1、楊輝三角的規(guī)律以及定理1二項(xiàng)式定理與楊輝三角與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，即二項(xiàng)式定理2楊輝三角我們首先從一個(gè)二次多項(xiàng)式的展開式來探討。由上式得出：(a+b) = a+2ab+b 此代數(shù)式的系數(shù)為：1 2 133223則(a+b)的展開式是什么呢？答案為：a +3a b+3ab+b 由此可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為：1 3 3 1 但4展開式為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4似乎沒有什么規(guī)律，所以讓我們?cè)賮砜纯吹恼归_式。1(110)1 1(111)1 2 1(112)1 3 3 1(113)1 4 6 4 1(114)1 5 10 10 5 1(115)1 6 1

2、5 20 15 6 1(116)楊輝三角形的系數(shù)分別為：1, (1,1 ) , (1,2,1 ),(1,3,3,1 ),(1,4,6,4,1) (1,5,10,10,5,1),(1,6,15,20,15,6,1(1,7,21,35,35,21,7,1)所以：(a+b) 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7o由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為:1 4 6 4 1似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列:由上式可以看出，(a+b) n等于a的次數(shù)依次下降n、n-1、n-2n-n，b的次數(shù)依次上升，0、1、2n次方。系數(shù)是 楊輝三角里的系數(shù)。2

3、楊輝三角的幕的關(guān)系11 11 2 11 3 3 1首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下:(1 )(1+1=2 )(1+2+1=4 )(1+3+3+仁8 )(1+4+6+4+ 仁16 )1 5 10 10 5 1(1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1(1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的數(shù)是1，2，4，8，16，32，64，剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，n次幕，即楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2的n-1次幕3楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系1 6 15把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行

4、之前的數(shù)字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的數(shù)字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的數(shù)字相加得7行中的數(shù)字對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第中前n-1個(gè)數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、(n-3)中第n行之前的數(shù)字之和、1。總結(jié)楊輝三角對(duì)于我們好理解的規(guī)律，如下六點(diǎn)：1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。2、每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開始逐漸變大。3、第n行的數(shù)字有n+1項(xiàng)。4、 第n行數(shù)字和為2 (n-1)。( 2的(n-1)次方)5(a+b) n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)