1、才子教育小學奧數系列第4講 巧解盈虧應用題方法和技巧分配某種物品，分配者一定，被分配的物品數一定，兩種分配方 案的結果會出現“盈”（余）或“虧”（不足），求分配者數和被分配 物品數，這類問題叫盈虧問題。常用方法：總差額+每人（或每件的差額）=人數（或件數）A級基礎點睛【例11小波從家去體育館參加比賽，先以 50米每分鐘的速度 走了 4分鐘后，發現這樣走下去要遲到 3分鐘；后來他改用65米每 分鐘的速度前進，結果提前3分鐘到達。問：小波家和體育館相距多 少米？分析與解 由每分鐘走50米要遲到3分鐘，可知體育館進行比 賽時，小波離體育館有 50X3=150 （米）；由每分鐘走65米早到3 分鐘，可

2、知體育館進行比賽時，他還可以走 65X 3=195 （米）。;每分鐘50米 少150米一.”每分鐘每分鐘65米 多195米比較兩種方案，每分鐘相差 65-50=15 （米），結果相差150+ 195=345 （米）。時間為345+ 15=23 （分），即出發4分鐘后距離準 時比賽時間。按第一種方案一共藥性 4+23 + 3 = 30 （分）才能到達 體育館，小波家與體育館相距 50X （345+ 15+ 7） =50X （ 23+7）= 1500 米答：小波家和體育館相距1500米。做一做1動物園為猴山的猴買來桃，這些桃如果每只猴分5個, 還剩32個；如果其中10只小猴分4個，其余的猴分8個，

3、就恰好分 完。問：猴山有猴多少只？共買來多少個桃？分析與解 根據觀察對應數量關系的變化尋找答案的解題思路， 首先需要把條件“如果其中10只小猴分4個，其余的猴分8個，就 恰好分完”轉化成：如果每只猴都分8個就少（8 4） X 10=40個，然后按盈虧問 題來求解。每只猴都分8個，所缺桃子數為（8-4 ） X 10=40 （個）猴子總數為（40+ 32）-（ 8-5）=24 （只）猴子總數為5X24+ 32= 152（個）答：猴山有猴24只，共買來152個桃。做一做2農民種樹，其中有3人分得樹苗各4棵，其余每人分 得3棵，這樣最后余下樹苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人 分得5棵，則樹苗恰好

4、分盡。求人數和樹苗的總數各是多少？B級更上層樓【例3】 某中學買了一批英文打字機，分給高中三年級各班。其中兩個班各分6臺，其余各班分3臺，則多6臺；如果有一個班分 7臺，其余各班分5臺，則還差12臺。問：學校買來了多少臺打字 機分給多少個高中三年級的班？分析與解 這時非平均分配的盈虧問題，可先化成平均分配的盈 虧問題。如果每個班分3臺，則多余6+2X ( 63)= 12 (臺)；如果每 個班分5臺，則不足12- ( 7 5)=10 (臺)。這樣問題轉化成平均 分配的基本盈虧問題。6+2X ( 6 3)+12 ( 7 5) + ( 53)= 11 (個)5X 11-10= 45 (臺)答：學校購

5、進英文打字機45臺，分給高三年紀的11個班。小結這類非平均分配的盈虧問題要先化成屁分配的基本盈虧 問題后，再求解。做一做3農民鋤草，其中5人每人鋤4公頃，余下的人每人鋤 3公頃，這樣分配最后還余下26公頃無人鋤；如果其中3人每人鋤3 公頃，余下的人每人鋤5公頃，最后還余下3公頃。求鋤地面積和人 數各是多少？【例4】聰聰用10元錢買了 3支圓珠筆和7個練習本，剩下的錢若買一支圓珠筆就少0.14元，若買一個練習本還多0.8元。問:才子教育小學奧數系列一支圓珠筆的售價為多少元？分析與解 從“買圓珠筆少0.14元，買練習本多0.8元”知道， 一支圓珠筆比一個練習本貴 0.94元。如果聰聰花10 0.8

6、=9.2（元），就可以買3支圓珠筆和7+1=8（個） 練習本。每個練習本的價格是（10 0.8 0.94X 3） + （3+8）=0.58（元）圓珠筆的單價是0.58+0.94=1.52前）答：一支圓珠筆的售價為1.52元。做一做4小明用2元錢買了 5支鉛筆和8塊橡皮，余下的錢買 一支鉛筆就缺4分，買一塊橡皮就多出2分。問：每支鉛筆的價格是 多少？【例5】 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的 3倍 多2個。每次從箱子里取出7個白球和15個紅球，經過若干次后， 箱子里還剩下3個白球和53個紅球。問：箱子里原有的紅球比白球 多多少個？分析與解 因為紅球數是白球數的3倍多2個，每次取15個，

7、 最后剩53個，所以，假設將白球數擴大3倍，按紅球取法每次取15 個，最后應剩51個白球。白球每次取7個，最后剩3個，所以假設將白球數擴大3倍，每次取7X 3=21（個），最后應剩3X 3=9（個）才子教育小學奧數系列每次多拿2115=6（個）,共多拿走51 9=42（個）,因此共?。?19） +（21 15）=7（次）,則紅球有 15X7+53=158（個）白球有7X7+3=52（個）紅球比白球多158 52=106（個）答：原有的紅球比白球多106個。做一做5蘋果和梨各有若干個，如果5個蘋果和3個梨裝一袋， 則還多4個蘋果，梨恰好裝完；如果7個蘋果和3個梨裝一袋，則蘋 果恰好裝完，梨還多1

8、2個。問：蘋果和梨各有多少個？【例61同學們植樹，若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵，則還有一棵樹沒有人植；若有 5人每人植7棵，其余的人每人 植4棵，則剛好植完。問：有多少棵樹？解 “若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵”，把它改為每人都植8棵，即以“其余的人”作為標準，則變成“每人植8棵，就還差 6X（8 5） 1 = 17（棵）”?！叭粲?人每人植7棵，其余的人每植4棵，則剛好植完”，把 它改為每人植4棵，也以“其余的人”為標準，那么變成“每人植 4 棵，則還剩（7-4） X 5=15（棵）沒人植”。這樣轉化成標準的盈虧問題后，就可以求出植樹的人數：(17+15) +(8 4)=8

9、(人)才子教育小學奧數系列植樹的棵數為：6X5+8X2+1=47（棵）答：有47棵樹。做一做6小明與小紅各買了一本數學競賽習題集，約定在相同 的時間內做完。小明計劃頭兩周每周做 30道習題，以后每周25道； 小紅計劃頭兩周每周做35道，以后每周做30道，剩余2周留下復習。 問：這本習題集共有多少道習題？他們準備用幾周做完？C級勇奪冠軍【例7】某幼兒園的小班人數最少，中班 27人，大班比小班多6人。六一兒童節分糖果25包，每包不超過60塊，不少50塊， 糖果總數個位數字是7,如果每人分19塊，那么糖果數不夠?，F在 大班比中班每人多分1塊，中班比小班每人多分1塊，剛好分完。問： 這批糖果共多少塊？

10、解 據題設1 250=50X 25W糖果總數w 60X25=1 500。因小班人 數最少，中班有27人，所以總人數不超過27X 3+6=87（人）。因（1 250 -6） +87>14,所以每人至少分得15塊，又因每人19塊分不夠， 所以每人至多分18塊。注意到總數個位數是7,而7-6=1是奇數， 所以只能是17塊或15塊。但15的倍數的個位數應是0或5,不是1, 所以只能每人分17塊。再估計總數：17X 74=1 258> 1 250 6,它的個位數不是1,現在用1 258適當加上17的倍數，使個位數為1,且W 1 500,經驗算， 只有1 258+17X 9=1 411,因此糖

11、果總數是1 411+6=1 417怏）。做一做7甲、乙、丙三個班向希望工程捐贈圖書。已知甲班有1有人捐6冊，有2人各捐7冊其余人各捐11冊；乙班有1人捐6 冊；3人各捐8冊，其余人各捐10冊；丙班有2人各捐4冊，6人各 捐7冊，其余人各捐9冊。已知甲班捐書總數比乙班多 28冊，乙班 比丙班多101冊。各班捐書總數在400550之間。問：每班名有多少 人？巧練習一一溫故知新（四）A級基礎點睛1 .小羽從家去學校，若每分鐘走80米，則能在上課前6分鐘到 校；若每分鐘走50米，就要遲到3分鐘。問：小羽的家到學校的路 有多遠？2 .貨運列車運載糧食，若每節車皮裝 90噸，則還余60噸運不 走；若每節車

12、皮裝110噸，則可空下兩節車皮。問：有多少節車皮？ 待運的糧食有多少噸？3 . 一支部隊有若干個連隊，如果再調進一個連隊，則現存的糧食可吃6天；如果調出一個連隊，則現存的糧食可吃 10天。假設每個連隊每天吃的糧食一樣多，那么這支部隊有多少個連隊？若現存的糧食只給一個連隊吃，問：可吃多少天？4 . 一群小豬分吃飼料，若每頭吃 8千克，則還缺432千克；若 每頭改吃6千克，則仍缺234千克。問：有多少頭小豬？有多少千克 飼料？B級更上層樓6 .有一些蘋果和梨，蘋果的數量是梨的 4倍少2個。如果每次 吃掉5個蘋果和2個梨，那么當梨吃完時還剩下 40個蘋果。問：原 有多少個蘋果？7 .用一根繩子測井臺

13、離水面的高度。把繩子對折后垂到井臺水 面，繩子超過井臺9米；把繩子三折后垂到井臺水面，繩子超過井臺 2米。求繩長和井臺離水面的高度。8 .小明花19元買了 10本練習本和10支鉛筆。他還有余錢，如 果要再買1支鉛筆，就多0.30元；如果要再買一本練習本，就少0.20 元。問：小明原有多少錢？9 .有若干盒卡片，每盒中的卡片數一樣多。把這些卡片分給一 些小朋友，如果只分一盒，每人分8張還缺少5張?，F在把所有卡片 都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問：有多少位小朋友？10 .有兩筐蘋果，如果從第一筐拿出9個放到第二筐里，則兩筐 的蘋果數就一樣多；如果從第二筐拿出 12個放到第一筐里，則第一

14、 筐蘋果數是第二筐的2倍。求每筐原來各有多少個蘋果。11 .王彩帶錢若干，到上海路菜場去買魚，若買鯉魚 30條，差 4元；若買魚魚40條，則多20元。兩種魚每條的價格相差2元1角, 問：兩種魚的單價是多少元？12 .五年級有甲、乙、丙三個班，甲班比乙班多 4名女生，乙班 比丙班多1名女生，如果將甲班的第一組同學調入乙班， 同時將乙班 的第一組同學調入丙班，將丙班的第一組同學調入甲班，則三個班的 女生人數恰好相同。已知丙班第一組有2名女生，那么甲班第一組有 多少名女生？13 . 2 001個球平均分給若干個人，恰好分完。若有一人不參加 分球，則每人可以多分2個球，而且球還有剩余；若每人多分3個球

15、,則球的個數不夠。問：原來每人平均分多少個球？14 .媽媽給紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡， 甲種卡每張0.50元，丙種卡每張1.20元。用這些錢買甲種卡要比買 乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多 少錢？乙種卡每張多少錢？巧總結本節我的收獲是：不足之處有：神奇的省刻度尺小朋友，我們都知道生活中省電、省氣、省油的一些方法，那么 天平和刻度尺怎么省呢？ “省刻度尺”在圖論中又稱Golomb尺, 它已在X射線、晶體學、雷達脈沖、導彈控制、通信網絡、射電天 文學等領域派上用場。早在二百多年前，數學大師歐拉就曾研究過天平祛碼的最佳 (省) 設置問題，他給出了下面的

16、結論：若只允許祛碼放在天平的一端，則有 20 ( 1), 21, 22,，2克/ /少兒數學重祛碼，可以稱出12k+1 1之間任何整數克重的物品；若允許祛碼放在天平的兩端，則有30 ( 1), 31, 32,，3r克重祛碼，可以稱出Qk 11 O1之間任何整數克重的物品。2實際上，這個結論與“二進制”和“三進制”的表示有關。一百多年前，英國數學游戲家杜德尼(1857 013 1930)又在思考如何節省刻度尺呢？他發現，一根13cm長的尺子，只需用六個刻度0, 1, 4,5, 11,即可量出113任何整數厘米長白物品。我們用 mn表示m 量至U n,貝U有 1 (0-1), 2 (1113), 3 (1-4), 4 (0-4) 5, (0 - 5), 6 (511), 7 (411) , 8 (513), 9 (413) , 10 (1 11), 11 (011), 12 (1 13), 13 (1 - 13)。同時，杜德尼經過不斷探索發現，22cm長的尺子僅需六個刻度 (兩種方案)即可完成上面的度量(以下簡稱完整度量)。這兩種刻 度分別為：(1) 1, 2, 3, 8, 13, 18 (cm); (2) 1, 4, 5, 12, 14, 20(cm)。日本的藤村幸三郎在杜德尼研究的基礎上發現：一根23cm長的尺子，僅需在1, 4