1、文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持21求展開式中的特定項知識內容1.二項式定理二項式定理.n 0 n 1 n 12 n 2. 2n. na bCna Cna b Cna b . Cnb n N這個公式表示的定理叫做二項式定理.二項式系數、二項式的通項rC0anda bC：ab2 .C：bn叫做a b的二項展開式，其中的系數Cnr 0, 1, 2，n叫做二項式系數，式中的C：an rb叫做二項展開式的通項，用Tr 1表示，即通項為展開式的第r 1項：_ 八 r n r. rTr 1 Cna b .二項式展開式的各項哥指數二項式a bn的展開式項數為n 1項，各項的哥指數

2、狀況是各項的次數都等于二項式的哥指數n .字母a的按降哥排列，從第一項開始，次數由 n逐項減1直到零，字母b按升哥排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.幾點注意通項Tr 1 C：anrbr是a bn的展開式的第r 1項，這里r 0,1,2,., n .二項式a bn的r 1項和b an的展開式的第r 1項C；bn rar是有區別的，應用二項式定理時，其 中的a和b是不能隨便交換的.注意二項式系數（C；）與展開式中對應項的系數不一定相等，二項式系數一定為正，而項的系數有 時可為負.通項公式是a bn這個標準形式下而言的，如a bn的二項展開式的通項公式是Tr 11 rCnranrbr（只須把

3、b看成b代入二項式定理）這與Tr1C：anrbr是不同的，在這里對應項的二項式系數是相等的都是 C；，但項的系數一個是1r C：，一個是C；，可看出，二項式系數與項的系數是不同的概念.總設 a 1b Y 同徨公式。1 Y n 1 C1Y C2Y2CrYrVna 1, b X 5 人I T 1 X 1 C n X C n X. C n X . X .通項是 Tr 1C：an rbr r 0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a, b, n, r 五個元素,只要知道其中四個即可求第五個元素.當n不是很大，|x比較小時可以用展開式的前幾項求(1 X)n的近似值.2.二項式系數的性質楊輝三角

4、形：對于n是較小的正整數時，可以直接寫出各項系數而不去套用二項式定理，二項式系數也可以直接用楊輝三角計算.楊輝三角有如下規律：“左、右兩邊斜行各數都是1.其余各數都等于它肩上兩個數字的和.”二項式系數的性質：n.-.一，012n . 一 r一.、 一 a b展開式的二項式系數是：Cn, Cn, Cn, ., Cn ,從函數的角度看 Cn可以看成是r為自變量的函數f r ,其定義域是：0, 1, 2, 3, ., n .當n 6時，f r的圖象為下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和n 6時f r的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數的性質.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.事實上，這一

5、性質可直接由公式 Cm Cn m得到.增減性與最大值如果二項式的哥指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；如果二項式的哥指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大. 由于展開式各項的二項式系數順次是1 n C2 n n 1Cn 1, Cn . , Cn . .，11 2Ckn n 1 n 2 . n k 21 2 3 . k 1Ckn n 1 n 2 . n k 2 n k 11 2 3. k 1 kn ,Cn 1 其中，后一個二項式系數的分子是前一個二項式系數的分子乘以逐次減小1的數（如n,n 1, n 2,.）,rCn的值轉化為不遞增而遞減了.又因為分母是乘以逐次增大的數（如1, 2, 3

6、,）.因為，一個自然數乘以一個大于1的數則變大，而乘以個小于1的數則變小，從而當k依次取1, 2, 3,等值時,與首末兩端“等距離”的兩項的式系數相等，所以二項式系數增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數最大的項必在中間.當n是偶數時，n 1是奇數，展開式共有 n 1項，所以展開式有中間一項，并且這一項的二項式系數最大,最大為 Cn2 .當n是奇數時，n 1是偶數，展開式共有 n 1項，所以有中間兩項. n 1 n 1這兩項的二項式系數相等并且最大，最大為C C了.二項式系數的和為2n，即C0 Cn C2 . Cn . Cn 2n.奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即_ 0 _

7、 2 _ 4_ 1 _ 3 _5n 1Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2常見題型有：求展開式的某些特定項、項數、系數，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數式問題.m山準 典例分析二項展開式2求展開式中的特定項（常數項，有理項，系數最大項等.）常數項_20【例1】 在x V3y 展開式中，系數為有理數的項共有 項.【例2】（五 V3）100的展開式中共有 項是有理項.【例3】（1 3x）6（1 1）10展開式中的常數項為 （用數字作答） x6c1【例4】1 x x2 x 1 的展開式中的常數項為 x2【例5】二項式x+- 的展開式中的常數項為 x為.（用數字作答）展開式中各項系數和12【例

8、6】 若 & a 的展開式中的常數項為220,則實數a x【例7】在二項式 x25-的展開式中，x的系數是 10,則實數a的值為 x6【例8】在x2 1的展開式中，常數項是.（結果用數值表示） xn【例9】 如果x 1 展開式中，第四項與第六項的系數相等，則n，展開式中的常數項的x值等于.【例10（1 2x2）（x 1）8的展開式中常數項為 （用數字作答） x【例11若（x 1）n展開式的二項式系數之和為64,則展開式的常數項為 （用數字作答）x【例12若（2x3 ）n的展開式中含有常數項，則最小的正整數n等于【例13】在（& 2）n的二項展開式中，若常數項為 60 ,則n等于

9、 （用數字作答） x【例14】（x2 1）n的展開式中，常數項為15,則nx【例15】已知（1x2）（x 4）n的展開式中沒有常數項，n N*x,且 2WnW8,則 n【例16】(x 3x12展開式中的常數項為（用數字作答）.【例17】已知（x2項是亍）n的展開式中第三項與第五項的系數之比為（用數字作答）則展開式中常數【例18】3已知 n w 10(n N),右(x1 n丁）n的展開式中含有常數項,x則這樣的A. 3個B. 2C. 1D. 0（用數字作答）【例19（1 次6（1 工）10展開式中的常數項為【例20（-1 向5的展開式中整理后的常數項為 （用數字作答） 2 x【例21（1 2x2

10、）（x 1）8的展開式中常數項為（用數字作答）xn【例22】已知2x3 1 的展開式的常數項是第 7項，則n的值為（）xA. 7B. 8C. 9D. 10（用數字作答）【例23】在（& 2）n的二項展開式中，若常數項為 60 ,則n等于 x【例24（x2 1）n的展開式中，常數項為 15,則n -【例25】（x 2）12展開式中的常數項為 （用數字作答）3x巨，其中i21 ,則展開式中常數14【例26】已知（x2 工）n的展開式中第三項與第五項的系數之比為項是 （用數字作答）【例27】已知nwi0（n N）,若（x3 口）n的展開式中含有常數項，則這樣的門有（ ）xA. 3個B. 2C

11、. 1D. 0121【例28】x 3 x展開式中的常數項為（)A.1320B. 1320C.220D. 22061【例29】求x 1 2 展開式中的常數項.x61（用數字作答）【例30】2x 一的展開式的常數項是2xn【例31】在 vx 2 的二項展開式中，若常數項為60 ,則n等于（）xA. 3B . 6C 9D. 12n_1 一一 一，一 一一 ,一一【例32】x 1 的展開式中的第5項為常數項，那么正整數n的值是n【例33若xx 3 的展開式中存在常數項，則 n的值可以是（）3 xA. 10B. 11C. 12D. 14【例34在（2x2 1）6的展開式中常數項是 x【例35】已知（1

12、x x2）（x、）n的展開式中沒有常數項，n N*,且2WnW8,則n .x【例36若（2x3 +）n的展開式中含有常數項，則最小的正整數n等于n【例37】已知x2 3 的展開式中第三項與第五項的系數之比為厘，則展開式中常數項是（）x14A.1B, 1C.45D. 45n2 1一一，,【例38若x2 -展開式中的二項式系數和為 512,則n等于;該展開式中的常數項x為.9【例39若ax2 - 的展開式中常數項為84 ,則a ,其展開式中二項式系數之和為xn,1【例40】若x 1 展開式的二項式系數之和為64,則展開式的常數項為（）xA. 10B. 20C. 30D. 120有理項【例41】求二

13、項式3x15的展開式中:常數項；（1府幾個有理項（只需求出個數即可）（1府幾個整式項（只需求出個數即可）【例42】（夜3/3）100的展開式中共有 項是有理項.【例43】二項式（設的展開式中:求常數項； 有幾個有理項； 有幾個整式項.n.11一一 ，、.【例44】已知在 返'的展開式中，前三項的系數成等差數列24X求n ;求展開式中的有理項.【例45】二項展開式A. 331x15中，有理項的項數是（B. 4 C. 5 D. 6【例46】11在3 Vx 2 3/x 的展開式中任取一項，設所取項為有理項的概率為A . 1B. -C. 761p ,則 0xPdxD.1113【例47】（7xV

14、X）12的展開式中，含x的正整數次事的項共有（）A. 4項B. 3項 C. 2項D. 1項【例48】若1 拒5 a b石（a , b為有理數），則a b （）A. 45B. 55C. 70D. 80系數最大的項【例49】已知(x，)n的展開式中前三項的系數成等差數列.2.x求n的值；求展開式中系數最大的項.【例50(2 3x)20展開式中系數最大的項是第幾項?【例51】已知(1 3x)n的展開式中，末三項的二項式系數的和等于 121 ,求展開式中系數最大的項.i n【例52】在3 x3的展開式中，只有第 5項的二項式系數最大，則展開式中常數項是 2A.7B. 7C.28 D. 28【例53】已

15、知(2x xlgx)8的展開式中，二項式系數最大的項的值等于1120 ,求x .101 , , ,一一 一，一,一一【例54】求反、 的展開式中，系數絕對值最大的項以及系數最大的項.23 x【例55】已知4f 潺 展開式中的倒數第三項的系數為 45,求:含x3的項；系數最大的項.【例56】設m,n N , m,n>1, f (x) (1 x)m (1 x)n的展開式中，x的系數為19 .求f(x)展開式中x2的系數的最大、最小值；對于使f (x)中x2的系數取最小值時的m、n的值，求x7的系數.2【例57】已知：(x3 3x2)n的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992 .求展開

16、式中二項式系數最大的項；求展開式中系數最大的項.【例58】(2 3x)20展開式中系數最大的項是第幾項?【例59】關于二項式(x 1 )2005有下列命題：(1眩二項展開式中非常數項的系數和是1 :一、61999(1眩二項展開式中第六項為C2005X；(1眩二項展開式中系數最大的項是第1003項與第1004項；2005當x 2006時，(X 1) 除以2006的余數是2005 .其中正確命題的序號是.(注：把你認為正確的命題序號都填上)【例60】n. X 1.一. 一 .一.一. 一 在-+一 的展開式，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中常數項為2 3x.（用數字作答)【例61】- 2n 1設 17 4的整數部分和小數部分分別為M n與