1、matlab 矩陣的表示和簡(jiǎn)單操作一、矩陣的表示在 MATLAB 中創(chuàng)建矩陣有以下規(guī)則：a、矩陣元素必須在內(nèi)”；b、矩陣的同行元素之間用空格(或，)”隔開(kāi)；c、矩陣的行與行之間用；(或回車(chē)符)隔開(kāi)；d、矩陣的元素可以是數(shù)值、變量、表達(dá)式或函數(shù)；e、矩陣的尺寸不必預(yù)先定義。二，矩陣的創(chuàng)建：1、直接輸入法最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤(pán)直接輸入矩陣的元素，輸入的方法按照上面的規(guī)則。建立向量的時(shí)候可以利用冒號(hào)表達(dá)式，冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是：e1:e2:e3,其中 el 為初始值，e2 為步長(zhǎng)，e3 為終止值。還可以用 linspace 函數(shù)產(chǎn)生行向量，其調(diào)用格式為：linspace(

2、a,b,n),其中 a 和 b 是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n 是元素總數(shù)。2、利用 MATLAB 函數(shù)創(chuàng)建矩陣基本矩陣函數(shù)如下：(1)ones()函數(shù)：產(chǎn)生全為 1 的矩陣，ones(n):產(chǎn)生 n*n 維的全 1 矩陣，ones(m,n):產(chǎn)生 m*n 維的全 1 矩陣；zeros()函數(shù)：產(chǎn)生全為 0 的矩陣；(3) rand()函數(shù)：產(chǎn)生在(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)陣；eye()函數(shù)：產(chǎn)生單位陣；randn()函數(shù)：產(chǎn)生均值為 0,方差為 1 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。3、利用文件建立矩陣當(dāng)矩陣尺寸較大或?yàn)榻?jīng)常使用的數(shù)據(jù)矩陣，則可以將此矩陣保存為文件，在需要時(shí)直接將文件利用 lo

3、ad 命令調(diào)入工作環(huán)境中使用即可。同時(shí)可以利用命令 reshape 對(duì)調(diào)入的矩陣進(jìn)行重排。reshape(A,m,n),它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣 A 重新排成 m*n 的二維矩陣。二、矩陣的簡(jiǎn)單操作1 .獲取矩陣元素可以通過(guò)下標(biāo)(行列索引)引用矩陣的元素，如 Matrix(m,n)。也可以采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在 MATLAB 中，矩陣元素按列存儲(chǔ)。序號(hào)(Index)與下標(biāo)(Subscript)是一一對(duì)應(yīng)的，以 m*n 矩 BA 為例，矩陣元素 A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用 sub2ind

4、 和 ind2sub 函數(shù)求得。2 .矩陣拆分利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣：A(:,j)表示取 A 矩陣的第 j 列全部元素；A(i,:)表示 A 矩陣第 i 行的全部元素；A(i,j)表示取 A 矩陣第 i 行、第 j列的元素。A(i:i+m,:)表示取 A 矩陣第 ii+m 行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取 A 矩陣第 kk+m 列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取 A 矩陣第 ii+m 行內(nèi)，并在第 kk+m 列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和 end 運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end 表示某一維的末尾元素下標(biāo)。利用空矩陣刪除矩陣的元素：在 MATLAB

5、 中，定義口為空矩陣。給變量 X 賦空矩陣的語(yǔ)句為 X=。注意，X=與 clearX 不同，clear 是將 X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為 0。3、特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于 n 階魔方陣，其元素由 1,2,3,n2 共 n2 個(gè)整數(shù)組成。MATLAB 提供了求魔方矩陣的函數(shù) magic(n),其功能是生成一個(gè) n 階魔方陣。(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為 1,倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。

6、在 MATLAB 中，函數(shù)vander(V)生成以向量 V 為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣在 MATLAB 中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是 hilb(n)。使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB 中，有一個(gè)專(zhuān)門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù) invhilb(n),其功能是求 n 階的希爾伯特矩陣的逆矩陣(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是 toeplitz(x,y),它生成一個(gè)以 x 為第一列，y 為第一行的托普利茲矩陣。這里 x,y 均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。to

7、eplitz(x)用向量 x 生成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的托普利茲矩陣。伴隨!陣 MATLAB 生成伴隨矩陣的函數(shù)是 compan(p)，其中 p 是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次募系數(shù)排在前，低次募排在后。(6)帕斯卡矩陣我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n 展開(kāi)后的系數(shù)隨 n 的增大組成一個(gè)三角形表，稱(chēng)為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱(chēng)為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù) pascal(n)生成一個(gè) n 階帕斯卡矩陣。三、矩陣的運(yùn)算1、算術(shù)運(yùn)算MATLAB 的基本算術(shù)運(yùn)算有：+(加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、A(乘方)、轉(zhuǎn)置)。運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。(1)矩陣

8、加減運(yùn)算假定有兩個(gè)矩陣 A 和 B,則可以由 A+B 和 A-B 實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若 A 和 B 矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A 和 B 矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果 A 與 B 的維數(shù)不相同，則 MATLAB 將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶(hù)兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。矩陣乘法假定有兩個(gè)矩陣 A 和 B,若 A 為 m*n 矩陣，B 為 n*p 矩陣，則 C=A*B 為 m*p 矩陣。(3)矩陣除法在 MATLAB 中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：和/,分別表示左除和右除。如果 A 矩陣是非奇異方陣，則 AB 和 B/A 運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。AB 等效于 A 的逆左乘 B 矩陣，也就是 in

9、v(A)*B,而 B/A 等效于A 矩陣的逆右乘 B 矩陣，也就是 B*inv(A)。對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系，一般BwB/A。(4)矩陣的乘方一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成 AAx,要求 A 為方陣，x 為標(biāo)量。(5)矩陣的轉(zhuǎn)置對(duì)實(shí)數(shù)矩陣進(jìn)行行列互換，對(duì)復(fù)數(shù)矩陣，共斬轉(zhuǎn)置，特殊的，操作符.共樂(lè)不轉(zhuǎn)置(見(jiàn)點(diǎn)運(yùn)算)；(6)點(diǎn)運(yùn)算在 MATLAB 中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、和 A。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)

10、相同。2、關(guān)系運(yùn)算MATLAB 提供了 6 種關(guān)系運(yùn)算符：(小于)、=(小于或等于)、(大于)、=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：(1)當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為 1,否則為0；(2)當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0 或 1 組成；(3)當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量， 而另一個(gè)是矩陣時(shí)， 則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果

11、是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0 或 1 組成。3、邏輯運(yùn)算MATLAB 提供了 3 種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：(1)在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用 1 表示，零元素為假，用 0 表示；(2)設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量 a 和 b,那么，a&ba,b 全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為 1,否則為 0。a|ba,b 中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為 1。a 當(dāng) a 是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為 1；當(dāng) a 非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為 0。(3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的

12、矩陣，其元素由 1 或 0 組成；(4)若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由 1 或 0 組成；(5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則；(6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。四、矩陣分析1、對(duì)角陣(1)對(duì)角陣只有對(duì)角線上有非 0 元素的矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為 1 的對(duì)角矩陣稱(chēng)為單位矩陣。(1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè) A 為 m*n 矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣 A 主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)

13、具有 min(m,n)個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式 diag(A,k),其功能是提取第 k 條對(duì)角線的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè) V 為具有 m 個(gè)元素的向量， diag(V)將產(chǎn)生一個(gè) m*m 對(duì)角矩陣， 其主對(duì)角線元素即為向量 V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式 diag(V,k),其功能是產(chǎn)生一個(gè)n*n(n=m+k)對(duì)角陣，其第 m 條對(duì)角線的元素即為向量 V 的元素。2、三角陣三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為 0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為 0 的一種矩陣。(1)上三角矩陣求矩陣 A 的上三角陣

14、的 MATLAB 函數(shù)是 triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式 triu(A,k),其功能是求矩陣 A 的第 k 條對(duì)角線以上的元素。(2)下三角矩陣在 MATLAB 中，提取矩陣 A 的下三角矩陣的函數(shù)是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù) triu(A)和 triu(A,k)完全相同。3、矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)(1)矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(O)矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù) rot90(A,k)將矩陣 A 旋車(chē)專(zhuān)90o 的 k 倍，當(dāng) k 為 1 時(shí)可省略。4、矩陣的翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類(lèi)推。矩

15、陣 A 實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 fliplr(A),對(duì)矩陣 A 實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 flipud(A)。5、矩陣的逆與偽逆(1)矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣 A,如果存在一個(gè)與其同階的方陣 B,使得：AB=BA=I(I 為單位矩陣)則稱(chēng) B 為 A 的逆矩陣，當(dāng)然，A 也是 B 的逆矩陣。求方陣 A 的逆矩陣可調(diào)用函數(shù) inv(A)。(2)矩陣的偽逆如果矩陣 A 不是一個(gè)方陣，或者 A 是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩 B人沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 A同型的矩陣 B,使得：ABA=A,BAB=B 此時(shí)稱(chēng)矩陣 B 為矩 BA 的偽逆，也稱(chēng)為廣義逆矩陣。在 MATLAB 中，求一個(gè)矩陣偽逆的函

16、數(shù)是 pinv(A)。6、方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱(chēng)為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在 MATLAB 中，求方陣 A 所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是 det(A)。7、矩陣的秩與跡(1)矩陣的秩矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩。在rank(A)。(2)矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在 MATLAB 中,求矩陣的跡的函數(shù)是 trace(A)。8、向量和矩陣的范數(shù)MATLAB 中，求矩陣秩的函數(shù)是矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同,范數(shù)值也就不同。(1)向量的 3 種常用

17、范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)在 MATLAB 中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：a、norm(V)或 norm(V,2):計(jì)算向量 V 的 2-范數(shù)；b、norm(V,1):計(jì)算向量 V 的 1-范數(shù)；c、norm(V,inf):計(jì)算向量 V 的00-范數(shù)。(2)矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) MATLAB 提供了求 3 種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。(3)矩陣的條件數(shù)在 MATLAB 中，計(jì)算矩陣 A 的 3 種條件數(shù)的函數(shù)是：a、cond(A,1)計(jì)算 A 的 1-范數(shù)下的條件數(shù)；b、cond(A)或 cond(A,2)計(jì)算 A 的 2-范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)；c、cond(A,inf)計(jì)算

18、A 的00-范數(shù)下的條件數(shù)。9、矩陣的特征值與特征向量在 MATLAB 中，計(jì)算矩陣 A 的特征值和特征向量的函數(shù)是 eig(A)，常用的調(diào)用格式有 3 種：E=eig(A):求矩陣 A 的全部特征值，構(gòu)成向量 E。(2) V,D=eig(A):求矩陣 A 的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣 D,并求 A 的特征向量構(gòu)成 V 的列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance 與第)2 種格式類(lèi)似，但第 2 種格式中先對(duì) A 作相似變換后求矩 BA 的特征值和特征向量，而格式 3 直接求矩陣 A 的特征值和特征向量。五、字符串在 MATLAB 中，字符串是用單撇號(hào)括起來(lái)的字符序列。MATLAB 將

19、字符串當(dāng)作一個(gè)行向量，每個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)字符，其標(biāo)識(shí)方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。字符串是以ASCII 碼形式存儲(chǔ)的。abs 和 double 函數(shù)都可以用來(lái)獲取字符串矩陣所對(duì)應(yīng)的 ASCII 碼數(shù)值矩陣。相反，char 函數(shù)可以把 ASCII 碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。與字符串有關(guān)的另一個(gè)重要函數(shù)是 eval,其調(diào)用格式為：eval_r(t)其中 t 為字符串。它的作用是把字符串的內(nèi)容作為對(duì)應(yīng)的 MATLAB 語(yǔ)句來(lái)執(zhí)行。六、其他查看矩陣非零元素的分布 spy(A)；第二部分矩陣的應(yīng)用一、稀疏矩陣對(duì)于一個(gè) n 階矩陣，通常需要 n2 的存儲(chǔ)空間，當(dāng) n 很大時(shí)，進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)會(huì)占

20、用大量的內(nèi)存空間和運(yùn)算時(shí)間。在許多實(shí)際問(wèn)題中遇到的大規(guī)模矩陣中通常含有大量 0 元素，這樣的矩陣稱(chēng)為稀疏矩陣。Matlab 支持稀疏矩陣，只存儲(chǔ)矩陣的非零元素。由于不存儲(chǔ)那些0元素，也不對(duì)它們進(jìn)行操作，從而節(jié)省內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間，其計(jì)算的復(fù)雜性和代價(jià)僅僅取決于稀疏矩陣的非零元素的個(gè)數(shù)，這在矩陣的存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間上都有很大的優(yōu)點(diǎn)。矩陣的密度定義為矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)除以矩陣中總的元素個(gè)數(shù)。對(duì)于低密度的矩陣，采用稀疏方式存儲(chǔ)是一種很好的選擇。1、稀疏矩陣的創(chuàng)建(1)將完全存儲(chǔ)方式轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式函數(shù) A=sparse(S)將矩陣 S 轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式的矩陣 A。當(dāng)矩陣 S 是稀疏存儲(chǔ)方式時(shí)，則函數(shù)調(diào)用相當(dāng)于 A=Sosparse 函數(shù)還有其他一些調(diào)用格式：sparse(m,n):生成一個(gè) m*n 的所有元素都是 0 的稀疏矩陣。sparse(u,v,S)-:u,v,S 是 3 個(gè)等長(zhǎng)的向量。S 是要建立的稀疏矩陣的非 0 元素，u(i)、v(i)分別是 S(i)的行和列下標(biāo)，該函數(shù)建立一個(gè) max(u)行、max(v)列并以 S 為稀疏元素的稀疏矩陣。此外，還有一些和稀疏矩陣操作有關(guān)的函數(shù)。full(A):返回和稀疏存儲(chǔ)矩陣 A 對(duì)應(yīng)的完全存儲(chǔ)方式矩陣。(2)直接創(chuàng)建稀疏矩陣 S=sparse(i,j,s,m,n),其中 i 和 j 分別是矩陣非零元