1、精選優質文檔-傾情為你奉上因式分解專題 培優把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.因式分解的方法多種多樣，現將初中階段因式分解的常用方法總結如下：因式分解的一般方法及考慮順序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數法3、考慮順序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分組分解法一、運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2b2=(a+b)(ab)；(2)a2±2ab+b2=(a

2、77;b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)，其中n為正整數；(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1)，其中n為偶數；(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2abn2+bn1)，其中n為奇數運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系

3、數、指數、符號等正確恰當地選擇公式例題1 分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x38y3z36xyz；(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；(4)a7a5b2+a2b5b7例題2 分解因式：a3+b3+c33abc例題3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1對應練習題 分解因式：(2) x10+x52(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2x5(5) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6) (a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1xy)1二、分組分解法（一）分組后能直接提公因式例題1 分解因式：分析

4、：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯系.此類型分組的關鍵：分組后，每組內可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提.例題2 分解因式：對應練習題 分解因式：1、 2、（二）分組后能直接運用公式例題3 分解因式： 例題4 分解因式： 對應練習題 分解因式：3、 4、綜合練習題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12） （13） （14）（15） （16）（17）

5、三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次項系數為1的二次三項式直接利用公式進行分解. 特點：（1）二次項系數是1； （2）常數項是兩個數的乘積；（3）一次項系數是常數項的兩因數的和.例題1 分解因式：例題2 分解因式：對應練習題 分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6)（二）二次項系數不為1的二次三項式條件：（1） （2） （3） 分解結果：=例題3 分解因式：對應練習題 分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項系數為1的齊次多項式例題4 分解因式：分析：將看成常數，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解. 1 8b 1 16b 8b+(16b)= 8

6、b對應練習題 分解因式：(1) (2) (3)（四）二次項系數不為1的齊次多項式例題5 分解因式： 例題6 分解因式： 對應練習題 分解因式：（1） （2）綜合練習題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）思考：分解因式：2、雙十字相乘法定義：雙十字相乘法用于對型多項式的分解因式.條件：（1），（2），即： ，則例題7 分解因式： （1） （2）解：（1）應用雙十字相乘法： ，原式= （2）應用雙十字相乘法： ，原式=對應練習題 分解因式：（1） （2）3、十字相乘法進階例題8 分解因式：例題9 分解因式：四、主元法例題 分解因式： 對應練習題 分解

7、因式： (1) (2) (3) (4)五、換元法 換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例題1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12例題2 分解因式：例題3 分解因式： 分析：型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘.例題4 分解因式：.例題5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例題6 分解因式：提示:可設，則. 例題7 分解因式：例題8 分解因式：例題9 分解因式：例題9對應練習 分解因式：例題10 分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析：本題含有兩個字母，且

8、當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式例題11 分解因式：分析：此多項式的特點是關于的降冪排列，每一項的次數依次少1，并且系數成“軸對稱”.這種多項式屬于“等距離多項式”方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法.例題11對應練習 分解因式：6x4+7x336x27x+6例題11對應練習 分解因式：對應練習題 分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1 （2）（3） （4）（5） （6） （7） （8）(x+3)(x21)(x+5)20（9） （10） (2x23x+1)22

9、2x2+33x1（11） （12） （13）六、添項、拆項、配方法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解說明 用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例題1 分解因式：x39x+8例題2

10、分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+1 對應練習題 分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）x3+3x24 （8）x411x2y2+y2（9）x3+9x2+26x+24 （10）x412x+323（11）x4x21； （12）x311x20； （13）a5a1 (14) (15)七、待定系數法例題1 分解因式：分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為對應練習題 分解因式：（1） （2）2x23xy9y214x3y20（3） （4）例題2 （1）當為何值時，

11、多項式能分解因式，并分解此多項式. （2）如果有兩個因式為和，求的值.（3）已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數并且分解因式.（4）為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式.八、余式定理（試根法）1、的意義：已知多項式，若把用帶入所得到的值，即稱為在=的多項式值，用表示.2、被除式、除式、商式、余式之間的關系：設多項式除以所得的商式為，余式為，則：=×+3、余式定理：多項式除以之余式為；多項式除以之余式.例如：當 f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 時，則=f(1)=12+1+2=4.當除以時，則=.4、因式定理：設，為關于的多項式，則為的因式；為的因式.整系數一

12、次因式檢驗法：設f(x)為整系數多項式，若axb為f(x)之因式(其中a , b 為整數 , a0 , 且a , b互質)，則（1）（2）( ab )例題1 設，試問下列何者是f(x)的因式？ (1)2x1 ，(2) x2，(3) 3x1，(4) 4x1，(5) x1，(6) 3x4例題2 把下列多項式分解因式：(1) (2) (3) （4）（5）課后作業分解因式：（1）x44（2）4x331x15 （3）3x37x10 （4）x341x30（5）x34x29 （6）x35x218（7）x36x211x6（8）x33x23x7（9）x311x231x21（10）x41987x21986x198

13、7 （11）（12）（13）x33x2y3xy22y3 （1412）x39ax227a2x26a3 （15）（16）（17）（18）（19）x4x2y2y4 （20）x423x2y2y4 （21）a3b33(a2b2)3(ab)2（22）（23）.（24）（25）（26）（27）（28）x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz（29）因式分解的應用1、證明：四個連續整數的的乘積加1是整數的平方.2、2n1和2n+1表示兩個連續的奇數(n是整數)，證明這兩個連續奇數的平方差能被8整除3、已知可以被60與70之間的兩個整數整除，求這兩個整數.4、已知7241可被40至50之間的兩個整數整除，求這兩個整數.5、求證：能被45整除.6、求證：14+1能被197整除7、設4xy為3的倍數，求證：4x+7xy2y能被9整除8、已知=7，求整數x、y的值9、求方程的整數解.10、求方程xyxy1=3的整數解11、求方程4x24xy3y2=5的整數解12、兩個小朋友的年齡分別為a和b，已知a2ab=99，則a=_，b=_ . 13、 計算下列各題： (1)23