海卷0分4分14+9分27分與等差有關(guān)的數(shù)表

2、問題、考查等差求和與等比通項(xiàng)的數(shù)列應(yīng)用題、與向量聯(lián)系的綜合題廣東卷5分0分0分5分?jǐn)[動(dòng)數(shù)列的極限重慶卷0分4分12分16分?jǐn)?shù)列的極限，數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列與不等式綜合、放縮法、兩邊取對(duì)數(shù)、裂項(xiàng)相消山東卷0分0分12分12分線性遞推、錯(cuò)位相減法、數(shù)學(xué)歸納法（或二項(xiàng)式展開）江蘇卷5分0分14分19分等比的性質(zhì)、待定系數(shù)、等差的定義、聯(lián)系不等式的證明福建卷5分4分14分23分等差的通項(xiàng)、數(shù)列的極限、數(shù)列的遞推、有窮數(shù)列、數(shù)列與不等式綜合遼寧卷5分0分12分17分?jǐn)?shù)列聯(lián)系函數(shù)圖象、數(shù)列的遞推、數(shù)學(xué)歸納法、無窮等比數(shù)列求和江西卷0分0分12分12分二次函數(shù)形式遞推、迭代湖北卷0分4分14分18分等比求和、等

3、差中項(xiàng)、倒數(shù)再迭加、數(shù)列極限、類似數(shù)列定義湖南卷10分0分14分24分等差等比綜合、無窮等比數(shù)列求和、周期數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)綜合的應(yīng)用題、數(shù)學(xué)歸納法浙江卷5分0分14分19分等差求和、數(shù)列極限、數(shù)列與解析幾何、導(dǎo)數(shù)綜合、數(shù)學(xué)歸納法（二）教學(xué)要求：1等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種最基本、最重要及應(yīng)用最廣泛的數(shù)列，其他數(shù)列問題的解決往往借助它們完成，或經(jīng)過變形轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或利用等差、等比數(shù)列的研究方法。所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)列中最基本、最重要也最易把握的知識(shí)。2數(shù)列的通項(xiàng)是數(shù)列最重要、最常見的表達(dá)形式，它是數(shù)列的核心。應(yīng)弄清通項(xiàng)公式的意義項(xiàng)數(shù)的函數(shù)；理解通項(xiàng)公式的作用可以用通項(xiàng)公式

4、求數(shù)列的任意一項(xiàng)的值及對(duì)數(shù)列進(jìn)行一般性的研究。3數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達(dá)形式，可以是一階線性遞推、二階線性遞推、二次函數(shù)形式遞推、勾函數(shù)形式遞推、與奇偶聯(lián)系的遞推等，是高考的熱點(diǎn)。要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的訓(xùn)練。4數(shù)列求和的問題需要根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)選擇解決方法，必須掌握常用的數(shù)列求和方法，但數(shù)列求和往往和其他知識(shí)綜合在一起，綜合性教強(qiáng)。5自從文科不考數(shù)學(xué)歸納法以來，數(shù)學(xué)歸納法幾乎成了一個(gè)理科必考的內(nèi)容。而且常常和放縮法、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等聯(lián)系在一起，能力要求較高。6縱觀近幾年的高考，每年都有求極限的題目。常以選擇題、填空題的形式命題，有時(shí)也作為某一大題的某一問出現(xiàn)，難度不大。7數(shù)列

5、的應(yīng)用極其廣泛，因此盡管現(xiàn)在的應(yīng)用題多為概率統(tǒng)計(jì)，但不排除考數(shù)列應(yīng)用題的可能，也有可能是數(shù)列與概率交匯。8數(shù)列常與函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、二項(xiàng)式等知識(shí)聯(lián)系在一起，以它的復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特征成為高考的中檔題或壓軸題。9函數(shù)思想、方程思想、化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用比比皆是，因此要注意對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的挖掘。10由于命題者大多為大學(xué)教授，故應(yīng)注重?cái)?shù)列與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系。二典例剖析：（一）等差等比：等差、等比數(shù)列一般從定義、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式、性質(zhì)四方面研究。【例1】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，其中為常數(shù)， 為非零常數(shù)。（I）令，證明是等比數(shù)列（

6、II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解】（I） 故是等比數(shù)列 （II） = =+ = =【評(píng)析】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比的求和公式，尤其要注意公比是否為1。【例2】設(shè)無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為。（I）若首項(xiàng)公差，求滿足的正整數(shù)（II）求所有的無窮等差數(shù)列，使得對(duì)一切正整數(shù)都有【解】（I）由得：得因，故（II）因?qū)σ磺姓麛?shù)都成立故對(duì)時(shí)必成立，因此有即得，經(jīng)檢驗(yàn)不符合故這樣的數(shù)列有3個(gè)：，或或【評(píng)析】本題主要考查等差的求和公式，其中第2問屬探索性問題，考查學(xué)生分析問題解決問題能力。（二）數(shù)列的遞推1一階線性遞推: 2二階線性遞推：【例3】中，求通項(xiàng)【解】 故 【評(píng)析】本題的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為3形式遞推：

7、【例4】已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解】由得從而 = =故【評(píng)析】本題的關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為以及迭代的技巧。4形式遞推：【例5】若則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)（I）求的不動(dòng)點(diǎn)（II）數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解】（I）不動(dòng)點(diǎn)為和 （II）由得又得除于得故得【評(píng)析】求型通項(xiàng)公式是利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)來求的，盡管這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是高考不要求的，但考題往往就從這些地方出，只需增加一些鋪墊。5 形式遞推： 【例6】已知數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解】由 得除于得：即從而【評(píng)析】型通項(xiàng)也是利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)來求的，但本題構(gòu)造數(shù)列，便大大降低了難度。6和與奇偶聯(lián)系的遞推：【例7】已知數(shù)列前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的

8、通項(xiàng)公式【解】相減得： 疊加得： =經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上式【評(píng)析】是很常規(guī)的一階線性遞推，但增加了后就變的不尋常了，所以我們需要在常規(guī)的周圍尋找一些不尋常。（三）數(shù)列求和數(shù)列求和的常見方法有錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分解轉(zhuǎn)化法、倒序相加法、若涉及正負(fù)相間的數(shù)列求和常需分類討論。 【例8】已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，令，求函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)【解】由得 =【評(píng)析】本題把錯(cuò)位相減法和求導(dǎo)聯(lián)系，給人耳目一新的感覺。【例9】數(shù)列滿足且（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明： （II）已知不等式對(duì)成立，證明：（），其中無理數(shù)【解】（I）略 （II）兩邊取對(duì)數(shù)并利用得 于是把上式從1到求和可得： 故【評(píng)析】本題的難點(diǎn)在于放縮以及兩邊

9、取對(duì)數(shù)再進(jìn)行疊加。（四）數(shù)列極限【例10】已知，數(shù)列滿足（I）已知數(shù)列的極限存在且大于零，求（將用表示）（II）設(shè)，證明【解】（I）對(duì)兩邊取極限得解得，又故 （II）得故=【評(píng)析】本題主要考查數(shù)列極限的概念以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題能力。（五）數(shù)學(xué)歸納法【例11】設(shè)數(shù)列，證明對(duì)一切正整數(shù)成立【解】當(dāng)時(shí)，不等式成立 假設(shè)時(shí)，成立， 當(dāng)時(shí)，由于在時(shí)遞增， 故因此只需證只需證只需證 而此式顯然成立故當(dāng)時(shí)也成立，故對(duì)一切正整數(shù)成立【評(píng)析】本題的證法較多，上面只給出利用函數(shù)的單調(diào)性的方法。【例12】（I）設(shè)函數(shù)，求的最小值（II）設(shè)正數(shù)滿足，證明【解】（I）利用求導(dǎo)的方法可得 （II）當(dāng)時(shí)由（I）的結(jié)論知

10、命題成立假設(shè)時(shí)命題成立，即時(shí)當(dāng)時(shí)，令，則，由歸納假設(shè)知于是 同理 可得+得故當(dāng)時(shí)命題也成立故命題對(duì)一切正整數(shù)成立【評(píng)析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造，從而把時(shí)需要證明的式子分兩段解決。（六）數(shù)列應(yīng)用題【例12】自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響。用表示某魚群在第年年初的總量，且。不考慮其他因素，設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)（I）求與的關(guān)系式（II）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（III）設(shè)，為保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是多少？

11、證明你的結(jié)論。【解】（I） （II） 特殊地，即得因故猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變。 （III）時(shí)得 特殊地 ，因故， 于是由此猜測(cè)的最大允許值是1，下證：當(dāng)，時(shí)，都有時(shí)顯然成立假設(shè)時(shí)成立即當(dāng)時(shí)，=又，故故時(shí)也成立故為保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是1【評(píng)析】本題以捕魚問題為背景考查了函數(shù)、數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式、數(shù)學(xué)歸納法以及一般與特殊的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。（七）數(shù)列與其他知識(shí)的交匯1與函數(shù)交匯【例13】已知數(shù)列滿足，我們知道當(dāng)取不同值時(shí)，得到不同的數(shù)列。如當(dāng)時(shí)，得到無窮數(shù)列：當(dāng)時(shí)，得到有窮數(shù)列：設(shè)數(shù)列滿足，求證取數(shù)列中任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮

12、數(shù)列【解】,不妨設(shè)，則 故取數(shù)列中任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列【評(píng)析】與所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式互為反函數(shù)，本題是一個(gè)較為隱蔽的數(shù)列與反函數(shù)交匯的題目。2與不等式交匯【例14】已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（I）設(shè)，證明：（II）設(shè)（I）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明【解】（I）由條件知 故（II）由（I）的過程可知 【評(píng)析】在數(shù)列與其他知識(shí)的聯(lián)系中以不等式最為緊密，而利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推算論證具有較大的靈活性，因而不易把握。3與導(dǎo)數(shù)、解析幾何交匯【例15】設(shè)點(diǎn)和拋物線，其中，由以下方法得到：，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到的距離是到上的點(diǎn)的最短距離點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到的距離是到上的點(diǎn)的最短距離，證明是等差數(shù)列【解】設(shè)點(diǎn)

13、是上任意一點(diǎn)則令則由題意得即=0又因?yàn)楣始聪旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)顯然成立假設(shè)時(shí)成立，即當(dāng)時(shí)由知又故 故時(shí)也成立故對(duì)均成立。【評(píng)析】本題是數(shù)列與求導(dǎo)、解析幾何綜合的題目，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題能力，難度較高。4與三角交匯【例16】設(shè)函數(shù)（I）證明（II）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明（III）設(shè)在內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列，證明： 【解】（I）（II）略 （III）設(shè)是的任意正實(shí)根，即，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)，使，由的符號(hào)知滿足的正根都為的極值點(diǎn) 由題設(shè)條件，為的全部實(shí)數(shù)根且滿足 則 = 由于故由知【評(píng)析】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)分析問題的能力。5與概率交匯【例17】甲

14、乙兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，由對(duì)方接著擲。第一次由甲擲，求第次由甲擲的概率【解】第次由甲擲這一事件包含兩類第一類：第次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲，概率為第二類：第次由乙擲，第次由甲擲，概率為故+，即+，由一階線性遞推的方法可得【評(píng)析】數(shù)列與概率結(jié)合是應(yīng)用題的一種重要形式。6與高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)系【例18】（2005湖北）已知不等式其中為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足（I）證明（II）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）（III）試確定一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都

15、有【解】（I）（II）略 （III）因，令有得故取，可使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有【評(píng)析】本題第三小題有點(diǎn)類似數(shù)列極限的“定義”，高考命題者大多為大學(xué)教授，故應(yīng)引起重視。三知能訓(xùn)練（一）選擇題1有限數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為的“凱森和”，如果有99項(xiàng)的數(shù)列的數(shù)列的“凱森和”為1000，那么有100項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為（ ）A1001 B999 C991 D9902已知數(shù)列滿足若，則（ ）A B C D3有一個(gè)塔形幾何體由若干正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面的各邊中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方

16、體的個(gè)數(shù)至少是（ ）A4 B5 C6 D7 4一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)圖象是（ ） A B C D5數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是非零常數(shù)，則存在數(shù)列使得（ ）A，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列B，其中和都為等差數(shù)列C ，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列D，其中和都為等比數(shù)列6 令，給定，考察由定義的數(shù)列，其中使數(shù)列只取有限個(gè)不同的數(shù)值的實(shí)數(shù)的值有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無數(shù)個(gè)（二）填空題7設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和是 8當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，有；當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，有，由此可歸納出當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，有如果成等比數(shù)列時(shí)，類比上述方法，歸納出的等式為 9使用計(jì)算器依照

17、預(yù)先編制的程序進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)依次輸入兩個(gè)數(shù)據(jù)為1和1時(shí)，輸出的結(jié)果為2；若依次輸入兩個(gè)數(shù)據(jù)為和時(shí)，輸出的結(jié)果為；依次輸入兩個(gè)數(shù)據(jù)為和時(shí)，輸出的結(jié)果為；則當(dāng)依次輸入兩個(gè)數(shù)據(jù)為1和時(shí)，輸出的結(jié)果為 10阿諾卡塔游戲玩法：現(xiàn)有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的次序穿在一根竹竿上，現(xiàn)在的任務(wù)是將這堆圓木片穿到其他一根竹竿上，但必須遵循如下規(guī)則：1） 圓木片只能一一搬動(dòng)；2） 大的木片只能放在小的木片下面； 3） 搬動(dòng)的次數(shù)盡可能少現(xiàn)有5塊圓木片組成的阿諾卡塔，問至少移動(dòng) 次能完成任務(wù)。 （三）解答題11數(shù)列的前項(xiàng)和為（I）求證：為等差數(shù)列（II）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)12已知數(shù)列中，且，其中（I）求（II）求的通項(xiàng)公式13已知函數(shù)的最大值