1、本單元教學“假設替換”策略。辭海里的“假設”即假定、假使的意思，“替換”即替代、更換的意思。數學教學讓學生解答的實際問題，有些是他們曾經見過或者解過的問題，學生知道解法，能夠順利地得到答案。有些問題比較陌生，由于是首次遇到或很少接觸，沒有現成的模型可以比照，沒有現成的方法可以搬用，解題的困難較大。學生解決新穎的、較復雜的問題，十分需要解決問題的策略。在前面的教科書里，已經教學了常用的解題思路，從條件向問題推理與從問題向條件推理；教學了理解題意、整理信息的常用方法，列表和畫圖；還教學了枚舉、轉化等思想方法。應該說，這些策略的教學，大幅度提高了學生解決實際問題的能力。數學教學不僅要學生解決學過的問

2、題，更要他們創造性地解決沒有見過的問題。一些結構比較復雜、解法比較特殊的問題，如果只是利用“常規”性的策略，即使整理了已知條件和所求問題，仍然難以發現數量關系、形成解題思路。即使有轉化成其他問題的愿望，仍然會因為缺少轉化的途徑和手段，而難以進行有效的轉化。值得注意的是，如果對某個條件作出合乎邏輯的假設，就可以根據變化后的新情境進行推理，把原來的問題轉化成較熟悉的或者稍簡單的問題，從而打開解題思路，找到解決問題的途徑。所以，假設也是人們解決問題的一個重要策略。數學教學應該讓學生逐步掌握假設的思想方法。全單元編排兩道例題，具體安排見下表：編排例1通過解決實際問題初步體驗“假設替換”策略例2應用“假

3、設替換”策略解決實際問題從表格里可以看到，教學假設與替換策略和教學其他策略一樣，也是分成兩步進行的。第一步先讓學生初步認識策略，感悟策略的思想與方法，體會策略有利于解決問題，對學習的策略產生積極的情感態度。第二步讓學生嘗試著應用策略，在解決問題的活動中，進一步體驗策略，逐漸學會使用策略，感受策略的價值，加強策略意識。（一） 例1利用直觀的問題情境，引發假設與替換的想法和做法例題圖文結合，講述了960毫升果汁正好倒滿6個小杯和2個大杯，還指出小杯的容量是大杯的1/3，要求小杯和大杯的容量各是多少毫升。教學過程大致設計成四段。第一段是理解題意，關注數量關系。學生閱讀文字敘述的例1，未必能采用適當的

4、形式整理已知與未知之間的聯系。他們雖然能夠理解題意，卻很可能抓不住核心的數量關系，形不成有效的解題思路。為此，教材提出問題“怎樣理解題中數量之間的關系？”引導他們關注“6個小杯和2個大杯的容量一共960毫升”“小杯的容量是大杯的1/3”，并且想到“3個小杯的容量和1個大杯的容量相等”“1個大杯相當于3個小杯”“3個小杯相當于1個大杯”，等等。這些數量關系將為接著的解題活動奠定基礎。第二段是學生交流解決問題的初步打算，并選擇一種方法解題。在理解題意和分析數量關系的基礎上，學生會有自己的解題打算。教材鼓勵他們交流自己的想法，并選擇一種方法解題。如，有些學生在直觀的圖畫情境里會想到，如果把果汁全部倒

5、在小杯里，問題就好解決了。于是產生把1個大杯換成3個小杯的想法，使960毫升果汁倒在12個小杯里，先求小杯容量，再求大杯容量都不困難了。又如，有些學生會設1個小杯的容量為x毫升，那么6個小杯的容量是6x毫升，1個大杯的容量為3x毫升，2個大杯的容量為6x毫升，于是想到列方程解題。教學應注意教材的兩點意圖：一是不要過早勉強學生采用“假設與替換”策略解題，已經想到這種方法的學生可以像這樣解題，暫時沒有想到的學生，應該用自己想到的方法解題。二是通過組織學生交流各種解法，在交流中充分關注“假設與替換”這種解法，理解如何假設、為什么這樣假設，為什么替換、如何替換。明白把果汁倒入大小不同的杯子想象成倒入同

6、樣的杯子，就是假設。為了解決問題，在假設的基礎上還需要進行必要的替換，把1個大杯換成3個小杯、2個大杯換成6個小杯就是替換。第三步假設把960毫升果汁全部倒入大杯，用大杯替換小杯，先算出1個大杯的容量，再計算1個小杯的容量。要求全體學生都根據這樣的假設算出結果。這一步讓原來就采用“假設與替換”方法解答的學生再經歷一次“假設替換”的過程，讓原來用其他方法解題的學生，嘗試著用“假設替換”的方法解題，體會這種思想方法。因為這種方法是例題所教學的方法，屬于全單元的教學內容。教學應該注意兩點：一是學生列式計算時，應該把假設與替換的方法盡量用算式表示出來。部分學生可能會列算式960÷4240（毫

7、升），算出1個大杯的容量；列算式960÷1280（毫升），計算1個小杯的容量。這兩個算式雖然正確，但不夠完美。要指導學生在這兩個算式的前面，先寫出求大杯個數的式子6÷3+24（個），或求小杯個數的式子6+3×212（個），把自己進行的替換表示出來。二是要檢驗結果，確認結果正確之后再寫出答句。這是解決問題的基本程序之一，更是嚴謹的態度與良好的習慣。尤其在采用新的方法解決新穎問題時，更需要及時檢驗，以確認解題方法與結果的合理性。檢驗這道題的結果，要抓住“果汁總量是960毫升”和“小杯的容量是大杯的1/3”這兩點進行。只有同時滿足這兩個關系的結果才是正確答案。應該承認，

8、學生已有的經驗結構中存在假設與替換的元素，不過這種存在是潛在的，往往是無意識地顯示和使用。教學的任務是把沉睡的思想喚醒，把潛在的方法激活，不僅解決實際問題，而且讓學生體會問題解法里的數學思想，從而使之成為以后解決問題可以利用的資源。這是例題的教學思路，也是策略教學的基本線索。第四步是回顧反思，積累假設體驗。這里的回顧分兩個層次進行：一是回顧例題的解題過程，反思自己是怎樣假設的，原來的問題通過假設變成怎樣的問題，假設在解決這道例題時起了什么作用，初步體會假設是解決問題的一種策略。二是回顧以前的數學學習中曾經運用假設策略解決過哪些問題，進一步體驗假設是一種重要且常用的解決問題策略。我們都知道，感悟

9、解題方法里的數學思想，是策略教學十分重要的一個環節，能使例題的教學價值超越通常的解題，獲得更有普遍意義的啟示。通過說策略，能夠使“假設替換”從潛在的、無意識的狀態，變成清晰的、能主動使用的解題資源。學生的策略的體會越深刻，策略意識就越強烈。配合例1的“練一練”讓學生像例題那樣進行假設與替換，把較復雜的問題轉化成較簡單的問題，通過解答假設以后的問題，得到原來問題的答案。應該讓學生先獨立解題，再交流解法以及形成解法的思考過程，以再認運用的解題策略，體會怎樣假設、怎樣替換。練習十一第13題是配合例1的習題。第1題著重練習等量替換，因為運用假設策略解決問題，經常要進行等量替換。第（1）小題用天平圖表示

10、1個菠蘿與2個梨一樣重，1個梨與3個桃一樣重，問題是1個菠蘿與幾個桃一樣重。學生說出這個問題的答案并不難，甚至會列式計算。應該讓他們說出解法里的替換思想和替換方法。第（2）小題同樣要突出解題方法里的假設與替換。學生有了等量替換的意識，解答第2、3兩題應該沒有困難了。（二） 例2主動應用“假設替換”策略解決問題，提高假設與替換的水平學生在例1里初步認識的解決問題策略，會影響后面的解題。如果解決后面的問題也運用同樣的策略，那么這種策略會很自然地向新的問題情境遷移，并在解題活動中得到加強和發展。例2呈現在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是100個的問題情境，每個大盒比每個小盒多裝8個，求

11、每個大盒和每個小盒各裝多少個球。這題與例1比，有些相似，有點變化，稍難一些。教學安排與例1差不多，也是“理解題意，關注數量關系”“提出假設，引發替換活動”“解答問題，感受假設思想”“回顧反思，積累假設體驗”的過程。只是把“提出假設，引發替換活動”與“解答問題，感受假設思想”連貫起來，一氣呵成。因為學生在學習例2時，已經具有假設、替換的心向，在提出假設、實施替換的同時，解題方法也就隨之形成了。教學應該尊重學生的現實，努力保持他們的思維連貫性。教學例2需要注意以下幾點：一是突出實際問題里的兩個基本數量關系，即2個大盒里球的個數+5個小盒里球的個數=100；1個大盒里球的個數-8=1個小盒里球的個數

12、、1個小盒里球的個數+8=1個大盒里球的個數。這些數量關系式是對兩個已知條件的理解，有助于形成假設與替換的思路。二是分別用兩種假設解題?？梢韵燃僭O7個全是小盒，用小盒替換大盒；再假設7個全是大盒，用大盒替換小盒。讓學生在兩種方法解題的過程中體會怎樣用大盒替換小盒，怎樣用小盒替換大盒，并利用兩種解法檢驗解題結果是否正確。三是處理好替換難點。無論用大盒替換小盒，還是用小盒替換大盒，都是“一對一”的替換。即用2個大盒替換成2個小盒，或用5個小盒替換成5個大盒。像這樣的替換會引起球的總個數的變化，這就構成了思維的難點。所以，教材在假設7個全是小盒以后，提醒學生注意“球的總數會發生什么變化？”幫助他們認

13、識到，用小盒替換大盒，盒子里球的總數會減少。2個小盒替換2個大盒，球的總數減少8×2=16（個）。同樣，在假設7個全是大盒以后，要提醒學生思考“球的總數又會怎樣變化？”幫助他們認識到，用大盒替換小盒，盒子里球的總數會增多。5個大盒替換5個小盒，球的總數增加8×5=40（個）。四是回顧反思。不僅要針對例2的解答，還應包括例1的學習。讓學生在兩道例題的解答中，體驗假設與替換的思想和操作方法，感受兩題的假設哪些地方是一致的，哪些地方不一樣，從而獲得像“辣椒”卡通所說的經驗。配合例2的“練一練”第1題和例2很相似，學生解題困難不會太大。教材仍然要求學生用兩種假設與替換方法解題，通過填空“假設5個都是大瓶，裝的油要比18千克多（）千克；假設5個都是小瓶，裝的油要比18千克少（）千克”，進一步體驗“相差關系”的替換特點，準確把握替換所引起的油的總數的變化。練習十一第5題，用線段圖給出數量關系：蘋果樹、桃樹、梨樹一共260棵；桃樹比蘋果樹多20棵，梨樹比蘋果樹多30棵。求三種樹各有多少棵。教材要求“假設桃樹、梨樹都與蘋果樹