1、17不等式（組）的應(yīng)用閱讀與思考許多數(shù)學(xué)，問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系和分析，列出不等式（組），運(yùn)用不等式的有關(guān)知識(shí)予以求解，不等式（組）的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：1.作差或作商比較有理數(shù)的大小.2.求代數(shù)式的取值范圍.3.求代數(shù)式的最大值或最小值.4.列不等式（組）解應(yīng)用題.列不等式（組）解應(yīng)用題與列方程（組）解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一些詞語(yǔ)轉(zhuǎn)化為不等式.如“不大于”“不小于”“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)數(shù)”等對(duì)應(yīng)不等號(hào)：“wy0”“BCB.CBA0.BACD.BCA（浙江省紹興市競(jìng)賽試題）解題思路：當(dāng)作差比較困難時(shí)，不妨考慮作商比較

2、【例【例 3】已知a1，a2,a3,a4,as,a6,a7是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于 159,求其中最小數(shù)a1的最大值.（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)ava2vavva7,則a+a2+a3+a?=159,解題的關(guān)鍵是怎樣把多元等式轉(zhuǎn)化為只含a1的不等式.【例【例 4】一玩具廠用于生產(chǎn)的全部勞力為 450 個(gè)工時(shí)，原料為 400 個(gè)單位，生產(chǎn)一個(gè)小熊玩具要使用 15 個(gè)工時(shí)、20 個(gè)單位的原料，售價(jià)為 80 元；生產(chǎn)一個(gè)小貓玩具要使用 10 個(gè)工時(shí)、5 個(gè)單位的原料，售價(jià)為 45 元.在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊玩具、小貓玩具的個(gè)數(shù)，可以使小熊玩具和小貓玩具的總售價(jià)盡可能高.請(qǐng)用

3、你所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析，總售價(jià)是否可能達(dá)到 2200 元.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：列不等式的關(guān)鍵是勞力限制在 450 個(gè)工時(shí)，原料限制為 400 個(gè)單位.引入字母，把方程和不等式結(jié)合起來(lái)分析.【例【例 5】某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把 3.50 元紙幣兌換成 1 分，2 分，5 分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為 150枚，且每種硬幣不少,于 20 枚，5 分的硬幣多于 2 分的硬幣，請(qǐng)你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案.（河北省競(jìng)賽試題）解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來(lái).【例【例 6】已知n,k皆為自然數(shù)，且 1vkvn.若12310,nka.求a的n1值.（香港中學(xué)

4、數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：此題可理解為在n個(gè)連續(xù)自然數(shù)中去除其中一個(gè)數(shù)k（U1kn,k是非兩頭的兩個(gè)數(shù)），使剩余的數(shù)的平均數(shù)等于 10,求n和k之和。能力訓(xùn)練A 級(jí)一一a，_1.若萬(wàn)程249x-x10的解小于零，則a的取值范圍是83xvk1.2.若方程組v的解為x,y,且2vk2b,則（）個(gè).b有最大值 1Ca7.設(shè)P219892199021990121 1則 P-199121Q 的大小關(guān)系是（PvQ.不能確定8.小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為 150 千克，爸爸坐在蹺蹺.板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時(shí)，爸爸的那一端仍然著地，請(qǐng)你猜一猜小芳的體

5、重應(yīng)小于（）A.49 千克 B.50 千克 C.24 千克 D.25 千克（山東省煙臺(tái)市中考試題）,9.中國(guó)第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場(chǎng)京劇演出的票價(jià)有 2 元到 100 元多種，某團(tuán)體需購(gòu)買(mǎi)票價(jià) 6 元和 10 元的票共 140 張， 其中票價(jià)為 10 元的票數(shù)不少于票價(jià)為 6 元的票數(shù)的 2 倍.問(wèn)這兩種票各購(gòu)買(mǎi)多少?gòu)埶璧腻X(qián)最少？最少需要多少錢(qián)？10.某港受潮汐的影響，近日每天 24 小時(shí)港內(nèi)的水深變化大體如圖所示:一艘貨輪于上午 7 時(shí)在該港碼頭開(kāi)始卸貨，計(jì)劃當(dāng)天卸完貨后離港.已知這艘貨輪卸完貨后吃水深度為 2.5m（吃水深度即船底與水面的距離）.該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當(dāng)

6、船底與港內(nèi)水底間的距離不少于 3.5m 時(shí)，才能進(jìn)出該港.根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問(wèn)題：（1）要使該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則出港時(shí)水深不能少于 m,卸貨最多只能用小時(shí)；（2）已知該船裝有 1200 噸貨，先由甲裝卸隊(duì)單獨(dú)卸，每小時(shí)卸 180 噸，工作了一段時(shí)間后，交由乙隊(duì)接著單獨(dú)卸，每小時(shí)卸 120 噸.如果要保證該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則甲隊(duì)至少應(yīng)該工作幾小時(shí)，才能交給乙隊(duì)接著卸？（江蘇省蘇州市中考試題）1 .設(shè)a,b,c,d都是整數(shù)，且av3b,b5c,cv7d,d30,那么a的最大可能值為（“新世紀(jì)杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）2 .某賓館底樓客房比二樓少 5 間，某旅游團(tuán)有 48

7、 人，若全安排住底樓，每間住 4 人，房間不夠；每間住 5 人，有房間沒(méi)有住滿(mǎn) 5 人.又若全安排在二樓，每間住 3 人，房間不夠；每間住 4 人，有房間沒(méi)有住滿(mǎn) 4 人，該賓館底樓有客房間.3.已知aNB.M=NC.MkND,無(wú)法確定（江蘇省競(jìng)賽試.題）6.某出版社計(jì)劃出版一套百科全書(shū)，固定成本為 8 萬(wàn)元，每印刷一套增加成本 20 元.如果每套書(shū)定價(jià) 100 元，賣(mài)出后有 3 成收入給經(jīng)銷(xiāo)商，出版社要盈利 10%,那么該書(shū)至少要發(fā)行（）套.A.2000B.3000C.4000D.5000（“希望杯”.邀請(qǐng)賽試題）7.今有濃度為 5%,8%,9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為 60 克，60 克

8、，47 克，現(xiàn)要配制濃度為8%的鹽水 100 克，問(wèn)甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？（北京市競(jìng)賽試題）9.為了迎接世界杯足球賽的到來(lái)，某足球協(xié)會(huì)舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎(jiǎng)勵(lì)方案如下表：勝一場(chǎng)平一場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)積分310獎(jiǎng)金（元/人）15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到第 12 輪結(jié)束（每隊(duì)均需比賽 12 場(chǎng)）時(shí)，A 隊(duì)共積 19 分.（1） 請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷 A 隊(duì)勝、平、負(fù)各幾場(chǎng).（2） 若每賽一場(chǎng)，每名參賽隊(duì)員均得出.場(chǎng)費(fèi) 500 元.設(shè) A 隊(duì)其中一名參賽隊(duì)員所得的獎(jiǎng)金與出場(chǎng)費(fèi)的和為 W 阮），試求 W 的最大值。（黑龍江省中考試題）10.為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計(jì)劃對(duì)某縣 A,B

9、 兩類(lèi)薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造.根據(jù)預(yù)算，共需資金 1575 萬(wàn)元，改造一所 A 類(lèi)學(xué)校和兩所.B 類(lèi)學(xué)校共需資金 230 萬(wàn)元；改造兩所 A 類(lèi)學(xué)校和一所 B 類(lèi)學(xué)校共需資金 205 萬(wàn)元.（1） 改造一所 A 類(lèi)學(xué)校和一所 B 類(lèi)學(xué)校所需的資金分別是多少萬(wàn)元？（2） 若該縣的 A 類(lèi)學(xué)校不超過(guò) 5 所，則 B 類(lèi)學(xué)校至少有多少所？（3）我市計(jì)劃今年對(duì)該縣 A,B 兩類(lèi)學(xué)校共 6 所進(jìn)行改造，改造資金由國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)，若今年國(guó)家財(cái)政撥付的改造資金不超過(guò) 400 萬(wàn)元；地方財(cái)政投入的改造資金不少于 70 萬(wàn)元，其中地方財(cái)政投入到 A,B 兩類(lèi)學(xué)校的改造資金分別為每所 10 萬(wàn)元和 15

10、 萬(wàn)元，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出有幾種改造方案.（湖北省襄樊市中考試題）11.設(shè)X1,X2,，X2008是整數(shù)，且滿(mǎn)足下列條件：(1) -lVXn2(n=1,2,，2008);(2)XiX2X2008200;Xi2X22X200822008.、333一.一一.求X X1X X2X X2008的取大值和取小值.（“宗滬杯”競(jìng)賽試題）a03a2b5ca7c3例 4 提示：由已知條件得3a5,解,得 a3,m=3c-2.由 b02ab13cb711cc07c30得 711c0,解得3c 工，故 m 的最大值為工，最小值為5711117c0201013x113113于臼7100（2 水）.因?yàn)閤2是自然數(shù)，所

11、以（萬(wàn)水）是整數(shù)，所以x1是 10 的奇數(shù)倍.又因?yàn)閤1vx2,故有三組解：x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x50,x2=68.因此x1+x2的最大值為 50+68=118,所以x1+x2+x3的最.大值為 2(x1+x2)=2X118=236.例6解法一:=0wabw1，1wa+bw4，由知一4Wabw1,+得一 4w-2bw0,即一2&一 bw0，+得一 2wa-2bw1要使a2b最大，只有a-b=1 且一b=0.a=1 且b=0,此時(shí) 8a+2003b=8.1mn1m-解法二：設(shè) a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+(mn)b,知由“，解得2mn2

12、3n2專(zhuān)題 16 不等式（組）提示：解不等式組得32tX20,則 5 個(gè)整數(shù)解為 x=19,18,17,16,15.結(jié)合數(shù)軸分析，應(yīng)滿(mǎn)足 14W32t15,故6vtw6t112例 2x1313提示：(2mn)xm5n,2mn0,5n452mn107m0,13m45n.例 3m1或m3提示：解方程組得62mm1例 5 先用x1和x2表示x3,x4,x3xx2xx2x3x12x2x7,得 x5x3x42x,3x2,因止匕x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010 x*4%3x15x2X7*5x65x18x2b+ia當(dāng) a2b最大時(shí)，a+b=1,ab=1，b=Q,a=1,此時(shí) 8a+2003

13、b=8.1.11042a4ab5由解集是 0vxv2 知b522故a+b=2+（1）=15_3.abvbv-a4._3+x,得(a1)(x+3)0,.由不等式的解集為 xv3 知x+3v0,所以 a1v0,得 a2000,則（x2000）+xw9999,即 2000 x(x+5)21.1a3.一提不：由題思可知：43一.由正整數(shù)解為 1,2,3a4,解得2.a-1提示：原不等式組變形為a由不等式組有解知一1aw1,故 a-13.5.提示：原不等式組變形為17一 c6c3c,5aa22.11.11 提示：原不等式組變形為， 解得010.提示：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為xv3.11.原不等式組等價(jià)于，因?yàn)樵摬坏仁浇M的整數(shù)解一 1,b20,1,2 不是對(duì)稱(chēng)地出現(xiàn),所以其解不可能是b2b,由整數(shù)解的情況可知 21,26.114x1原式=2x23x1,從而知最大值為4,最小值為3114x310 .提示；s=x+