1、楊輝三角的規律以及定理1二項式定理與楊輝三角與楊輝三角聯系最緊密的是二項式乘方展開式的系數規律，即二項式定理2楊輝三角我們首先從一個二次多項式的展開式來探討。由上式得出：(a+b) = a+2ab+b 此代數式的系數為：1 2 133223則(a+b)的展開式是什么呢？答案為：a +3a b+3ab+b 由此可發現，此代數式的系數為：1 3 3 1 但4展開式為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4似乎沒有什么規律，所以讓我們再來看看的展開式。1(110)1 1(111)1 2 1(112)1 3 3 1(113)1 4 6 4 1(114)1 5 10 10 5 1(115)1 6 1

2、5 20 15 6 1(116)楊輝三角形的系數分別為：1, (1,1 ) , (1,2,1 ),(1,3,3,1 ),(1,4,6,4,1) (1,5,10,10,5,1),(1,6,15,20,15,6,1(1,7,21,35,35,21,7,1)所以：(a+b) 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7o由此又可發現，代數式的系數為:1 4 6 4 1似乎發現了一些規律，就可以發現以下呈三角形的數列:由上式可以看出，(a+b) n等于a的次數依次下降n、n-1、n-2n-n，b的次數依次上升，0、1、2n次方。系數是 楊輝三角里的系數。2

3、楊輝三角的幕的關系11 11 2 11 3 3 1首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下:(1 )(1+1=2 )(1+2+1=4 )(1+3+3+仁8 )(1+4+6+4+ 仁16 )1 5 10 10 5 1(1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1(1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的數是1，2，4，8，16，32，64，剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，n次幕，即楊輝三角第n行中n個數之和等于2的n-1次幕3楊輝三角中斜行和水平行之間的關系1 6 15把斜行(1)中第7行之前的數字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行

4、之前的數字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的數字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的數字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的數字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的數字相加得7行中的數字對比，我們發現它們是完全相同的。將上面得到的數字與楊輝三角中的第中前n-1個數之和，即第n行的數分別為1、(1)中第n行之前的數字之和、(2)中第n行之前的數字之和、(3)中第n行之前的數字之和、(4)中第n行之前的數字之和、(n-3)中第n行之前的數字之和、1。總結楊輝三角對于我們好理解的規律，如下六點：1、每個數等于它上方兩數之和。2、每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。3、第n行的數字有n+1項。4、 第n行數字和為2 (n-1)。( 2的(n-1)次方)5(a+b) n的展開式中的各項系數