1、§ 11.4 隱函數存在定理在幾何方面的應用一、空間曲線的切線與法平面1 .設空間曲線C的參數方程是x =x(t), y = y(t), z = z(t),tw I (區間)它們在區間 I 可導,且 X/t w I,有x"(t) + y %)+z'2(t) # 0(即 x'(t),y'(t),z'(t)不同時為 0).取定t°w I ,對應曲線 C上一點 P0(x0,y0,zo) = Bx(t0),y(t0),z(t0).任取改變量&#0,使t0+AtwI ,對應曲線C上另一點P(x0 +Ax, No + Ay, z + A

2、z)= Px(t. ：t),y(t0 .：t),z(t.：t).由空間解析幾何知,過曲線 C上兩點P0與p割線方程是x -x°y - y0z-z0x. :y：z或x-m 二 y -y0 ; z一._x:y：z .tt t當點P沿曲線C無限趨近于點P0時,即&T 0,割線P°P,的極限位置就是曲線C上點B的切線.于是,曲線C上點P0的切線方程是x x(tO) _ y - y(tO) _ z z(tO) . x(t.)y(t.)z(t.)切線的方向向量Tx'(t0), y'(t0),z'(t0)稱為曲線C在點P°的切向量.一個平面通過空

3、間曲線C上一點P0(x0y0,z0),且與過點P.的切線垂直,稱此平面是空間曲線C在點P0的法平面.如圖11.4.于是切線的切向量就是法平面的、_口 、口.法向量.假設在法平面上任取一點P(x,y,z),那么向量RP = (x-x°,y-y°,z-z0)與切線的切向量Tx(t0), y'(t.), z'D垂直,即(xt), y (t0),z(t0) (x-, y - y°,z-4) =0.由向量的內積(向量的數量積)公式,法平面的方程是x(t0)(x-X0) y(t0)(y-Y0) z(t0)(z Z0) =0或x (t0)x -x(t0)y (t

4、°) y - y(t°)z (t°)z-z(t0) =0.例1.求螺旋線x = acost, y= asint ,z= bfct0 = 三處的切線方程與法線方3程.解：x,=asint,y,= acost, z,= b.切線方程是nnnx - acos y-asin z- b 3 _3 二 3二一 二 一 b-asin acos33ax -2-a2法線方程是與0旦】一旦二1=0.2 I 21212 J V 3 J2.設三維歐氏空間R3的曲線C是由函數方程組E(x,y,z)=0, F2(x,y,z) = 0 上所確定,即曲線 C是這兩個曲面的交線.在空間曲線 C上任

5、取一個定點 P(x), y0,z0),即 Fi(Xo, y°, z°)= 0與 F2%, y°, 4) = 0 .設 F1(x, y, z)與 F2(x, y, z) Mx, y, z的偏導數在點P的鄰域內都連續,l 6(Fi,F2)Fi,F2),(x,y) P, c(y,z) p可打2)“z, x)不同P時為零,不防設aF1,F2) #0 .根據§ 11.1定理4,在點x.某鄰域,空間曲線C 穴 y,z) p可表為y = y(x) 與 z = z(x).于是,空間曲線C可表為以x為參數的參數方程又=X, y=y(x), z=z(x).從而,空間曲線C在

6、點P的切線向量是T(1,dy,dz),下面求出,dz.dx dxdx dx由隱函數的求導公式,有解得I i.x；:y dx ； z dx=°,：干2而2 dy汗2 dzC二 0.-ydx：什1下2)dy f(z,x)dz加=猛下2),：:(y,z)乂匕下2)：:(x, y)dx乂匕下2)：:(y,z)由切線方程的公式,三維歐氏空間R3曲線C在點P(xo,y0,z0)的切線方程是x - % y - y0x -x0說F1,F2)Pd(z, x)方(F1,F2)Pd(y,z)z -.-：(F1,F2)-:(x, y) ：:(y, z)正正2)-:(y,z)y -y0(F1,F2)z, x)

7、z -z0(1)F(Fi,F2)P F(x,y)三維歐氏空間R3曲線C在點P(x0,y0,z0)的法平面方程是：(燈2)：:(y,z)例2.方程.解:許下2):(y,z)P(嚅/、112)(y 70)p二(x, y)(z - z.)= 0.P(2)求曲線x2 +y2 +z2 =6,x + y +z=0在點P(1,-2,1)的切線方程與法平面222F1 = x2y2z26,F2 = x y - z.=-6p:F1=2x, .x:f1=2y,-y汴1.z二 2z,4,而下2)：(z,x)=0pA I. :z：:(下2)：:(x, y)=6p由公式(1)與(2),曲線在點P(1=2,1)的切線方程與

8、法平面方程分別是x -1y 2 z -1.-606與-6(x-1)+6(z-1)=0 或 x-z = 0.二、曲面的切平面與法線1 .設三維歐氏空間R3曲面S的方程是z = f( x » , (x 司)OK域)由§10.3定理3知,假設二元函數z= f(x, y)在點(xo, y°)w D可微,那么曲面S上點M(x0, y0,z0)(z = f(x0,y.)的切平面方程是fx(x0,yO)(xxO) fy(x0,yO)(yy°)一(z z0) =0,即切平面的法向量是n fx(%,y.),fy(x0,y0),-1 .于是,法線方程是x -x°y

9、 - y 0 z-z 0.fx(% ,y 0) fy X .y, 0 ) -12 .設曲面S的方程是F(x, y, z) =0.在曲面S上任取一點M(x0,y02),即F(x0,y0,z0) =0 .假設三元函數F (x, y, z)所有的偏導數在點M的鄰域連續,且 更,毛,更在點M不同時為零.設里 #0.根 ex 二 y 二 z二z m據§11.1定理2,在點(x0,y.)的某鄰域,曲面S可表為z = f( x y>,0 zf0 x,0 y).求曲面S上點M (%, y0,z°)的切平面方程.首先求曲面S在點M的法向量n( fx(x0,y0), f；(x0,y0),

10、-1 ).由隱函數求導數公式,有.F二 F 二 z -=0 ,x二z 二 x中.-:y ：:z ：:y解得干-=fx(x ,yx正z：:F工 fy x(y,二岸.y: F由切平面方程公式,曲面S上點M (x0, y0,z0)的切平面方程是:FJx千；z(y y) & 0z) 0,:F.:xF(x -x0) m二 y,y-y0方工 czz(-z 0=)0.M(3)jF y (x- x)-f；z曲面S上點M (X0, y0, Z0)的法線方程是x % y y°z-z千.x干m:y(4).-z2例3.求曲面x3222+ y3+z3 =a3上在點解:F ( x, y, z)23x22

11、3 一 3-y z-P(x0, y0,z°)的切平面方程與法線方程.2 3aF 2 -3 FxFxFy二|y3小工于是,曲面在點P(x0,y0,z.)的切平面方程與法線方程分別是X0 3( X x) + M3 (1 0y) + Z ( w 0Z= 0x -為 x三x01x03 ( x-y- y1y.3z °z1z0 350) =1y-y) =3z ( z°z.3 .設曲面S是參數方程x =x(u,v), y = y(u,v), z = z(u, v)(u, v) e D (區域).取定一點Q(u0,v0)w D ,對應曲面S上點 M (X), y0,z),即x0

12、= X 4, v), y= y(u,(v),/N(u,v).假設上述函數組的所有偏導數在點 Q(u0,v.)的鄰域都連續,且8(x, y)氫y,z)：(u,v)Q ：(u,v)：(z, x)：(u,v)不同時為0.不妨設史xMQ二(u,v)#0 .根據§ 11.1定理Q3的推論,函數組x =x(u, v), y = y(u,v)在點(x°, y°)鄰域存在有連續偏導數的反函數組 u = u(x, y),v =v(x, y).將它們代入z = z(u,v)之中,有z = z U X y), v( x, y)求曲面S上點M (Xo, yo,zo)的切平面方程.首先求曲

13、面S在點M的法向量n(zX(xo, yo),z；(xo, yo), -1).由隱函數的求導法那么(注意,z是x, y的函數,而x, y又是u, v的函數),有l r-TV.rv_rvdz.czexdz.cy一,cucxc uCyv| 遼j zx；zy._:v x j v j y v：:(y z )三 z(x,)解得上二3jc)二=-)?x：:(x, y) ' y F(x,y) .F(u,v)u,v)由切平面方程公式,曲面S在點M(xo,yo,zo)的切平面方程是z -zog(y ,z ) c(u v l久 x ,y )(y -yo)"x,)u u(v,Q) y _ y o),x(y, ) ,c(u v )qFu(v, q)符-x) +已(zx )/、exyy_y白uvQ) em%卜-0z )= o(5)x- x曲面S在點M(x,yo,zo)的法線方程是(6)z ozay ,z) & e x ) e x y )u ,v)q u u q) c m % )例4.求曲面x = u+v, y =u2+v2, z =u3+v3在點Q(o, 2)對應曲面上的點的切 平面方程與法線方程.解：點Q(o, 2)對應曲面上的點