1、工程技術(shù)學(xué)院學(xué)期小論文由次波原理分析光的傳播陳洋（內(nèi)江師范學(xué)院，四川內(nèi)江641100）摘要：由波面上的任一面元都可以看作是發(fā)射次波的振源。次波原理給出光的傳播，折射、反射的解釋，并證明反射定律、折射定律。用積分可描述描述干涉、衍射現(xiàn)象。關(guān)鍵詞：折射、反射、衍射、干涉、惠更斯-菲涅耳原理中圖分類號(hào)：O431.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A引言任何時(shí)刻波面上的每一點(diǎn)都可作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波，在以后時(shí)刻，所有這些次波波面的包絡(luò)面形成整個(gè)波在該時(shí)刻的新波面。這原理可以給出波的直線傳播與球面?zhèn)鞑サ亩ㄐ越忉?，并且推?dǎo)出反射定律與折射定律，由于任意光波可以視為波的疊加，用積分也可描述衍射現(xiàn)象。1.光的傳播惠更

2、斯原理可以視為空間的各向同性的后果。在各向同性的均勻介質(zhì)中微小的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的任何波擾，必會(huì)從那區(qū)域以徑向傳播。由這波擾產(chǎn)生的波動(dòng)，又會(huì)在其它區(qū)域形成波擾，如此這般繼續(xù)不斷。所有波動(dòng)的疊加形成了觀察到的波動(dòng)傳播圖樣如圖1所示，假設(shè)點(diǎn)波源Qo發(fā)射出的球面波，其復(fù)值波幅為中。、波長(zhǎng)為九、波數(shù)為k=2冗/九。點(diǎn)Q與點(diǎn)波源Qo相離距離為r，點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的距離為Ro圖1波面對(duì)于球面波，波擾的數(shù)值大小與距離成反比，相位隨著波數(shù)k與距離的乘積而改變。因此,4在點(diǎn)Q,其波擾中(r)為1r )=ikr 'oer(1-1)應(yīng)用惠根斯原理與波的疊加原理，將所有與點(diǎn)Q同波前的點(diǎn)波源，其所發(fā)射出的次波對(duì)于點(diǎn)P的

3、貢獻(xiàn)疊加在一起，可以得到在點(diǎn)P的總波擾。為了與做實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)果相符合，須將計(jì)算結(jié)果乘以常數(shù)因子C與“傾斜因子”K(e)進(jìn)行修正，從點(diǎn)波源Q0發(fā)射出的波，其波前微小面元產(chǎn)生的次波，對(duì)于點(diǎn)P的微小復(fù)值波擾為Ueik(r-R)d'-(r)=CK(u)0dS(1-2)r傾斜因子的主要功能就是調(diào)整次波朝著各個(gè)方向傳播的波幅。1.、K(u)=-(1cos)(1-3)常數(shù)因子C代表次波與同一位置的主波的相位差為冗/2,相對(duì)于主波，次波超前n/2,需要乘以-i。另外，次波與主波之間的波幅比率為1：九。-iC=(1-4)九S是積分曲面，在點(diǎn)P的復(fù)值波擾為ikRi.e-(r)=-(r).s(1cos)dS

4、(1-5)2'SR關(guān)于光的傳播途徑，由以上定義式得，R越小，中(r)越大，光沿Q0到P沿直線傳播。而其他次1波，只需判斷對(duì)P點(diǎn)的波擾，就可以判斷哪種次波對(duì)P點(diǎn)作用大，由傾斜因子定義K(日)=(1+cos6),2當(dāng)日為0。時(shí)，次波對(duì)P作用最大，所以，次波的的存在不影響光宏觀上沿直線傳播。2.光的反射光波的反射可以用次波理論解釋，介質(zhì)中任意波面上的各點(diǎn)，都可以看做發(fā)射子波的點(diǎn)光源，這些子波在前進(jìn)方向的包絡(luò)面就是新的波面。如圖2所示，4條光束入射，在反射面接觸點(diǎn)分別是O、A、B、C,產(chǎn)生的子波面是交點(diǎn)為圓心的半球，因?yàn)楣獬滩畹脑?，平行光束先后到達(dá)反射面，所以子波同一時(shí)刻同相位的波面依次縮小

5、。圖2平面鏡反射 AD以O(shè)光束接觸時(shí)刻為 0時(shí)刻，則A光束B(niǎo)光束C光束分別在vBECF CF時(shí)刻到達(dá)反射面,v在C光束到達(dá)時(shí)，O子波球面半徑為CFRO = vt = v = CFv(2-1)A子波球面半徑為CF ADRA=vt=v() = CFv v一 AD(2-2)同理 RB =CF -BE ,RC =CF -CF =0。由幾何關(guān)系可知，Ra=CG,Rb=CI,對(duì)于直角三角形ABCH與ABCI,存在一條公共邊,一條相等邊，0符合直角三角形的全等條件。由此推理ABCH-ABCI,ACJ-MCGAOCK-AOCF,易證得kjhc線，反射光是平面波。下面證明反射角與入射角的關(guān)系，/：/i”.i2.

6、:二一(2-3)2由AOCK三AOCF得：BCF=(2-4)因?yàn)槭瞧叫泄馐珺CF"(2-5)最終得到i1二i2(2-6)3 .光的折射光波的折射可以用次波理論解釋，傳播介質(zhì)的改變是導(dǎo)致波發(fā)生折射的重要原因圖3折射當(dāng)一條光線到達(dá)。時(shí)，介質(zhì)1折射率大于介質(zhì)2,對(duì)于球面波，波擾的數(shù)值大小與距離成反比，相位隨著波數(shù)與距離的乘積而改變。則同一時(shí)刻。點(diǎn)上下產(chǎn)生的同相位波面大小不等，上面大下面小。如圖3所示，以反射線與上波面交點(diǎn)所在切線交分界面于B點(diǎn)，則過(guò)B點(diǎn)做下波面的切線，這樣切點(diǎn)C即在波前包絡(luò)面，連接OC可得折射光線。證明折射定律：BD / sin : =OB =OC /sin(3-1)v1

7、_ v2sin 工 sin :由幾何關(guān)系可得JT二 DOE - > DOE = 2則V1V2sin - sin :(3-2)(3-3)(3-4)應(yīng)用折射率n=c/v的定義式nisin-n2sin:(3-5)工程技術(shù)學(xué)院學(xué)期小論文4 .光的衍射。為點(diǎn)光源，發(fā)出球面波S,OP與S交于點(diǎn)B0將波面S分成許多同心的環(huán)形波帶，并使任意相鄰波帶所發(fā)的次波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的光程差為上，即:2BiP-B0P=B2P-B1P=|H=BkP-BjP=2(4-1)8這樣的環(huán)帶稱菲涅耳半波帶，它們到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的相位差為冗。計(jì)算第k波帶所發(fā)次波到P點(diǎn)振幅:(4-2)Ak=闞-a2-a3W,(-1)k、k其中L'.

8、(R) sSikrke k(1 cos-)dS(4-3)分析ak表達(dá)式中的dS與4(4-4)ds=2二R2sindsind=_rkdrk(4-5)R(Rro)(4-6)ds2二Rd1因?yàn)閞k»X,可將rk換做波帶間距，ds=*L,近似于常數(shù)。rkRr。ak與（1+cos8）成正比，隨k增加，緩慢減小，相鄰兩個(gè)半波帶所發(fā)次波所貢獻(xiàn)振幅十分接近,，、_1相位相差幾,可以近似得到ak%ak1+ak12一n1(4-7)Ak八(-1)k1ak=-(ai-ak)k42k為奇數(shù)取+；'k為偶數(shù)取圖5夫瑯禾費(fèi)衍射將波前BB'分割成許多等寬窄帶dx,波前振幅為每一點(diǎn)所發(fā)次波傳到Aodx

9、dE。=cos tbP點(diǎn)引起P點(diǎn)振動(dòng):(4-8)dAA0dxik (xsin - r')e(4-9)以日來(lái)積分的AP0：AP. = dA = &eikr' beikxsind u . b 0bsin 一、i(. bsin .羿1) sin()為二 bsin u(4-10)光強(qiáng)為:5.光的干涉2/二bsin 1sin ()(二 bsin2 ' '(4-11)圖5雙縫干涉有光源S發(fā)出球面波，在 S和S2位置產(chǎn)生次波，當(dāng)縫細(xì)到一定程度，近似于允許一個(gè)波面通過(guò)，同一球面波相交于縫上的位置，產(chǎn)生相位相等的相干次波。位差為中，光強(qiáng)疊加為。中I =Im Im 2ImC

10、0S( ) =4ImC0S?不2P點(diǎn)形成亮條紋。設(shè)兩束光相(4-1)r圖6雙縫干涉2考慮到衍射效應(yīng)，實(shí)際的雙縫干涉圖樣的光強(qiáng)分布應(yīng)該是單縫衍射和縫間干涉共同作用的結(jié)果，如圖6所示。每個(gè)縫在P點(diǎn)引起的振動(dòng)可以表示為：,sin二工Il=ImCOSt(4-2)sin;I2=Imcos(-t)(4-3)a其中口為衍射因子，源于縫寬為a的單縫衍射效應(yīng)：二a1 =sin%(4-4)九中為干涉因子，源于縫間距為d的雙縫干涉效應(yīng)2 =(2二dsin)/(4-5)P點(diǎn)的合振動(dòng)：3 ,sin二,sin二,一、4 =ImCOstImCOs(t-)(4-6)CLCL在P產(chǎn)生的光強(qiáng)(4-7)sin 0致, 后面的(sn)2則與衍射因子有關(guān),a5 :sin12I=4Im(COs-)()2(p其中前半部分41m(COs2)與干涉理論算出的光強(qiáng)2當(dāng)口趨向于無(wú)窮小時(shí)，衍射因子為1.,即理想化的雙縫干涉現(xiàn)象。6.結(jié)語(yǔ)次波理論的模型可以解釋光的基本現(xiàn)象，結(jié)合圖形可以分析反射、折射的規(guī)律，以及使用微元法計(jì)算衍射中光強(qiáng)的表達(dá)式。在計(jì)算中提供了光的分解與疊加的思路。參考文獻(xiàn)1滕琴.干涉與衍射異同點(diǎn)的探討J.光學(xué)儀器，2008,30(40):60-64.2喻有理，田蓬勃，張孝林.半波帶法分析夫