1、習題課綜合法與分析法明目標、知重點加深對綜合法、分析法的理解，應用兩種方法證明數學問題1對綜合法的理解綜合法是中學數學證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設到結論的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發，經過一系列的中間推理，最后導出所要求證的命題綜合法是一種由因導果的證明方法綜合法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)P1P2Pn(結論)2對分析法的認識分析法是指從需證的問題出發，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉化為判定那些條件是否具備，其特點可以描述為“執果索因”，即從未知看需知，逐步靠攏已知分析法的書寫形式一般為“因為，為了證明，只需證明，即，因此，只需證明，

2、因為成立，所以，結論成立”分析法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)Pn2Pn1Pn(結論)分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹性體現在分析過程步步可逆題型一選擇恰當的方法證明不等式例 1 設a，b，c為任意三角形三邊長，Iabc，Sabbcca，試證：3SI2<4S.證明I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S.欲證3SI2<4S，即證abbccaa2b2c2<2ab2bc2ca.先證明abbccaa2b2c2，只需證2a22b22c22ab2bc2ca，即(ab)2(ac)2(bc)20，顯然成立；再證明a2b2c2<2ab2bc2ca，只需證a2a

3、bcab2abbcc2bcca<0，即a(abc)b(bac)c(cba)<0，只需證a<bc，且b<ca，且c<ba，由于a、b、c為三角形的三邊長，上述三式顯然成立，故有3SI2<4S.反思與感悟本題要證明的結論要先進行轉化，可以使用分析法對于連續不等式的證明，可以分段來證，使證明過程層次清晰證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個：(1)a20(aR)(2)(ab)20(a、bR)，其變形有a2b22ab，()2ab，a2b2.(3)若a，b(0，)，則，特別地2.(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)跟

4、蹤訓練1已知a，b是正數，且ab1，求證：4.證明方法一a，b是正數且ab1，ab2，4.方法二a，b是正數，ab2>0，2>0，(ab)()4.又ab1，4.方法三11224.當且僅當ab時，取“”題型二選擇恰當的方法證明等式例2 已知ABC的三個內角A，B，C成等差數列，對應的三邊為a，b，c，求證：.證明要證原式，只需證3，即證1，即只需證1，而由題意知AC2B，B，b2a2c2ac，1，原等式成立，即.反思與感悟綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結論入手易于尋找解題思路在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結合起來使用，稱為分析綜合法，其結構特點是：根據條件的結構特點去轉化結

5、論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P；若由P可推出Q，即可得證跟蹤訓練2設實數a，b，c成等比數列，非零實數x，y分別為a與b，b與c的等差中項，試證：2.證明由已知條件得b2ac，2xab,2ybc.要證2，只需證aycx2xy，只需證2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命題得證題型三立體幾何中位置關系的證明例3如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(1)證明：CDAE；(

6、2)證明：PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA，E是PC的中點，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，ABPD，又ABAEA，綜上得PD平面ABE.反思與感悟綜合法證明線面之間的垂直關系是高考考查的重點，利用垂直的判定定理和性質定理可以進行線線、線面以及面面之間垂直關系的轉化另外，利用一些常見的結論還常常可以

7、將線面間的垂直與平行進行轉化比如：兩條平行線中一條垂直于平面，則另外一條也垂直于平面；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等跟蹤訓練3如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE.證明(1)如圖，設AC與BD交于點G.因為EFAG，且EF1，AGAC1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG.因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)連接FG.因為EFCG，EFCG1，且CE1，所以四邊形CEFG為菱形所以CFEG.因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC.又因為平面ACEF平面

8、ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.呈重點、現規律1綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知2分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知3分析法和綜合法各有優缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來一、基礎過關1已知a0，b0，且ab2，則()Aa BabCa2b22 Da2b23答案C解析ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.2已知a、b、c、d正

9、實數，且<，則()A.<< B.<<C.<< D以上均可能答案A解析方法一特值檢驗，<，可取a1，b3，c1，d2，則，滿足<<.B、C、D不正確方法二要證<，a、b、c、d正實數，只需證a(bd)<b(ac)，即證ad<bc.只需證<.而<成立，<.同理可證<.3下面四個不等式：a2b2c2abbcac；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有()A1個 B2個 C3個 D4個答案C解析a2b2c2abacbc；a(1a)()2；(a2b2)(c2d2)a2c2

10、a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2；當<0時，2不成立4若實數a，b滿足0<a<b，且ab1，則下列四個數中最大的是()A. B2abCa2b2 Da答案C解析ab1，ab>2，2ab<，由a2b2>，又0<a<b，且ab1，a<，a2b2最大5設a，b，c，則a、b、c的大小關系是_答案a>b>c解析a，b，c.a>b>c.6如圖所示，SA平面ABC，ABBC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F.求證：AFSC.證明：要證AFSC，只需證SC平面AEF，只需證AES

11、C(因為_)，只需證_，只需證AEBC(因為_)，只需證BC平面SAB，只需證BCSA(因為_)由SA平面ABC可知，上式成立答案EFSCAE平面SBCAESBABBC解析要證線線垂直，可先證線面垂直，要證線面垂直，還需線線垂直，通過證明BC平面SAB，可得AEBC，進而AE平面SBC，SC平面AEF，問題得證7如果a，b都是正數，且ab，求證：>.證明方法一用綜合法>0，>.方法二用分析法要證>，只要證2>ab2，即要證a3b3>a2bab2，只需證(ab)(a2abb2)>ab(ab)，即需證a2abb2>ab，只需證(ab)2>0，因

12、為ab，所以(ab)2>0恒成立，所以>成立二、能力提升8.命題甲：()x、2x、2x4成等比數列；命題乙：lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差數列，則甲是乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析由()x、2x、2x4成等比數列可得：(2x)2()x·2x4，解得x4；由lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差數列得：2lg(x2)lg xlg(2x1)，可解得x4(x1舍去)，所以甲是乙的充要條件. 9若a>b>1，P，Q(lg alg b)，Rlg()，則()AR<P<Q BP<Q

13、<RCQ<P<R DP<R<Q答案B解析a>b>1lg a>0，lg b>0，Q(lg alg b)>P，R>lg(lg alg b)QR>Q>P.10已知、為實數，給出下列三個論斷：>0；|>5；|>2，|>2.以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，你認為正確的命題是_答案解析>0，|>2，|>2.|2222>882×832>25.|>5.11已知a>0，求證： a2.證明要證 a2，只要證 2a.因為a>0，故只要證 22，即a

14、24 4a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立12已知a、b、cR，且abc1，求證：(1)(1)·(1)8.證明方法一(分析法)要證(1)(1)(1)8成立，只需證··8成立因為abc1，所以只需證··8成立，即證··8成立而····8成立所以(1)(1)(1)8成立方法二(綜合法)(1)(1)(1)(1)(1)(1)··8，當且僅當abc時取等號，所以原不等式成立三、探究與拓展13.設數列an的前n項和為Sn，已知a11，an1n2n，nN.(1)求a2的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有<.