1、第十二章概率、隨機變量及其分布高考專題突破六高考中的概率與 統計問題NEIRONGSUOYIN內容索引題型分類 深度剖析課時作業題型分類深度剖析1PART ONE題型一離散型隨機變量的均值與方差師生共研師生共研例1某品牌汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.2.4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為1.5萬元；分12期或15期付款，其利潤為2萬元.用表示經銷一輛汽車的利潤.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數4020a10b(1)求上表中的a，b值；又4020a10b100

2、，所以b10.(2)若以頻率作為概率，求事件A“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；解記分期付款的期數為，的可能取值是3,6,9,12,15.依題意，得則“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位分9期付款”的概率為(3)求的分布列及均值E().解由題意，可知只能取3,6,9,12,15.而3時，1；6時，1.5；9時，1.5；12時，2；15時，2.所以的可能取值為1,1.5,2，且P(1)P(3)0.4，P(1.5)P(6)P(9)0.4，P(2)P(12)P(15)0.10.10.2.故的分布列為所以的均值E()10.41.50.420.21.4.11.5

3、2P0.40.40.2離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率的對應.思維升華跟蹤訓練1某項大型賽事，需要從高校選拔青年志愿者，某大學生實踐中心積極參與，從8名學生會干部(其中男生5名，女生3名)中選3名參加志愿者服務活動.若所選3名學生中的女生人數為X，求X的分布列及均值.解因為8名學生會干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服

4、從參數N8，M3，n3的超幾何分布.X0123P所以X的分布列為題型二概率與統計的綜合應用師生共研師生共研例2(2016全國)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.(1)求

5、X的分布列；解由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)若要求

6、P(Xn)0.5，確定n的最小值；解由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n19與n20之中選其一，應選用哪個？解記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).當n19時，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040(元).當n20時，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080(元).可知當n19時所需費用的期望值小于n20時所需費用的期望值，故應選n19.概率與統計作為

7、考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現了概率與統計的工具性和交匯性.思維升華跟蹤訓練2經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲得利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品.以X(單位：t,100X150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.(1)將T表示為X的函數；解當X100,130)時，T500X300(130X)800X39 000.

8、當X130,150時，T50013065 000.(2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；解由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120X150.由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的均值.解依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0

9、.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.題型三概率與統計案例的綜合應用師生共研師生共研例3高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發明”，彰顯出中國式創新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調查，得到如下數據：每周移動支付次數1次2次3次4次5次6次及以上總計男1087321545女546463055總計1512137845100(1)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關？

10、解由表格數據可得22列聯表如下：非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶總計男252045女154055總計4060100所以在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關.(2)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶.求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；解視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，為了鼓勵男性用戶使用移動支付，對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及均值.P(K2k0)0.150.

11、100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解記抽出的男“移動支付達人”人數為Y，則X300Y.所以Y的分布列為Y01234P所以X的分布列為X03006009001 200P得X的均值E(X)300E(Y)400.概率與統計案例的綜合應用常涉及相互獨立事件同時發生的概率、頻率分布直方圖的識別與應用、數字特征、獨立性檢驗等基礎知識，考查學生的閱讀理解能力、數據處理能力、運算求解能力及應用意識.思維升華跟蹤訓練3電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有5

12、5名.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據已知條件完成下面的22列聯表，并據此資料是否可以認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷總計男 女1055總計 解由所給的頻率分布直方圖知，“體育迷”人數為100(100.020100.005)25，“非體育迷”人數為75，從而22列聯表如下：將22列聯表的數據代入公式計算，非體育迷體育迷總計男301545女451055總計7525100因為2.7063.030AC”.在AB上取點C使ACAC，因為ACC是等腰三角形，事件D發生的區域D907515，構

13、成事件總的區域90，2.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為_.1234561234563.為了增強消防安全意識，某中學對全體學生做了一次消防知識講座，從男生中隨機抽取50人，從女生中隨機抽取70人參加消防知識測試，統計數據得到如下列聯表：優秀非優秀總計男生153550女生304070總計4575120(1)試判斷能否有90%的把握認為消防知識的測試成績優秀與否與性別有關？123456且2.05783838790a99，得a8，有8種情況使得東部各城市觀看該節目的觀眾的平均人數超過西部各城市觀看該節目的觀眾的平均人數，(2)該節目的播出極大

14、地激發了觀眾對成語知識學習積累的熱情，現從觀看節目的觀眾中隨機統計了4位觀眾學習成語知識的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并繪制了如下對照表：123456年齡x20304050周均學習成語知識時間y2.5344.5123456即預測年齡為55歲的觀眾周均學習成語知識的時間為4.9小時.5.為了評估天氣對某市運動會的影響，制定相應預案，該市氣象局通過對最近50多年氣象數據資料的統計分析，發現8月份是該市雷電天氣高峰期，在31天中平均發生雷電14.57天(如圖所示).如果用頻率作為概率的估計值，并假定每一天發生雷電的概率均相等，且相互獨立.(1)求在該市運動會開幕(8月12日)后的前3天

15、比賽中，恰好有2天發生雷電天氣的概率(精確到0.01)；123456技能提升練123456因為每一天發生雷電天氣的概率均相等，且相互獨立，所以在運動會開幕后的前3天比賽中，恰好有2天發生雷電天氣的概率(2)設運動會期間(8月12日至23日，共12天)，發生雷電天氣的天數為X，求X的均值和方差(精確到0.01).123456解由題意，知XB(12,0.47).所以X的均值E(X)120.475.64，X的方差D(X)120.47(10.47)2.989 22.99.123456拓展沖刺練6.某嬰幼兒游泳館為了吸引顧客，推出優惠活動，即對首次消費的顧客按80元收費，并注冊成為會員，對會員消費的不同

16、次數給予相應的優惠，標準如下：消費次數第1次第2次第3次不少于4次收費比例10.950.900.85該游泳館從注冊的會員中，隨機抽取了100位會員統計他們的消費次數，得到數據如下：消費次數1次2次3次不少于4次頻數6025105123456假設每位顧客游泳1次，游泳館的成本為30元.根據所給數據，回答下列問題：(1)估計該游泳館1位會員至少消費2次的概率；解2510540，即隨機抽取的100位會員中，至少消費2次的會員有40位，123456(2)某會員消費4次，求這4次消費中，游泳館獲得的平均利潤；解第1次消費時，803050(元)，所以游泳館獲得的利潤為50元，第2次消費時，800.95304