1、word用與數研究函數的恒成立與存在問題1,函數f (x)3x八2.2假如函數f(x)在區間1,2上為單調函數，求 a的取值X2xlnx,其中a為常數.a們假如a1,求函數f(x)的單調區間;圍.2.函數f(x)x3ax24(aR),f'(x)是f(x)的導函數。1當a2時，對于任意的m1,1,n1,1,求f(m)f(n)的最小值;2假如存在x0(0,)，使f(x0)>0,求a的取值X圍。10 / 92求f (x)的單調區間;3 .函數f(x)axInx(aR).1假如a2,求曲線yf(x)在點x1處的切線方程;3設g(x)x22x2,假如對任意x,(0,)，均存在x20,1,使

2、得f(xi)g(xz),某某數a的取值X圍.24 .2016屆某某二模函數fxx21nx.i求函數fx的最大值；an假如函數fx與gxx有一樣極值點.x某某數a的值；對x1,x21,3（e為自然對數的底數），不等式f_x_gx1恒成立，某某數k的取值X圍.ek112-5.函數f(x)(a-)xInx(aR).1當a1時，xo1,e使不等式f(%)m,某某數m的取值X圍；2假如在區間(1,),函數f(x)的圖象恒在直線y2ax的下方，某某數a的取值X圍.用與數研究函數的恒成立與存在問題答案1 .解：假如a=1,如此f(x)=3x2x2+lnx,定義域為(0,+0°),1 4x2+3x+

3、14x+1x1f(x)=x4x+3=x=x(x>0).xxx當xC(0,1)時，f'(x)>0,函數f(x)=3x2x2+Inx單調遞增.當xC(1,+8)時，f(x)<0,函數f(x)=3x2x2+Inx單調遞減，即f(x)的單調增區間為(0,1),單調減區間為(1,十°0).一，3.1(2)f/(x)=-4x+-.ax假如函數f(x)在區間1,2上為單調函數，3131即在1,2上，f(x)=3-4x+1>0或f(x)=3-4x+1<0,axax即34x+1>0或'4x+1W0在1,2上恒成立.axax一31.31即一方4x或一W

4、4xaxax.1令h(x)=4x1,因為函數h(x)在1,2上單倜遞增，x所以3>h(2)或3wh(1),即3>15或3<3,aaa2a2 ，、斛得a<0或0vaw-或a>1.5故a的取值X圍是(一8,0)U(0,2u1,+8).52.解：1由題意知f(x)x32x24,f'(x)3x24x.令f'(x)0,得x0或33當x在-1,1上變化時，f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-1-1,000,11f'(x)-7-0+1f(x)-1J-4-3對于m1,1,f(m)的最小值為f(0)4,、一22f'(x)3x4x的對

5、稱軸為x一且拋物線開口向下3,對于n1,1,f'(n)的最小值為f'(1)7.f(m)f'(n)的最小值為-11.3.2f'(x) 3x(x -)3假如a 0,當x 0寸，f'(x) 0“乂)在0,上單調遞減，又f(0)4,則當x 0時，f(x)4.當a 0時,不存在% 0,使f(xo) 0.一.2a.2a.假如a 0,則當0 x ，時，f'(x) 0,當x ，時，f'(x)33，.一22a從而f(x)在0,2上單調遞增，在 臼，上單倜遞減,33當x (0,)時,f (x)max臂)3,38a 4a一 一 4 ,如此2790.4a3 4

6、°,即a3 27,解得a 3.綜上，a的取值X圍是(3,4 ).(或由x。0, f(x。)0,得a2 %,用兩種萬法可解)x。-，1解：1由 f (x) 2 (x 0), f (1) 2 1 3, x故曲線y f (x)在x 1處切線的斜率為3而f(1) 2,所以切點為(1,2), y f (x)在點x 1處的切線方程為y 3x 12f (x) a 1 "ax-1(x 0) x x當a 。時，由于x 0,故ax 1 0,所以f(x) 0, f(x)的單調遞增區間為(0,).11 _1 _當a 0時，由f (x) 0,得x .在區間(0,)上，f (x) 0,在區間(一，)上

7、f (x) 0, aaa所以，函數了(燈的單調遞增區間為(0,1，1-),單調遞減區間為(-).其中 g(x)max 23由,問題等價于為f(x)maxg(x)max.由(2)知，當a0時，f(x)在(0,)上單調遞增，值域為R,故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332,故不符合題意.)11當a0時，f(x)在(o,)上單調遞增，在(一，)上單調遞減,aa故f(x)的極大值即為最大值,f(11 ln( )1 ln( a),a一，、一1所以21ln(a),解得a3.3e4.22x1x12x-x0,xxfx0,fx0,/口/得0x1；由得x1.x0x0fx在0,1上為增函數，在1,上為

8、減函數函數fx的最大值為f11.分3、aan；gxx-,gx1.xx由1知，x1是函數fx的極值點，a又函數fx與gxx一有一樣極值點，x1是函數gx的極值點,xg11a0,解得a1分4分經驗證，當a1時，函數gx在x1時取到極小值，符合題意- f12 e2, f 11,f 39 21n 3 ,易知921n322e1c.>x1,3,fx1,f31-,1mine92ln3,fXi由耿f11，一1由知g x x 一x11gx1下，當x-,1時，gx0;當x1,3時，gx0.xe故gx在1,1上為減函數，在1,3上為增函數1.g-e1,g1e2,g310一，而23103X2,gX2ming12

9、,gX2max1030,1時,對于X1,X1-,3e不等式fX11fX1gX2maXX1gX2maX1.XgX2f1g123,2,又k1,1.1010,即k1時，對于X1,X21-,3e綜上,X1gx2minX1gX2min1X1gx-f3g334寸一21n3,又；k1,3所某某數k的取值X圍為21n1033721n3,334321n3.113432ln3U1,125.【解】：（1）當a=1時, 由 xC 1 , e, 如此當xC 1 ,11f(x)=2x2+lnx(x>0),f(x)=x+x，f'(x)>0得函數f(x)在區間1,e4曾函數,11ce時，f(x)C1+2e

10、2.1一故要使？X0C1,e使不等式f(x0)Wm成立，只需m>2即可.(2)在區間(1,+8)上，函數f(x)的圖象恒在直線y=2ax的下方等價于對？xC(1,+00),f(x)2ax,即(a1)x2+Inx-2ax<0恒成立.1c一設g(x)=(a2)x22ax+Inx(xC1,十),如此g'(x)=(2a1)x2a+1=(x1)(2a11)XX'當xC(1,)時，x1>0,0<<1.x假如2a-1<0,即a<1,g'(x)<0,函數g(x)在區間1,)上為減函數,11如此當？xC(1,+00)時g(x)vg(1)=a22a=3a,1-11一，只帝一2aW0,即當一2waw2時，g(x)=(a2)x2+lnx2axv0恒成立.假如0v2a1v1,即2<av1時，令g'(x)=(x1)(2a11)=0得x=J>1,x2a111函數g(x)在區間1,;為減函數，+°°為增函數，2a12a11一如此g(x)Cg2a_1,+°°,不合題忌.假如