1、matlab 矩陣的表示和簡單操作一、矩陣的表示在 MATLAB 中創建矩陣有以下規則：a、矩陣元素必須在內”；b、矩陣的同行元素之間用空格(或，)”隔開；c、矩陣的行與行之間用；(或回車符)隔開；d、矩陣的元素可以是數值、變量、表達式或函數；e、矩陣的尺寸不必預先定義。二，矩陣的創建：1、直接輸入法最簡單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素，輸入的方法按照上面的規則。建立向量的時候可以利用冒號表達式，冒號表達式可以產生一個行向量，一般格式是：e1:e2:e3,其中 el 為初始值，e2 為步長，e3 為終止值。還可以用 linspace 函數產生行向量，其調用格式為：linspace(

2、a,b,n),其中 a 和 b 是生成向量的第一個和最后一個元素，n 是元素總數。2、利用 MATLAB 函數創建矩陣基本矩陣函數如下：(1)ones()函數：產生全為 1 的矩陣，ones(n):產生 n*n 維的全 1 矩陣，ones(m,n):產生 m*n 維的全 1 矩陣；zeros()函數：產生全為 0 的矩陣；(3) rand()函數：產生在(0,1)區間均勻分布的隨機陣；eye()函數：產生單位陣；randn()函數：產生均值為 0,方差為 1 的標準正態分布隨機矩陣。3、利用文件建立矩陣當矩陣尺寸較大或為經常使用的數據矩陣，則可以將此矩陣保存為文件，在需要時直接將文件利用 lo

3、ad 命令調入工作環境中使用即可。同時可以利用命令 reshape 對調入的矩陣進行重排。reshape(A,m,n),它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣 A 重新排成 m*n 的二維矩陣。二、矩陣的簡單操作1 .獲取矩陣元素可以通過下標(行列索引)引用矩陣的元素，如 Matrix(m,n)。也可以采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。矩陣元素的序號就是相應元素在內存中的排列順序。在 MATLAB 中，矩陣元素按列存儲。序號(Index)與下標(Subscript)是一一對應的，以 m*n 矩 BA 為例，矩陣元素 A(i,j)的序號為(j-1)*m+i。其相互轉換關系也可利用 sub2ind

4、 和 ind2sub 函數求得。2 .矩陣拆分利用冒號表達式獲得子矩陣：A(:,j)表示取 A 矩陣的第 j 列全部元素；A(i,:)表示 A 矩陣第 i 行的全部元素；A(i,j)表示取 A 矩陣第 i 行、第 j列的元素。A(i:i+m,:)表示取 A 矩陣第 ii+m 行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取 A 矩陣第 kk+m 列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取 A 矩陣第 ii+m 行內，并在第 kk+m 列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和 end 運算符來表示矩陣下標，從而獲得子矩陣。end 表示某一維的末尾元素下標。利用空矩陣刪除矩陣的元素：在 MATLAB

5、 中，定義口為空矩陣。給變量 X 賦空矩陣的語句為 X=。注意，X=與 clearX 不同，clear 是將 X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數為 0。3、特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于 n 階魔方陣，其元素由 1,2,3,n2 共 n2 個整數組成。MATLAB 提供了求魔方矩陣的函數 magic(n),其功能是生成一個 n 階魔方陣。(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為 1,倒數第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數第二列的點乘積。可以用一個指定向量生成一個范得蒙矩陣。

6、在 MATLAB 中，函數vander(V)生成以向量 V 為基礎向量的范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣在 MATLAB 中，生成希爾伯特矩陣的函數是 hilb(n)。使用一般方法求逆會因為原始數據的微小擾動而產生不可靠的計算結果。MATLAB 中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數 invhilb(n),其功能是求 n 階的希爾伯特矩陣的逆矩陣(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數是 toeplitz(x,y),它生成一個以 x 為第一列，y 為第一行的托普利茲矩陣。這里 x,y 均為向量，兩者不必等長。to

7、eplitz(x)用向量 x 生成一個對稱的托普利茲矩陣。伴隨!陣 MATLAB 生成伴隨矩陣的函數是 compan(p)，其中 p 是一個多項式的系數向量，高次募系數排在前，低次募排在后。(6)帕斯卡矩陣我們知道，二次項(x+y)n 展開后的系數隨 n 的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數 pascal(n)生成一個 n 階帕斯卡矩陣。三、矩陣的運算1、算術運算MATLAB 的基本算術運算有：+(加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、A(乘方)、轉置)。運算是在矩陣意義下進行的，單個數據的算術運算只是一種特例。(1)矩陣

8、加減運算假定有兩個矩陣 A 和 B,則可以由 A+B 和 A-B 實現矩陣的加減運算。運算規則是：若 A 和 B 矩陣的維數相同，則可以執行矩陣的加減運算，A 和 B 矩陣的相應元素相加減。如果 A 與 B 的維數不相同，則 MATLAB 將給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數不匹配。矩陣乘法假定有兩個矩陣 A 和 B,若 A 為 m*n 矩陣，B 為 n*p 矩陣，則 C=A*B 為 m*p 矩陣。(3)矩陣除法在 MATLAB 中，有兩種矩陣除法運算：和/,分別表示左除和右除。如果 A 矩陣是非奇異方陣，則 AB 和 B/A 運算可以實現。AB 等效于 A 的逆左乘 B 矩陣，也就是 in

9、v(A)*B,而 B/A 等效于A 矩陣的逆右乘 B 矩陣，也就是 B*inv(A)。對于含有標量的運算，兩種除法運算的結果相同。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數矩陣和被除數矩陣的關系，一般BwB/A。(4)矩陣的乘方一個矩陣的乘方運算可以表示成 AAx,要求 A 為方陣，x 為標量。(5)矩陣的轉置對實數矩陣進行行列互換，對復數矩陣，共斬轉置，特殊的，操作符.共樂不轉置(見點運算)；(6)點運算在 MATLAB 中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關算術運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有.*、./、和 A。兩矩陣進行點運算是指它們的對應元素進行相關運算，要求兩矩陣的維參數

10、相同。2、關系運算MATLAB 提供了 6 種關系運算符：(小于)、=(小于或等于)、(大于)、=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。關系運算符的運算法則為：(1)當兩個比較量是標量時，直接比較兩數的大小。若關系成立，關系表達式結果為 1,否則為0；(2)當參與比較的量是兩個維數相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標量關系運算規則逐個進行，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果是一個維數與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0 或 1 組成；(3)當參與比較的一個是標量， 而另一個是矩陣時， 則把標量與矩陣的每一個元素按標量關系運算規則逐個比較，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果

11、是一個維數與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0 或 1 組成。3、邏輯運算MATLAB 提供了 3 種邏輯運算符：&(與)、|(或)和(非)。邏輯運算的運算法則為：(1)在邏輯運算中，確認非零元素為真，用 1 表示，零元素為假，用 0 表示；(2)設參與邏輯運算的是兩個標量 a 和 b,那么，a&ba,b 全為非零時，運算結果為 1,否則為 0。a|ba,b 中只要有一個非零，運算結果為 1。a 當 a 是零時，運算結果為 1；當 a 非零時，運算結果為 0。(3)若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標量規則逐個進行。最終運算結果是一個與原矩陣同維的

12、矩陣，其元素由 1 或 0 組成；(4)若參與邏輯運算的一個是標量，一個是矩陣，那么運算將在標量與矩陣中的每個元素之間按標量規則逐個進行。最終運算結果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由 1 或 0 組成；(5)邏輯非是單目運算符，也服從矩陣運算規則；(6)在算術、關系、邏輯運算中，算術運算優先級最高，邏輯運算優先級最低。四、矩陣分析1、對角陣(1)對角陣只有對角線上有非 0 元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣，對角線上的元素都為 1 的對角矩陣稱為單位矩陣。(1)提取矩陣的對角線元素設 A 為 m*n 矩陣，diag(A)函數用于提取矩陣 A 主對角線元素，產生一個

13、具有 min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數還有一種形式 diag(A,k),其功能是提取第 k 條對角線的元素。(2)構造對角矩陣設 V 為具有 m 個元素的向量， diag(V)將產生一個 m*m 對角矩陣， 其主對角線元素即為向量 V的元素。diag(V)函數也有另一種形式 diag(V,k),其功能是產生一個n*n(n=m+k)對角陣，其第 m 條對角線的元素即為向量 V 的元素。2、三角陣三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為 0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為 0 的一種矩陣。(1)上三角矩陣求矩陣 A 的上三角陣

14、的 MATLAB 函數是 triu(A)。triu(A)函數也有另一種形式 triu(A,k),其功能是求矩陣 A 的第 k 條對角線以上的元素。(2)下三角矩陣在 MATLAB 中，提取矩陣 A 的下三角矩陣的函數是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數 triu(A)和 triu(A,k)完全相同。3、矩陣的轉置與旋轉(1)矩陣的轉置轉置運算符是單撇號(O)矩陣的旋轉利用函數 rot90(A,k)將矩陣 A 旋車專90o 的 k 倍，當 k 為 1 時可省略。4、矩陣的翻轉對矩陣實施左右翻轉是將原矩陣的第一列和最后一列調換，第二列和倒數第二列調換，依次類推。矩

15、陣 A 實施左右翻轉的函數是 fliplr(A),對矩陣 A 實施上下翻轉的函數是 flipud(A)。5、矩陣的逆與偽逆(1)矩陣的逆對于一個方陣 A,如果存在一個與其同階的方陣 B,使得：AB=BA=I(I 為單位矩陣)則稱 B 為 A 的逆矩陣，當然，A 也是 B 的逆矩陣。求方陣 A 的逆矩陣可調用函數 inv(A)。(2)矩陣的偽逆如果矩陣 A 不是一個方陣，或者 A 是一個非滿秩的方陣時，矩 B人沒有逆矩陣，但可以找到一個與 A 的轉置矩陣 A同型的矩陣 B,使得：ABA=A,BAB=B 此時稱矩陣 B 為矩 BA 的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在 MATLAB 中，求一個矩陣偽逆的函

16、數是 pinv(A)。6、方陣的行列式把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在 MATLAB 中，求方陣 A 所對應的行列式的值的函數是 det(A)。7、矩陣的秩與跡(1)矩陣的秩矩陣線性無關的行數與列數稱為矩陣的秩。在rank(A)。(2)矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在 MATLAB 中,求矩陣的跡的函數是 trace(A)。8、向量和矩陣的范數MATLAB 中，求矩陣秩的函數是矩陣或向量的范數用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數有多種方法定義，其定義不同,范數值也就不同。(1)向量的 3 種常用

17、范數及其計算函數在 MATLAB 中，求向量范數的函數為：a、norm(V)或 norm(V,2):計算向量 V 的 2-范數；b、norm(V,1):計算向量 V 的 1-范數；c、norm(V,inf):計算向量 V 的00-范數。(2)矩陣的范數及其計算函數 MATLAB 提供了求 3 種矩陣范數的函數，其函數調用格式與求向量的范數的函數完全相同。(3)矩陣的條件數在 MATLAB 中，計算矩陣 A 的 3 種條件數的函數是：a、cond(A,1)計算 A 的 1-范數下的條件數；b、cond(A)或 cond(A,2)計算 A 的 2-范數數下的條件數；c、cond(A,inf)計算

18、A 的00-范數下的條件數。9、矩陣的特征值與特征向量在 MATLAB 中，計算矩陣 A 的特征值和特征向量的函數是 eig(A)，常用的調用格式有 3 種：E=eig(A):求矩陣 A 的全部特征值，構成向量 E。(2) V,D=eig(A):求矩陣 A 的全部特征值，構成對角陣 D,并求 A 的特征向量構成 V 的列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance 與第)2 種格式類似，但第 2 種格式中先對 A 作相似變換后求矩 BA 的特征值和特征向量，而格式 3 直接求矩陣 A 的特征值和特征向量。五、字符串在 MATLAB 中，字符串是用單撇號括起來的字符序列。MATLAB 將

19、字符串當作一個行向量，每個元素對應一個字符，其標識方法和數值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。字符串是以ASCII 碼形式存儲的。abs 和 double 函數都可以用來獲取字符串矩陣所對應的 ASCII 碼數值矩陣。相反，char 函數可以把 ASCII 碼矩陣轉換為字符串矩陣。與字符串有關的另一個重要函數是 eval,其調用格式為：eval_r(t)其中 t 為字符串。它的作用是把字符串的內容作為對應的 MATLAB 語句來執行。六、其他查看矩陣非零元素的分布 spy(A)；第二部分矩陣的應用一、稀疏矩陣對于一個 n 階矩陣，通常需要 n2 的存儲空間，當 n 很大時，進行矩陣運算時會占

20、用大量的內存空間和運算時間。在許多實際問題中遇到的大規模矩陣中通常含有大量 0 元素，這樣的矩陣稱為稀疏矩陣。Matlab 支持稀疏矩陣，只存儲矩陣的非零元素。由于不存儲那些0元素，也不對它們進行操作，從而節省內存空間和計算時間，其計算的復雜性和代價僅僅取決于稀疏矩陣的非零元素的個數，這在矩陣的存儲空間和計算時間上都有很大的優點。矩陣的密度定義為矩陣中非零元素的個數除以矩陣中總的元素個數。對于低密度的矩陣，采用稀疏方式存儲是一種很好的選擇。1、稀疏矩陣的創建(1)將完全存儲方式轉化為稀疏存儲方式函數 A=sparse(S)將矩陣 S 轉化為稀疏存儲方式的矩陣 A。當矩陣 S 是稀疏存儲方式時，則函數調用相當于 A=Sosparse 函數還有其他一些調用格式：sparse(m,n):生成一個 m*n 的所有元素都是 0 的稀疏矩陣。sparse(u,v,S)-:u,v,S 是 3 個等長的向量。S 是要建立的稀疏矩陣的非 0 元素，u(i)、v(i)分別是 S(i)的行和列下標，該函數建立一個 max(u)行、max(v)列并以 S 為稀疏元素的稀疏矩陣。此外，還有一些和稀疏矩陣操作有關的函數。full(A):返回和稀疏存儲矩陣 A 對應的完全存儲方式矩陣。(2)直接創建稀疏矩陣 S=sparse(i,j,s,m,n),其中 i 和 j 分別是矩陣非零元