1、2018二次函數壓軸題題型歸納一、二次函數常考點匯總1、兩點間的距離公式：AB = RyA -yB f +(Xa -Xb f2、中點坐標：線段AB的中點C的坐標為：''Xa'Xb ,yA*yB、i2 22 J直線 y = k1x +b1 ( k1 =0 )與 y = k2x + b2 ( k2 =0 )的位置關系：(1)兩直線平行u ki =k2且bi于b(2)兩直線相交=ki #k2(3)兩直線重合 u k1 =k2且b1 =b2(4)兩直線垂直 u k1k2 = -1 、一元二次方程有整數根問題，解題步驟如下： 用和參數的其他要求確定參數的取值范圍； 解方程，求出方

2、程的根；(兩種形式：分式、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因數；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關于x的一元二次方程x22(m+1 K+ m2 = 0有兩個整數根，m<5且m為整數，求m的值。4、二次函數與x軸的交點為整數點問題。(方法同上)例：若拋物線y =mx2+(3m+1 X+3與x軸交于兩個不同的整數點，且 m為正整數，試確定此 拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3 = 0 (m為實數)，求證：無論m為何值，方程總有 一個固定的根。解：當m =0時，x =1 ;當

3、m=0 時，A=(m3f20, x = 3m3,xl2 ©、X2 =1 ;2mm綜上所述：無論m為何值，方程總有一個固定的根是1。6、函數過固定點問題，舉例如下：已知拋物線y =x2 -mx + m-2 ( m是常數)，求證：不論m為何值，該拋物線總經過一個周 定的點，并求出固定點的坐標。解：把原解析式變形為關于 m的方程y -x2+2= m(1 -x)；V -Y2 +2=0，y = 1 d X 2 °,解得：3V .拋物線總經過一個固定的點(1, 1)。J-x = 0、x=1(題目要求等價于：關于m的方程y -x2+2 = m(1 -x )不論m為何值，方程包成立)小結：

4、關于x的方程ax = b有無數解u *a =0 ''b =07、路徑最值問題(待定的點所在的直線就是對稱軸)(1)如圖，直線li、12 ,點A在12上，分別在li、12上確定兩點M、N,使得AM+MN之和最 小。(2)如圖，直線li、12相交，兩個固定點A、B,分別在li、12上確定兩點M、N ,使得 BM +MN + AN之和最小。8、在平面直角坐標系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如上圖，&pa=1/2 - PMAx=1/2 AN Ay9、函數的交點問題：二次函數(y= ax2+ bx+c)與一次函數(y7= QY2-k Kv-k。(1)

5、解方程組y a' " C可求出兩個圖象交點的坐標。、y= kx+ h . 、 22 . . c.(2)解萬程組 = ax+bx+ c即ax2+(bk x+c h = 0 ,通過可判斷兩個圖象的父點的個數 y= kx+ h有兩個交點 二 A>0 僅有一個交點 = A = 0 沒有交點=A<010、方程法(1)設：設主動點的坐標或基本線段的長度(2)表示：用含同一未知數的式子表示其他相關的數量(3)列方程或關系式11、幾何分析法特別是構造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形 時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析

6、涉及公式應用圖形跟平行肩關 的圖形平移11 / 12 u k1 k2、k = y y x1 - x2平行四邊形矩形梯形跟直角肩關 的圖形勾股定理逆定理 利用相似、全等、 平行、對頂角、互 余、互補等L.2 . -2abyB) +(xa -xb)直角三角形 直角梯形 矩形跟線段肩關 的圖形利用幾何中的全 等、中垂線的性質 等。ab = J。- yB f + (xa - xb f等腰二龜形全等 等腰梯形跟角有美的 圖形利用相似、全等、 平行、對頂角、互余、互補等【例題精講】 一基礎構圖：y=x2-2x3 （以下幾種分類的函數解析式就是這個）和最小，差最大1在對稱軸上找一點P,使得PB+PC勺和最小

7、，求出P點坐標2在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標討論直角三角 連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為直角三角形，求出P坐標或者在拋物線上求點P,使4ACP是以AC為直角邊的直角三角形.5P坐標討論等腰三角 連接AC,在對稱軸上找一點P,使得&ACP為等腰三角形，求出討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上, 且以B, A, F, E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點 F的坐標二綜合題型例1 (中考變式)如圖，拋物線y = -x2+bx+c與x軸交與A(1,0),B(-3 , 0)兩點，頂點為D。交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與 ABC

8、勺面積(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點 M使MBO以/ BCMfe直角的直角三角形，若存在, 求出點P的坐標。若沒有，請說明理由(3)若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點(不與A B重合)，過E作EF與X軸垂直，交 BC于F,設E點橫坐標為x.EF的長度為L, 求L關于X的函數關系式？關寫出X的取值范圍？當E點運動到什么位置時，線段 EF的值最大，并求此時EJ在(5)的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點 A當E點運動到什么位置時，以點E、F、H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？v(5)在(5)的情況下點E運動到什么位置時，使三角形 BCE的面積最大？ 例2 考點: 關于面積最值如圖

9、，在平面直角坐標系中，點 A、C的坐標分別為(1,0)、(0,-、氐)，點B在x軸上.已知某 二次函數的圖象經過 A B C三點，且它的對稱軸為直線 x=1,點P為直線BC下方的二次函數 圖象上的一個動點(點P與B、C不重合)，過點P作y軸的平行線交BC于點F.(1)求該二次函數的解析式；(2)若設點P的橫坐標為mi試用含m的代數式表示線段(3)求PBC0積的最大值，并求此時點 P的坐標.例3 考點:討論等腰如圖，已知拋物線y= lx2 + bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A B,點A的坐標為(2, 0), 2點C的坐標為(0, 1).(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段AC上一動點，

10、過點E作DELx軸于點D,連結DQ當DCE勺面積最大時，求點D的坐標；(3)在直線BC上是否存在一點P,使ACF%等腰三角形，若存在，求點 P的坐標，若不存在，備用圖說明理由.ly例4考點:討論直角三角 如圖，已知點A (一1, 0)和點B (1,2),在坐標軸上確定點P,使得4AB西直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有(A) 2個(B) 4個(C)6 個(D) 7個 已知：如圖一次函數y=x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B；二次函數y=1x222+ bx+c的圖象與一次函數y=3x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標 2為(1, 0)(1)求二次函數的解析式；(2

11、)求四邊形BDEC勺面積S;點P,若不存在，請說明理由.(3)在x軸上是否存在點P,使得PBCg以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的10例5考點：討論四邊形已知：如圖所示，關于x的拋物線丫 = 2乂2+ x + c (aw0)與x軸交于點A (2, 0),點B (6, 0),與y軸交于點C. (1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標;(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABD外等腰梯形，寫出點D的坐標，求出直線AD的解析式;(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點 M拋物線上有一動點P, x軸上有一動點Q.是否存在以A、M P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點 Q的

12、坐標；如果不存在,請說明理由.綜合練習:1、平面直角坐標系xOy中，拋物線y =ax2 _4ax+4a+c與x軸交于點A、點B,與y軸的正半軸交 于點C,點A的坐標為(1,0) , OB= OC拋物線白頂點為D。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對稱軸上的點 P滿足/ AP艮/ ACB求點P的坐標；(3) Q為線段BD上一點，點A關于/ AQB勺平分線的對稱點為A,若QAQB=V2,求點Q的坐 標和此時 QAA'的面積。2、標平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y =ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點C(0,3),與x軸 交于A、B兩點，點B的坐標為(-3,0 )。(1

13、)求二次函數的解析式及頂點 D的坐標；(2)點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線 OMf巴四邊形ACD的成面積為1 : 2的兩部分，求出此時點M的坐標；(3)點P是第二象限內拋物線上的一動點， 問：點P在何處時 CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點 P的坐標。3nM,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y = 2x2 一 2x與x軸負半軸交于點A,頂點為B ,且 m對稱軸與x軸交于點C o(1)求點B的坐標(用含m的代數式表示)；(2) D為OB中點，直線AD交y軸于E,若E (0, 2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點M在直線OB上，且使得AAMC的周長最小，P在拋物

14、線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 P的坐標。4、口知關于 x 的方程(1m)x2 +(4-m)x+3 = 0。(1)若方程有兩個不相等的實數根，求 m的取值范圍；(2)若正整數m滿足8-2m >2,設二次函數y = (1 -m)x2+(4-m)x+ 3的圖象與x軸交于A B 兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新 的圖象；請你結合這個新的圖象回答：當直線y = kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值(只需要求出兩個滿足題意的 k值即可)。65如圖，拋物線y=ax2+2ax+c (a*0)與y軸交于點C

15、(0, 4),與x軸交于點A (-4, 0)和B.(1)求該拋物線的解析式；(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEI AC交BC于點E,連接CQ當CEQ勺面積最大時， 求點Q的坐標；(3)平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(-2, 0) .問 是否有直線l ,使OD既等腰三角形？若存在，請求出點 F的坐標；若不存在，請說.明理由.三、中考二次函數代數型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側例1.已知二次函數y = x2+(mi- 1)x+ mt-2的圖象與x軸相交于A (x1，0), B (x2, 0)兩點，且xi<x2.(1)

16、若x1x2< 0,且m為正整數，求該二次函數的表達式；(2)若xy1, x2>1,求m的取值范圍；(3)是否存在實數m,使彳導過A、B兩點的圓與y軸相切于點C (0, 2),若存在，求出m的值； 若不存在，請說明理由；(4)若過點D (0,：)的直線與(1)中的二次函數圖象相交于 M N兩點，且"DN= ,求該 23直線的表達式.題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題例2已知二次函數y= x 2+mx+m-5(1)求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；(2)求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數解問題例1.已知拋物線y =x

17、2 -2(m+1)x + m2 =0與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數，且 m<5,則整數m的值為例2.已知二次函數y = x2 2m肝4m- 8.(1)當x02時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；(2)以拋物線y = x2 2mx+ 4m-8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正 AAMN (M, N兩點在拋物線上)，請問：AAMN勺面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說 明理由；(3)若拋物線y = x 2 2mx+ 4m- 8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數 m的值.1yx11題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關于原點對稱、拋物線的對稱性、數形結合例1.

18、已知拋物線y=x2+bx+c (其中b>0, cw0)與y軸的交點為A,點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B(m n),且AB=2.(1)求m b的值(2)如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且B(=J20。求拋物線所對應的函數關系式(友情提醒： 請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應用(線段長、定點兩側、點點關于原點對稱、等等)例1.已知：二次函數y =x2 -4x + m的圖象與x軸交于不同的兩點A ( x1 , 0)、B ( x2 , 0) ( x1 <X2),其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D.(1)求實數m的取值范圍；(2)如果(xi+1) (x2+1) =8,求二次函數

19、的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數圖象與x軸交于點A、B,頂點為點C1,且 ABCi是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數解析式.綜合提升1,已知二次函數的圖象與X軸交于A, B兩點，與y軸交于點C (0, 4),且| AB =25,圖象 的對稱軸為x=1.(1)求二次函數的表達式；(2)若二次函數的圖象都在直線y = x + m的下方，求m的取值范圍.22 .已知二次函數 y= x +mx2.(1)若該二次函數圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且 AB加，求m的值;(2)設該二次函數圖象與y軸的交點為C,二次函數圖象上存在關于原點對稱的兩

20、點 M N,且 & MNC =27,求m的值.3 .已知關于x的一元二次方程x22(k+1)x+k2= 0有兩個整數根，k<5且k為整數.(1)求k的值；(2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x2 2(k+1)x + k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數圖象的解析式；(3)根據直線y=x+b與(2)中的兩個函數圖象交點的總個數，求 b的取值范圍.4 .已知二次函數的圖象經過點 A (1, 0)和點B (2, 1),且與y軸交點的縱坐標為mi(1)若m為定值，求此二次函數的解析式；(2)若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范

21、圍；(3)若二次函數的圖象截直線y=x+1所得線段的長為22,求m的值.四、中考二次函數定值問題1 .如圖，已知二次函數Li： y=x2- 4x+3與x軸交于A. B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點C.(1)寫出二次函數L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)研究二次函數 L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0).寫出二次函數L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質;若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由.2 .如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于 A(-2, O)、B(2, 0)、C(0, l)三點，過坐標原點。的 直線y=kx