1、因式分解拓展題解板塊一： 換元法例 1 分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2【解析】將x24x8 u看成一個字母，可利用十字相乘得原式2u2 2 23xu 2x2(u x)(u 2x) (x24x 8 x)(x24x 82x)例 2 分解因式：(x25x 2)(x25x 3)12【解析】方 法 1：將22x25x看作一個整體，設(shè)x25x t，則原式 =(t 2)(t 3) 12 t25t 6 (t 1)(t 6) (x 2)(x 3)(x25x 1)方法 2：將x25x 2看作一個整體，設(shè)x25x 2 t，則原式 =t(t 1) 12 t2t 12 (t 3)(t 4) (

2、x 2)(x 3)(x25x 1)2方法 3：將x25x 3看作一個整體， 過程略 . 如果學(xué)生的能力到一定的程度， 甚至連換元都 不用，直接把x25x看作一個整體，將原式展開，分組分解即可，則原式(x25x)25(x25x) 6(x25x 1)(x25x 6) (x 2)(x 3) (x25x1).【鞏固】分解因式：(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15【鞏固】分解因式：(x2x 1)(x2x 2) 12例 3 證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加 1 是整數(shù)的平方即 x y x 2y x 3y x 4y4y4(x25xy225y2)2例 4 分解因式(2a 5)(a29)(2a7)91【解析

3、】原式(2a 5)(a 3)(a 3)(2a 7)91 (22aa 15)(2a2a 21)91設(shè)2a2a 15 x，原式x(x 6)91 x26x 91 (x 13)(x7)(2a2a28)(2a2a8)【鞏固】分解因式(x23x 2)(3 8x 4x2)90【解析】原式(x 1)(x 2)(2x 1)(2x 3)90(2x25x 3)(2x25x2) 90原式(y 3)(y2)90 y25y 84(y12)(y7)(2x25x12)(2x7)(x 1)22例 5 分解因式：4(3x2x 1)(x22x 3) (42xx 4)2【解析】咋 一看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2x 1)(x

4、22x3) 4x2x 4，故可設(shè)3x2x 1 A,x22x 3 B，2則4x2x4AB.鞏固】解析】故原式 =4AB (A(3x2x分解因式：(a b1) (x22x 3)2ab)(a b 2) (1(2x23xab)24 個地方，2)2.解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共 程，不妨設(shè)a bx,ab y，2 2 2則原式=(x 2y)(x 2)(1 y) x 2xy y 2y故采取換元法后會大大簡化計算過2x例 6 分解因式：(X 1)4(x 3)4272解析】設(shè) 這四個連續(xù)整數(shù)為：x 1、x2、x 3、x 4原式(x25x25)1(x25x5)1 1(x22 2 25x 5)211

5、(x25x 5)2鞏固】若x，y是整數(shù)， 求證：xyx2y x3yx 4y y4是一個完全平方數(shù)令 x25xy 4y2u上式u(u 2y2) y4(u y2)2(x25xy 5y2)2【解析】設(shè)yx 1X 3 X 2，則原式=(y 1)4(y 1)4272 2(y46y21) 272 2【鞏固】分解因式：a444(a 4)4【解析】為方便運(yùn)算，更加對稱起見，我們令x a 2板塊二：因式定理因式定理：如果x a時，多項式anXna. 1Xn 1. a1X a的值為0,那么x a是該多項式的一個 因式.有理根：有理根c-的分子p是常數(shù)項ao的因數(shù)，分母q是首項系數(shù)q例 7 分解因式：2x3x25x

6、 2【鞏固】ao2的因數(shù)是1，2，an2的因數(shù)是1，2.1因此，原式的有理根只可能是1，2(分母為 1)，丄2因為f (1)2 15 26，f( 1)2 1 5 20，于是1是f (X)的一個根，從而X 1是f (X)的因式，這里我們可以利用豎 式除法，此時一般將被除式按未知數(shù)的降幕排列，沒有的補(bǔ)0:可得原式(2x23x 2)( x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)點(diǎn)評：觀察，如果多項式f (x)的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說明f(1)0；如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，則說明f( 1) 0.【鞏固】分解因式：x62x53x44x33x22x 1解析：本題有理根

7、只可能為1.1當(dāng)然不可能為根(因為多項式的系數(shù)全是正的)， 經(jīng) 檢 驗1是 根 ,所以原式有因式X1,原式(X1)(x5X42x32x2:cX1)容易驗證1也是X54X 2x32x2x 1的根，54XX322x 2xX 1(x1)(x422x 1) (x1)(x21)2,所以X6c 5c 42x 3x4x33x22x1 (x 1)2(x21)2【鞏固】分解因式：x39x2y 26xy224y3解析：x39x2y 26xy224y3(x 2y)(x 3y)(x 4y)例 8 分解因式：x3(a b c)x2(ab be ca)x abc【解析】常數(shù)項abe的因數(shù)為a，b，e，ab，be，ea，a

8、be把x a代入原式，得所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且【鞏固】分解因式：(I m)x3(3l 2m n)x2(2l m 3n)x 2(m n)【解析】如果多項式的系數(shù)的和等于0,那么 1 一定是它的根；如果多項式的偶次項系數(shù)的和減去奇次項系數(shù)的和等于 0,那么1一定是它的根現(xiàn)在正是這樣：所以x 1是原式的因式，并且板塊三：待定系數(shù)法如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等即，如果anxnan 1xn 1an2xn2La1x1a0bnxnbn1xn 1bn 2xn2Lb1x1b0那么anbn，an1bn1，玄16，a。b0.例 9 用待定系數(shù)法分解因式：x5x 1【解析】原式的

9、有理根只可能為1,但是這 2 個數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式?jīng)]有有理根,因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故x5x 1(x2ax1)(x3bx2ex1)或x5x 1(x2ax 1)(x3bx2ex 1)2x23x23x 1 2x2X5x22x32x23x25x3x23x2x22x20an的因數(shù).例 6 分解因式：(X 1)4(x 3)4272ab0a 1c ab 1故0，解得b1，所以x5x 1 ( x2x 1)(x3x21)ac b 10c 0ac1由第一個方程與第三個方程可得c a,d b,再把它們代入第二個方程中，得ab ab 1矛盾!所以，x6x31不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式

10、的積例 10 分解因式：x4x32x2x 3【解析】原式的有理根只可能為1，3，但是這四個數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有 ( 有理系數(shù)的 ) 一次因式 我們設(shè)想x4x32x2x 3可以分為兩個整系數(shù) 由于原式是首 1 的( 首項系數(shù)為 1)，兩個二次因式也應(yīng)當(dāng)是首 1 的2 2 22x2x 3( x2ax b)( x2cx d )c、d有待我們?nèi)ゴ_定比較式兩邊x3，x2，x的系數(shù)c 1(2)d ac2(3)bcad1(4)bd3(5)這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了b、d是整數(shù) ! 根據(jù)這一點(diǎn)，L./IRd從(5) 可以得出b1或b1，當(dāng)然也可能是b3或b

11、3d 3 d3d 1 d1在這個例子中由于因式的次序無關(guān)緊要，b 1b1我們可以認(rèn)為只有或這兩種情況d 3d3將b 1，d 3，代入 (4) ，得c 3a 1將與相減得2a 2，于是a 1，再由得c 2這一組數(shù) (a 1，b 1，c 2，d 3)不僅適合、，而且適合.因此x4x32x2x 3 ( x2x 1)(x22x 3)將b 1，d 3,代人，得c 3a1事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況42x4x21是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積4 2 2 24x21 (x2x 1)(x2x 1).1不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積2x21能夠分解，那么一定分解為21)( x2b

12、x 1)【鞏固】 解析： 我們知道x2x4x4x如果(x2(x2ax1)(x2bx1)或ax(1)(2)3或a2b03 2ax3與x2的系數(shù)可得：ab由(1) 得ba，代入 (2) 得a2所以，x4x21不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積(從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積 )1能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積?1 (x3ax2bx 1)(x3比較【鞏固】x6解析： 設(shè)x63x3x比較5x，21221，即a2a3x及x的系數(shù)，得adcx2dx 1)，c0bc 11，沒有整數(shù)a能滿足這兩個方程的二次因式的乘積于是，設(shè)x4x3其中整系數(shù)a、b、ab將與 相加得2a 0. 于是a 0，再由

13、 得c 1. 這一組數(shù)(a 0，b 1，c 1，d3)，雖然適合、，去卩不適合，因而x4x32x2x 3 (x21)(x2x 3).事實上，分解式是惟一的，找岀一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫岀分解式，考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要板塊四：輪換式與對稱式對稱式：x、y的多項式x y,xy,x2y2,x3y3,x2yxy2，在字母x與y互換時，保持不變這樣的多項式稱為x、y的對稱式.類似地，關(guān)于x、y、z的多項式x y z，x2y2z2，xy yz zx，x3y3z3，x2yx2z y2zy2xz2xz2y,xyz，在字母x、y、z中任意兩字互換時，保持不變.這樣的多項式稱為x、y z的對稱式

14、.輪換式：關(guān)于x、y、z的多項式x y z，x2y2z2，xy yz zx，x3y3z3，x2yy2zz2x，2 2 2xy yz zx，xyz在將字母x、y、z輪換(即將x換成y，y換成z，z換成x)時，保持不變.這樣的多項式稱為x、y、z的輪換式.顯然，關(guān)于x、y、z的對稱式一定是x、y、z的輪換式.但是，關(guān)于x、y，z的輪換式不一定是對稱式例如，x2y y2z z2x就不是對稱式.次數(shù)低于 3 的輪換式同時也是對稱式.兩個輪換式 (對稱式 )的和、差、積、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是輪換式 (對稱式 ). 例 11 ：分解因式：x2(y z)y2(z x) z2(x y)解析：

15、x2(y z) y2(z x) z2(x y)是關(guān)于x、y、z的輪換式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作關(guān)于x的多項式，那么在x y時，它的值為y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0.因此，x y是x2(y z) y2(z x) z2(x y)的因式.2 2 2由于x (y z) y (z x) z (x y)是x、y、z的輪換式，可知y z與z x也是它的因式.從而它們的積(x y)(y z)(z x)是x (y z) y (z x) z (x y)的因式.由于、都是x、y、z的三次多項式，所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù)k，即有x (y z) y (z .x

16、) z (x y) k(x y)(y z)(z x)現(xiàn)在我們來確定常數(shù)k的值為此，比較的兩邊x2y的系數(shù)：左邊系數(shù)為1，右邊系數(shù)為k.因此，k 1.于是x (y z) y (z x) z (x y) (x y)(y z)(z x)思路 2:利用 y z = (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2y2) yz(y2z2) zx(z2x2)【解析】此式是關(guān)于x，y，z的四次齊次輪換式，注意到x y時，原式0,故x y是原式的一 個因式.同理，y z，z x均是原式的因式，而(x y)( y z)(z x)是三次輪換式，故還應(yīng)有一個一次輪換式， 設(shè)其為k(x yz)，故原式k(x y

17、z)(xy)(yz)(zx)，展開并比較系數(shù)可知，k1，故原式(x yz)(xy)(yz)(zx).思路 2:利用 x2補(bǔ)(x 2z2)+(z22y)家庭作業(yè)練習(xí) 1 .分解因式：4(x5)(x6)(x10)(x212) 3x2原式4(x217x60)(x216x60)3x24 (x216x60) x(x216x60) 3x2練習(xí) 2 .要 使x 1x3x4x8m為完全平方式，則常數(shù)m的值為【解析】 x 1 x3x4x8m(x25x 4)(x25x24)m(x2225x)220(x25x)96m，則m 196練習(xí) 3 .分解因式：(x26x 8)(x214x48) 12【解析】原式(x2)(x

18、4)(x6)(x8)1222(x210 x 16)(x210 x24) 12設(shè)t x210 x 16，則原式t(t8)12 (t 2)(t 6)(x2210 x 18)(x10 x22)練習(xí) 4 .分解因式：(x2xy2 2y ) 4xy(x2y2)【解析】設(shè)x2y2a，xy b，則原式(a2b) 4ab (ab)22 2 2(x y xy).練習(xí) 5 .分解因式：2x32x5x 2練習(xí) 6 .分解因式：3x6x211x 6練習(xí) 7 .用待定系數(shù)法分解：54.x x 1【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2 個數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有有理根,因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故x5x41 (x2ax 1)(x3bx2cxbx1)或x52cx 1)42x 1 (x ax54x (a b)x321)(x bx cx 1)54x x1(x2ax1)(x3(ab c1)x3(ac b 1)x2(a c)x 1ab1a1,cab10-c故，解得b0，所以xx41 (x2x1)(x3x 1)acb 10c1ac0事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況練習(xí) 8 .分解因式：a3(bc)b3(c3a) c (a b)【鞏固】a3(b c)b3(ca)c3(a b)是關(guān)于a、b c的輪換式.它有一次因式(a